模態(tài)空間—時域,頻域與模態(tài)空間之間的聯(lián)系

1、模態(tài)空間時域，頻域與模態(tài)空間之間的聯(lián)系 這是一個常見的問題。但這個問題會涉及到很多不同的方面，因此我們先從一個簡單的示意圖入手，并且盡量避免涉及到過多的數(shù)學(xué)知識。我們通過這幅圖來討論時域、頻域、模態(tài)空間和物理空間所有這些不同的方面。示意圖中要討論的內(nèi)容有很多，所以我們先將他們分開逐一討論，最后再將其整合到一起。你應(yīng)該還記得我們先前的討論，你問我模態(tài)分析是怎么一回事（“模態(tài)分析的簡要解釋”），這對下面的討論很有幫助。        首先，我們考慮一個簡單的懸臂梁，并假定對梁的端部施加一個單位脈沖激勵。梁端部的響應(yīng)是系

2、統(tǒng)所有階模態(tài)響應(yīng)的疊加顯示（如黑色時域曲線所示）；可以注意到結(jié)構(gòu)在幾個不同頻率上都有響應(yīng)。通過對時域信號進(jìn)行傅立葉變換，可以將梁端部的時域響應(yīng)變換到頻域。這個過程伴隨有相當(dāng)多的數(shù)學(xué)知識，但它對于我們來說是一個常見的變換。通常我們將這個由時域信號變換過來的頻域曲線稱為頻響函數(shù)，簡稱為FRF（如黑色頻域曲線所示）；注意這條曲線上的多個峰，其對應(yīng)于系統(tǒng)的多階固有頻率。        在進(jìn)一步討論時域和頻域之前，讓我們先討論一下圖中左上部的物理模型。我們知道懸臂梁具有多個振動固有頻率。在每個固有頻率上，結(jié)構(gòu)具有特定的變形形式，我們稱

3、之為模態(tài)振型。對于該懸臂梁，我們看到，第一階彎曲模態(tài)如藍(lán)色所示，第二階彎曲模態(tài)如紅色所示，第三階彎曲模態(tài)如綠色所示。當(dāng)然，還有其他更高階模態(tài)沒有顯示出來，并且此處我們只討論前三階模態(tài)，但這也很容易適用到更高階模態(tài)。        我們也可以利用圖中右上部的解析集中質(zhì)量模型或者有限元模型（黑色所示）來計算這個實物梁。此模型通常用方程組來表示，方程組中的各點或自由度（DOF）之間相互影響或者耦合。這意味著，如果你上拉模型的某一個自由度，其他自由度也會受到影響并產(chǎn)生位移。這種耦合意味著，如果想確定系統(tǒng)響應(yīng)，方程組會非常復(fù)雜。當(dāng)描述

4、系統(tǒng)的方程數(shù)目越來越多時，方程組會更加復(fù)雜。我們通常用矩陣將所有的運動方程組合在一起，以描述系統(tǒng)響應(yīng)，如下所示：        其中M、C、K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，對應(yīng)的還有加速度、速度和位移以及施加于系統(tǒng)上的激振力。通常質(zhì)量矩陣為對角陣；阻尼矩陣和剛度矩陣為對稱陣，具有非對角元素，以描述系統(tǒng)的不同方程或自由度之間的耦合程度。矩陣的大小依賴于我們用以描述系統(tǒng)的方程數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，我們求得所謂的特征值，并利用模態(tài)變換方程，將這些耦合的方程組轉(zhuǎn)換為一組解耦的單自由度系統(tǒng)，在新坐標(biāo)系統(tǒng)中，它由模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度等對

5、角矩陣來描述，這個新坐標(biāo)系統(tǒng)稱為模態(tài)空間，表示下：        因此我們可以看出，利用模態(tài)變換方程，從物理空間到模態(tài)空間的變換是一個將復(fù)雜的耦合物理方程組轉(zhuǎn)換為一組簡單的解耦的單自由度系統(tǒng)的過程。并且，在圖中我們看到，這個解析模型可以分解為一組單自由度系統(tǒng)，其中描述第一階模態(tài)的單自由度如藍(lán)色所示，第二階模態(tài)如紅色所示，第三階模態(tài)如綠色所示。模態(tài)空間允許我們方便地利用簡單的單自由度系統(tǒng)來描述系統(tǒng)。        現(xiàn)在我們回過頭來討論時域和頻域響應(yīng)，如黑色曲

6、線所示。我們知道，系統(tǒng)的響應(yīng)可以由各階模態(tài)對其的貢獻(xiàn)得到。黑色所示的總響應(yīng)是由各模型響應(yīng)結(jié)果求和得到的，各模型如藍(lán)色第一階，紅色第二階，和綠色第三階模態(tài)所示。不論我是在時域還是在頻域來描述系統(tǒng)，這都是正確的。各域是等同的，只是數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的視角不同而已。這與貨幣非常相似當(dāng)我從一個國家到另一個國家時，每個國家的貨幣看起來都不一樣，但其實都是一回事。所以，我們可以看出，時域總響應(yīng)是由各階模態(tài)時域響應(yīng)即藍(lán)色第一階、紅色第二階和綠色第三階模態(tài)的時域響應(yīng)的貢獻(xiàn)而來。我們也可以看出，總頻響是由各階模態(tài)頻響即藍(lán)色第一階、紅色第二階和綠色第三階模態(tài)的頻響貢獻(xiàn)而來。（此處只顯示了頻響函數(shù)的幅值部分；這個函數(shù)實際上是

7、復(fù)數(shù)形式，需要用頻響的幅值和相位或者實部和虛部兩部分來正確表示）。        我們可以將解析模型分解為一組單自由度系統(tǒng)，從而能夠確定每個單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)，如藍(lán)色第一階、紅色第二階、和綠色第三階模態(tài)所示。也能夠確定每個單自由度系統(tǒng)的時域響應(yīng)，對于脈沖輸入引起的單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)，可通過閉式解求得或者對每個單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)進(jìn)行簡單的傅立葉逆變換得到。也能夠測量單位脈沖輸入引起的梁端部響應(yīng)，并且對系統(tǒng)每階模態(tài)的響應(yīng)進(jìn)行濾波，這樣我們可以觀察系統(tǒng)每階模態(tài)的響應(yīng)，如藍(lán)色第一階、紅色第二階、和綠色第三階模態(tài)示。（當(dāng)然，這

8、里我對很多理論進(jìn)行了簡化處理，使得我們能夠理解這些概念。）        至此我們已經(jīng)將示意圖中的各個部分進(jìn)行了單獨分析，我認(rèn)為我們應(yīng)該已經(jīng)很清楚地認(rèn)識到時域、頻域、模態(tài)空間和物理空間之間真的沒有區(qū)別。每個域僅僅是為了呈現(xiàn)或觀測數(shù)據(jù)的一種方便的手段。但是有時，在一個域中比另一個域更容易看清事物。例如，時域總響應(yīng)不能清楚地表明有多少階模態(tài)對梁的響應(yīng)有貢獻(xiàn)。然而頻域中的總頻響函數(shù)卻能很清楚地表明有多少階模態(tài)被激發(fā)，以及各階模態(tài)的頻率。所以我們經(jīng)常從一個域變換到另外一個域，只不過是因為數(shù)據(jù)更易于解釋。  

9、60;     雖然介紹的內(nèi)容并不多，但我希望這個簡圖及解釋能幫助你有更深入的理解。好好思考一下。如果您有關(guān)于模態(tài)分析的任何其它問題，歡迎垂詢。模態(tài)空間系列（一）你能為我解釋模態(tài)分析嗎？嗯說來有點話長，但下面的解釋人人都可理解請我用簡單的概念來解釋模態(tài)分析，以便任何人都可以理解它，你不是第一個人。簡言之，模態(tài)分析是一種方法，籍此，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的頻率、阻尼和振型等固有屬性-其動態(tài)特性-來描述結(jié)構(gòu)。這真夠拗口的，那我們來解釋這是什么意思。不鉆技術(shù)牛角尖，我經(jīng)常用一個簡單平板的振動模態(tài)來解釋模態(tài)分析。對于剛接觸振動及模態(tài)分析的工程師們來講，這種解釋向來有益。考

10、慮一個自由支撐平板，施加常力于平板一角。我們通常從靜態(tài)的意義上來看待一個力，它在平板內(nèi)引起某種靜態(tài)變形。但這里我要做的是施加一個按正弦方式變化的力，振蕩頻率固定的常力。我們將改變振蕩頻率，但不改變力的峰值-僅是力的振蕩頻率改變。另在平板一角安裝一加速度計來測量激勵引起的平板應(yīng)。如果現(xiàn)在測量平板響應(yīng)，注意到當(dāng)改變輸入力的振蕩頻率時，響應(yīng)幅值也發(fā)生變化。頻率升高過程中，不同時刻點上，幅值有增也有減。這好像很奇怪，因為我們施加常力于系統(tǒng)，響應(yīng)幅值卻隨輸入力的振蕩速率而變化。但這確確實實發(fā)生了當(dāng)施加的力的振蕩速率越來越接近于系統(tǒng)固有頻率(或共振頻率)時，響應(yīng)增大，當(dāng)振蕩速率為系統(tǒng)固有頻率時，響應(yīng)達(dá)到最

11、大值。想想看，這真令人驚奇，因為我每時每刻都施加了相同幅值的力-僅是振蕩速率改變而已！這個時域數(shù)據(jù)提供了非常有用的信息。但是如果采集到時域數(shù)據(jù)，并利用快速傅立葉變換將它變換到頻域，則可以求得所謂的頻響函數(shù)?，F(xiàn)在有幾點要關(guān)注：系統(tǒng)共振頻率處，這個函數(shù)上有峰值。輸入激勵的振蕩速率等于峰值頻率的位置，觀察到了時域最大響應(yīng)?，F(xiàn)在如果將時域波形跟頻響圖形疊加在一起，會注意到時域波形達(dá)到最大值時的振蕩頻率與頻響函數(shù)最大峰處的頻率相一致。所以，既可以利用時域波形來確定幅值達(dá)到最大值處的頻率，也可以用頻響函數(shù)來確定固有頻率何處發(fā)生。顯然，用頻響函數(shù)更容易求。結(jié)構(gòu)為何具有這些固有屬性，你感到大為驚奇。對了，在這

12、些固有頻率處，變形形式也大為不同，依賴于激振力用哪個頻率。好了，我們來看一看，在每個固有頻率處，結(jié)構(gòu)上的變形形式是怎樣的。在平板上均布45個加速度計，測量不同激振頻率的平板響應(yīng)幅值。如果在每個頻率處駐留-每次一個固有頻率-可以觀察結(jié)構(gòu)上的變形形式。圖中顯示了按某一階系統(tǒng)固有頻率激勵時，得到的變形形式。在第一階固有頻率駐留時，平板具有第一階彎曲變形形式，如藍(lán)色所示。在第二階固有頻率駐留時，平板具有第一階扭轉(zhuǎn)變形形式，如紅色所示。在第三、四階固有頻率駐留時，第二階彎曲和第二階扭轉(zhuǎn)變形形式如綠色和紫紅色所示。這些變形形式稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。（從純粹數(shù)學(xué)角度講，這不完全正確。但事實上，此處簡單討論起見，這些變形形式非常接近于模態(tài)振型）你看，我們設(shè)計的所有結(jié)構(gòu)都具有這些固有頻率和模態(tài)振型。從本質(zhì)上講，這些特性依賴于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度，它決定了固有頻率和模態(tài)振型何處存在。作為設(shè)計工程師，需要確定這些頻率，并且需要知道當(dāng)力激勵結(jié)構(gòu)時，它們是如何影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的。理解模態(tài)振型和受激結(jié)構(gòu)如何振動，將有助于設(shè)計工程師設(shè)計出更優(yōu)的結(jié)構(gòu)。然而模態(tài)分析的內(nèi)容很多，這只是一個非常簡單的解釋?，F(xiàn)在我們能夠更好地理解模態(tài)分析是什么 它研究結(jié)構(gòu)的固有特性。利用固有頻率和模態(tài)振型（依賴于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布）幫助設(shè)計噪聲和振動方面應(yīng)用的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。我們利用模態(tài)分析來幫助設(shè)