注冊電氣工程師考試之無窮級數(shù)和微分方程

1、 無窮級數(shù)無窮級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。三、傅立葉級數(shù)求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開，討論和函數(shù)的性質(zhì)。一、判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法一、判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項級數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂1.數(shù)項級數(shù)及收斂定義數(shù)項級數(shù)及收斂定義：給定一個數(shù)列,321nuuuu將各項依,1nnu即1nnunuuuu32

2、1稱上式為無窮級數(shù)， 其中第 n 項nu叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和nkknuS1稱為級數(shù)的部分和.nuuuu321次相加, 簡記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和和。時當1qpppn131211 等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ). 級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時當q級數(shù)發(fā)散 .其和為發(fā)散。收斂，當11ppP-級數(shù)級數(shù)2.無窮級數(shù)的基本性質(zhì)無窮級數(shù)的基本性質(zhì) ,1nnuS1nnv)(1nnnvu 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項乘以常數(shù) c 所得級數(shù)1nnuc也收斂 ,即其和為 c

3、S .性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂, 其和為.S說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .(用反證法可證)性質(zhì)性質(zhì)3.,1nnuS在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級的和.推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.性質(zhì)性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù)則必有.0limnnu可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級

4、數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .*例例1.判斷級數(shù)的斂散性:.,21211收收斂斂的的等等比比級級數(shù)數(shù)是是 qnn)3121()3121()3121()3121(3322nn解解:該級數(shù)是下列兩級數(shù)之差故原級數(shù)收斂.,31311收收斂斂的的等等比比級級數(shù)數(shù)是是 qnn (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若強級數(shù)1nnv則弱級數(shù)1nnu(2) 若弱級數(shù)1nnu則強級數(shù)1nnv則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .nnvku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),3.正項級數(shù)審斂法正項級數(shù)審斂法的斂散性。判別級數(shù)例1) 1(12nnn11) 1(1) 1(1

5、2nnnn (比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當 l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當 0 l 時,的斂散性. n1例例3. 判別級數(shù)1211lnnn解解:nlim1根據(jù)比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nn)1ln(21n21n221)11ln(nn比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設(shè) nu為正項級數(shù), 且,lim1nnnuu則(1) 當1(2) 當1時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 . 根值審斂法 ( Cauchy判別

6、法)設(shè) 1nnu為正項,limnnnu;,1) 1(級數(shù)收斂時當 .,1)2(級數(shù)發(fā)散時當 級數(shù), 且則時上述定理失效。注：1nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此級數(shù)12nnen收斂. 412的斂散性判別級數(shù)例nnen解解:4.交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負相間的級數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù) . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 。,2, 1,0nun設(shè)5.絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂

7、定義定義: 對任意項級數(shù),1nnu若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 . 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知:交錯級數(shù)11) 1(npnn.1;10絕對收斂當條件收斂當pp例例5. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :證證: ,1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .14sinnnnox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散 1.Abel定理定理 若冪級數(shù)0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對

8、收斂.反之, 若當0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式二、求冪級數(shù)收斂域二、求冪級數(shù)收斂域*例例6.已知冪級數(shù)0nnnxa在3x處收斂，則該級數(shù)在1x處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？解：由Abel定理 ，該冪級數(shù)在3x處絕對收斂，故在1x絕對收斂。例例7. 已知nnnxa00 xx 在處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答答:根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在0 xx 收斂 ,0 xx 時發(fā)散 . 故收斂半徑為.0 xR 若0nnnxa0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 當 0 時,2) 當

9、0 時,3) 當 時,則 的收斂半徑為1limnnnaaR2.求收斂半徑求收斂半徑對端點 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域為例例8.8.求冪級數(shù) limn 例例9. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域為. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x =

10、 0 處收斂 .規(guī)定規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n例例10.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當 t = 2 時, 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當 t = 2 時, 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)的收斂域為,212x即.31x三、求函數(shù)的冪級數(shù)展開式三、求函數(shù)的冪級數(shù)展開式1、對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話）2、利用已知結(jié)論，用變量代換或求導(dǎo)積分得所求函數(shù)的冪級數(shù)3、寫出收斂范圍(P34例1-37) x11

11、nxxx321) 1 , 1(xe! 212nxxxn),(xsin)!12() 1(! 5! 3121253nxxxxnn),( )1ln(x1) 1(32132nxxxxnn 1 , 1(1.求傅立葉級數(shù)展開式2.求某個傅立葉系數(shù)3.求和函數(shù)在某些點的值四、傅立葉級數(shù)的有關(guān)問題四、傅立葉級數(shù)的有關(guān)問題函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理定理 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn定理定理 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)

12、設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點, 則 f (x) 的傅里里葉級數(shù)收斂 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點其中nnba ,為 f (x) 的傅里里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點例例13.設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達式為),xxxf0,10,1)(oyx11的值。求)(),23(),2(),0() 1 (SSSS.)2(3b求解解:1)23(, 1)2(),()(,)

13、 1 (SSxfxSkx當0)()0(, 02) 1(1)(,SSxSkx當?shù)母盗⑷~級數(shù)的和函數(shù)是)()(xfxsxxxfbd3sin)(1)2(300d3sin11d3sin) 1(1xxxx34微分方程微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、解微分方程二、解微分方程三、微分方程應(yīng)用三、微分方程應(yīng)用含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念的階階.,xyyx例如：例如：一階微分方程yxyx 2)1(2二階微分方程 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程

14、確定通解中任意常數(shù)的條件.初始條件初始條件( (或邊值條件或邊值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .例例1. 驗證函數(shù)是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解.解解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2tkCtkCxsincos21是方程的解 .),(21為常數(shù)CCt kkCcos2102xk二、解微分方程二、解微分方程1. 一階微分方程可分離變量，一階線性2. 高階微分方程可降階微分方程，二階線性常系數(shù)齊次，二階線性常系數(shù)非齊次只要求寫出特解形式。分離

15、變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(2)兩邊積分 yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF(3)得到通解稱為方程的隱式通解, 或通積分.(1)分離變量*例例2. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得Cxylnln3即3xeCy ( C 為任意常數(shù) )因此可能增、減解.一階線性微分方程一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPy

16、lnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程齊次方程 ;對應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy則xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin

17、 Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解* *例例3.3.利用一階線性方程的通解公式得：利用一階線性方程的通解公式得：例例4. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1()()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(

18、Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 例例5. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy例例6. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0

19、 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy例例7. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,ln

20、lnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd*例例8. 解初值問題解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解,也是該方程的解.)()(2211xyCxy

21、Cy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, 則)()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21(自證) xytan21y為任意常21,(CC),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解二階線性常系數(shù)齊次微分方

22、程求解例例9.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例例10. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為tets)24(22C*例例11.052 yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 0522rr特征根:ir212,1因此原方程通解為)2sin2cos(43xCxCeyx例例12.32線性方程數(shù)齊次為一個特解的二階常系寫出以xxey 解：因xxey23是一個特解，所以2是特征方程的重根，故特征方程為：0440)2(22rrr所對應(yīng)微分方程為044 yyy二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(*