理論力學(xué)課件11

1、第十一章第十一章 動動 量量 矩矩 定定 理理11-1 11-1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩1 1質(zhì)點的動量矩質(zhì)點的動量矩對點對點 o 的動量矩的動量矩()ommvrmv對對 z z 軸的動量矩軸的動量矩()()zoxymmvmmv代數(shù)量代數(shù)量, ,從從 z 軸正向看軸正向看, ,逆時針為正逆時針為正, ,順時針為負(fù)順時針為負(fù). .vmr)( vmmo)( vmmz()()ozzmmvmmv1()nooiiilmmv 1()nzziiilmm v 2 2質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系的動量矩 對點的動量矩對點的動量矩 對軸的動量矩對軸的動量矩o zzlloxyzll il jl k 即即

2、（1 1） 剛體平移剛體平移()zzclm mv()ooclm mv二者關(guān)系二者關(guān)系（2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動iiiiizzrvmvmml)(2iiiiirmrrm2iizrmj 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量zzjl dd()()ddommvrmvttdd()ddrmvrmvtt 11-2 11-2 動量矩定理動量矩定理 1 1質(zhì)點的動量矩定理質(zhì)點的動量矩定理設(shè)設(shè)o為定點為定點, ,有有d()( )doommvmftfv0 質(zhì)點對某質(zhì)點對某定點定點的動量矩對時間的的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù), ,等于作用力對同一點的矩等于作用力對同一點的矩. .質(zhì)點的動量矩定理質(zhì)點的動量矩定理d()(

3、)dxxmmvmftd()( )dyymmvmftd()( )dzzmmvmft投影式投影式:ddd()()dddooi ioi ilmmvmmvttt(e)d()dooilmft 質(zhì)點系對某質(zhì)點系對某定點定點o的動量矩對的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)時間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點系的等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和外力對于同一點的矩的矢量和.(i)(e)d()()()doiioioimmvmfmft(i)(e)d()()()doi ioioimmvmfmft2.2.質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理0質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理(e)d()dxxilm ft(e)d()dyyilmf

4、t 投影式投影式: :(e)d()dzzilmft 問題：問題：內(nèi)力能否改變質(zhì)內(nèi)力能否改變質(zhì) 點系的動量矩？點系的動量矩？3 3動量矩守恒定律動量矩守恒定律若若 則則 常量。常量。(e)()0zmfzl 有心力有心力：力作用線始終通過某固定點：力作用線始終通過某固定點, , 該點稱該點稱力心力心. .( )0omf ()m mvrmv 常矢量常矢量若若 (e)()0omfol 則則 常矢量常矢量, ,面積速度定理：面積速度定理：質(zhì)點在有心力作用下其面積速度守恒質(zhì)點在有心力作用下其面積速度守恒. .(1) (1) 與與 必在一固定平面內(nèi)必在一固定平面內(nèi), ,即點即點m的運動軌跡是平面曲線的運動軌

5、跡是平面曲線. .rvd(2)drrmvrmbt常量ddrrt即即 常量常量d2drraddat因此因此, , 常量常量面積速度面積速度思考：誰先到達(dá)頂部？思考：誰先到達(dá)頂部？(e)sinommmgrrmgmmvrjtsindd22sinmrjmgrmra 已知：已知： , ,小車不計摩擦小車不計摩擦. .,mjrma求求: :小車的加速度小車的加速度 . .rvmjlo解解: :rvatvdd由由 , ,得得例例11-111-1已知：已知： , , , , , , , , , , ,不計摩擦不計摩擦. .moj1m2m1r2r求求: :（1 1）nf （2）o 處約束力處約束力 （3 3）繩

6、索張力）繩索張力 ，1tf2tf例例11-211-2)(222211rmrmjo(e)1 12 2()()omfm rm r g2222112211)(ddrmrmjgrmrmto 由由 , ,得得(e)d()doolmft 222111rvmrvmjloo解：解：(1)(1) （2 2）由質(zhì)心運動定理）由質(zhì)心運動定理cyammmgmmmf)()(2121nnf212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiccy 1111t11rmamfgm)(11t1rgmf)()(221121nrmrmgmmmf （3 3） 研究研究1m22222t2rmamgmf)(22t2r

7、gmf2m（4 4） 研究研究求：剪斷繩后求：剪斷繩后, , 角時的角時的 . .已知：兩小球質(zhì)量皆為已知：兩小球質(zhì)量皆為 , ,初始角速度初始角速度 。m0例例11-311-3020221maamalz2)sin(22lamlz時時, ,00 時時, ,202)sin(laa12zzll解解： 11-3 11-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程12,nf ff主動力主動力: :d()()()dizziznjmfmft ()zimf d()dzzijmft 即即:( )zzjmf 或或22d( )dzzjmft 或或轉(zhuǎn)動微分方程約束力約束力: :21nn,ff已知：物理擺（復(fù)

8、擺），已知：物理擺（復(fù)擺）， 。求：微小擺動的周期求：微小擺動的周期 。ajmo,例例11-411-422dsindojmgat 解解：sin微小擺動時，微小擺動時，mgatjo22dd0dd22ojmgat即即：)sin(tjmgaoo通解為通解為 稱稱角振幅角振幅， 稱稱初相位初相位，由初始條件確定，由初始條件確定. .omgajto2周期周期求：制動所需時間求：制動所需時間 . .t已知：已知： ，動滑動摩擦因數(shù)，動滑動摩擦因數(shù) 。rfjno,0f例例11-511-500n0ddtojff r t0nojtff rnddojfrf f rt解解：1111rfmjt2222mrfjt212

9、2112211ijjimm21121221,mmrrijj1已知已知： 。 求：求： 。解解：ttff 121221rri因因 ， ，得，得例例11-611-621nziiijm r 11-4 11-4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 1. 1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算(1)(1)均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)細(xì)直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量 3d320lxxjlllz231mljzlml由由 ，得，得420(2d)24roaarjrr r222mrmrrmjiiz（2 2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量2diiiamr r（3 3）均質(zhì)圓

10、板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量2amr式中式中：221mrjo 或或2. 2. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） mjzz2zzmj或或2czzjjmd3 3平行軸定理平行軸定理czdzz 式中式中 軸為過質(zhì)心且與軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為cz與與 軸之間的距離。軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積與兩軸間距離平方的乘積. .2211()czijm xy )(222y

11、xmrmjiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(證明證明：2czzjjmd04 4組合法組合法oj 求求： .ld已知：桿長為已知：桿長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 . .1m2m盤桿ooojjj231mljo桿2222)2()2(21dlmdmjo盤)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmjo解解：21jjjz2222112121rmrm解解：222mr l211mr l其中其中2212 ()l rrm由由 ，得得)(212221rrmjz44121 ()2zjl rr222212121 ()()2l rrrr

12、21,rrm已知：已知： 。zj 求求 ： . .5 5實驗法實驗法思考：思考：如圖所示復(fù)擺如何確定對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量？如圖所示復(fù)擺如何確定對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量？將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 o上，作微幅擺動上，作微幅擺動. .mgljt2由由lm,tj其中其中 已知已知, , 可測得，從而求得可測得，從而求得 . .6. 6. 查表法查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量薄壁圓薄壁圓筒筒細(xì)直桿細(xì)直桿體積體積慣性半徑慣性半徑轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量簡簡 圖圖物體的物體的形狀形狀212lmjcz23lmjz32lcz3lz2mrjzrzrlh2薄壁空薄壁空心球心球空心圓空心圓柱柱圓柱圓柱)3(122122

13、2lrmjjmrjyxz)3(121222lrryxzlr2)(222rrmjz)(2122rrz)(22rrl232mrjzrz32rh23圓環(huán)圓環(huán)圓錐體圓錐體實心球?qū)嵭那?25zjmrrz52334r2223103(4)80zxyjmrjjmrl)4(80310322lrryxz23r l223()4zjm rr2243rrz222 r r矩形薄矩形薄板板長方體長方體橢圓形橢圓形薄板薄板2222()444zyymjabmjamjb222122babayxzabh222222()12()12()12zyymjabmjacmjbc)(121)(121)(121222222cbcabayxzab

14、c2222()121212zyymjabmjamjbbabayxz289. 0289. 0)(12122abh11-5 11-5 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理1 1對質(zhì)心的動量矩對質(zhì)心的動量矩cci iii ilmmvrmvciiirlrmvicirvvvciiciiirlrmvrmv( )0iiciicrmvm rvxyz x y zccroimiriririivmr?0()ociilrrmv)ciiiirmvrmvcvmcloccclrmvl eddddoccciilrmvlrftt2 2 相對質(zhì)心的動量矩定理相對質(zhì)心的動量矩定理 eeciiirfrfddddd

15、dcccccrlmvrmvtttxyz x y zccroimirircv0( )eif eddciilrft ed()dccilmft質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩外力對質(zhì)心的主矩. .思考：思考：如何實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？如何實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？動量矩守恒定律實例動量矩守恒定律實例航天器中反作用輪姿航天器中反作用輪姿態(tài)控制系統(tǒng)示意簡圖態(tài)控制系統(tǒng)示意簡圖例例11-711-7已知：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為已知：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r，沿地面純滾

16、動，角速度，沿地面純滾動，角速度 為為 。求：圓盤對求：圓盤對a、c、p三點的動量矩。三點的動量矩。capcap解：解：點點c為質(zhì)心為質(zhì)心22mrjlcc點點p為瞬心為瞬心232mrjlpp或或2321222mrmrmrlrmvlccp2) 12(212222222mrmrmrlrmvlcca是否可以如下計算：是否可以如下計算：23)(22mrmrjjlcaa ee()cccmafjmf 2e22e2ddd()dcccrmftjmft11-6 11-6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程平面運動平面運動隨質(zhì)心平移隨質(zhì)心平移繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動投影式投影式： eee()cxxcyycc

17、mafmafjmf etene()ctcnccmafmafjmf 以上各組均稱為剛體平面運動微分方程以上各組均稱為剛體平面運動微分方程. .已知：半徑為已知：半徑為r ，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動，的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動，如圖所示如圖所示. .設(shè)輪的慣性半徑為設(shè)輪的慣性半徑為 ，作用于輪的力偶矩為，作用于輪的力偶矩為m . .求輪心的加速度求輪心的加速度. .如果圓輪對地面的滑動摩擦因數(shù)為如果圓輪對地面的滑動摩擦因數(shù)為f ，問問力偶力偶m 必須符合什么條件不致使圓輪滑動必須符合什么條件不致使圓輪滑動? ?c例例11-811-8m解解：n2cxcycmafmafmgmmfr 22

18、22n,ccccf rmramrmrfmafmg純滾動的條件純滾動的條件：snff f即即22scrmf mgrca0car已知：均質(zhì)圓輪半徑為已知：均質(zhì)圓輪半徑為r 質(zhì)量為質(zhì)量為m ，受到輕微擾動后，受到輕微擾動后，在半徑為在半徑為r r 的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示的圓弧上往復(fù)滾動，如圖所示. .設(shè)表面足夠設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動粗糙，使圓輪在滾動時無滑動. . 求求: :質(zhì)心質(zhì)心c 的運動規(guī)律的運動規(guī)律. .例例11-911-9tcart21, sin2ccasjmr很小解解: :tsincmafmgcjfr cos2mgfrrvmncrrs0dd2322srrgts)sin(00tssrrg3220, 00vss初始條件初始條件grrvs23,000運動方程為運動方程為trrggrrvs32sin230例例11-1011-10已知：如圖所示均質(zhì)圓環(huán)半徑為已知：如圖所示均質(zhì)圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，其上焊接，其上焊接剛桿剛桿oa，桿長為，桿長為r，質(zhì)量也為，質(zhì)量也為m。用手扶住圓環(huán)使其在。用手扶住圓環(huán)使其在oa水平位置靜止。設(shè)圓環(huán)與地面間為純滾動。水平位置靜止