一連乘乘加乘減和把整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù).ppt

1、小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識研究曾小平曾小平首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的數(shù)都是人為的。上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的數(shù)都是人為的。（注：這里上帝指大自然） 克羅內(nèi)克（德，數(shù)學(xué)家）克羅內(nèi)克（德，數(shù)學(xué)家） 對兒童來講，自然數(shù)遠(yuǎn)比實(shí)物難以理對兒童來講，自然數(shù)遠(yuǎn)比實(shí)物難以理解。為什么？解。為什么？ 自然數(shù)數(shù)有兩種屬性。基數(shù)屬性指什自然數(shù)數(shù)有兩種屬性。基數(shù)屬性指什么？序數(shù)屬性指什么？么？序數(shù)屬性指什么？ 基數(shù)基數(shù)表示集合的元素有多少個表示集合的元素有多少個 0 a 1 a,b 2 a,b,c 3 序數(shù)序數(shù)表示集合中元素的的順序表示集合中元素的的順序 a , b , c , d

2、, e , f , 1 2 3 4 5 6 數(shù)（數(shù)（sh）來源于數(shù)（）來源于數(shù)（sh），計數(shù)就是數(shù)），計數(shù)就是數(shù)（sh）數(shù)（）數(shù)（sh）。）。為什么說1是特殊的自然數(shù)？為什么要把0作為自然數(shù)？ 中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)（gb3100-3102-93第第311頁）規(guī)定：頁）規(guī)定：0是自然數(shù)，表示是自然數(shù)，表示一個也沒有。一個也沒有。0 作為自然數(shù)會帶來哪些麻煩？ 0 0作除數(shù)會怎樣？作除數(shù)會怎樣？ 0 0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？ 最小的一位數(shù)是幾？最小的一位數(shù)是幾？ 0 0的約數(shù)是多少？的約數(shù)是多少？0 0是任何一個自然數(shù)的倍是任何一個自然數(shù)的倍數(shù)嗎？數(shù)嗎？ 0 0只

3、是一個自然數(shù)，不要對它的意義過分追只是一個自然數(shù)，不要對它的意義過分追究，否則在小學(xué)階段很難向?qū)W生解釋！究，否則在小學(xué)階段很難向?qū)W生解釋！加法、減法的含義 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義加法？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義加法？ 加法的結(jié)果為和，為什么不是合？加法的結(jié)果為和，為什么不是合？ 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義減法？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義減法？ 小學(xué)生在加減法運(yùn)算的困難在哪里？小學(xué)生在加減法運(yùn)算的困難在哪里？ 哪些加減法學(xué)生不易掌握？哪些加減法學(xué)生不易掌握？乘法、除法的含義 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義乘法？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義乘法？ 乘法的結(jié)果為什么叫做積？乘法的結(jié)果為什么叫做積？ 小學(xué)乘法可以怎么算？小學(xué)乘法可以怎么算？ 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義除法

4、？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義除法？ 除法結(jié)果為什么叫做商？除法結(jié)果為什么叫做商？ 小學(xué)除法可以怎么算？小學(xué)除法可以怎么算？ 除法有分配律嗎？除法有分配律嗎？ 分配律的價值是什么？分配律的價值是什么？四則運(yùn)算的性質(zhì)與規(guī)律 加法、乘法有哪些運(yùn)算律？如何證明？它加法、乘法有哪些運(yùn)算律？如何證明？它們的本質(zhì)是什么？們的本質(zhì)是什么？ 加減乘除四則運(yùn)算有哪些運(yùn)算性質(zhì)？它們加減乘除四則運(yùn)算有哪些運(yùn)算性質(zhì)？它們同哪些知識有關(guān)？今后什么時候會用到它同哪些知識有關(guān)？今后什么時候會用到它們？們？四則運(yùn)算中的常見錯誤四則運(yùn)算中的常見錯誤32523248325248523232483）（）（62542564252）（104251

5、04251）（）（錯了沒有？如何評價？評價標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 學(xué)生的解答是否有其合理性？學(xué)生是如何學(xué)生的解答是否有其合理性？學(xué)生是如何思考的？思考的？ 學(xué)生這樣做違背了什么？數(shù)學(xué)中的知識按學(xué)生這樣做違背了什么？數(shù)學(xué)中的知識按照主觀與客觀可以如何分類？哪些能夠違照主觀與客觀可以如何分類？哪些能夠違背？哪些不能違背？這幾類知識如何教學(xué)？背？哪些不能違背？這幾類知識如何教學(xué)？ 如何評價學(xué)生的這種解答？我們要以什么如何評價學(xué)生的這種解答？我們要以什么樣的心態(tài)對待學(xué)生的樣的心態(tài)對待學(xué)生的“錯誤錯誤”？如何糾正？如何糾正學(xué)生不規(guī)范的書寫？學(xué)生不規(guī)范的書寫？余數(shù)的運(yùn)用身份證校驗(yàn)碼號號碼碼1 1 010519491

6、231002x權(quán)權(quán)重重7 9 10584216379105842權(quán)重求和為權(quán)重求和為167167，再除以，再除以1111得余數(shù)得余數(shù)2 2，再尋找相應(yīng)校驗(yàn)碼，再尋找相應(yīng)校驗(yàn)碼x x余數(shù)余數(shù)0 12345678910校驗(yàn)校驗(yàn)碼碼1 0x 98765432余數(shù)的運(yùn)用商品條形碼 國際商品編碼協(xié)會，國際商品編碼協(xié)會，ean-13ean-13有有1313位：本體碼位：本體碼+ +校驗(yàn)碼校驗(yàn)碼 前三位為生產(chǎn)國家和地區(qū)代碼，中間前三位為生產(chǎn)國家和地區(qū)代碼，中間4-64-6位為生產(chǎn)商代碼，位為生產(chǎn)商代碼，后面后面3-53-5位為商品代碼。位為商品代碼。 前三位：前三位：690-692690-692代表中國大陸

7、，代表中國大陸，471471代表中國臺灣，代表中國臺灣，489489代表中國香港。代表中國香港。 校驗(yàn)碼的計算過程校驗(yàn)碼的計算過程 （1 1）計算前）計算前1212位中奇數(shù)位數(shù)字和位中奇數(shù)位數(shù)字和j j； （2 2）計算前）計算前1212位中偶數(shù)位數(shù)字和的位中偶數(shù)位數(shù)字和的3 3倍倍s s； （3 3）計算）計算j+sj+s； （4 4）計算）計算j+sj+s除以除以1010的余數(shù)的余數(shù)x x； （5 5）計算補(bǔ)數(shù)）計算補(bǔ)數(shù)(10-x)(10-x)作為校驗(yàn)碼。作為校驗(yàn)碼。6902952880294余數(shù)的運(yùn)用書號 國際標(biāo)準(zhǔn)書號國際標(biāo)準(zhǔn)書號 isbn+組號組號+出版者號出版者號+書名號書名號+校驗(yàn)

8、碼校驗(yàn)碼 商品條碼（商品條碼（ean) 987+國家地區(qū)代碼國家地區(qū)代碼+出版機(jī)構(gòu)代出版機(jī)構(gòu)代碼碼+商品代碼商品代碼+校驗(yàn)碼校驗(yàn)碼isbn 7-303-05884-29787303058846 國際標(biāo)準(zhǔn)書號國際標(biāo)準(zhǔn)書號 （1）計算前九位本體嗎的加權(quán)和）計算前九位本體嗎的加權(quán)和s=207； （2）s除以除以11得余數(shù)得余數(shù)y=9； （3）求）求y的補(bǔ)數(shù)的補(bǔ)數(shù)j=11 y=2，即為校驗(yàn)碼。，即為校驗(yàn)碼。isbn 7-303-05884-2數(shù)碼730305884權(quán)重1098765432算術(shù)運(yùn)算的特征 （1）計算）計算1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+ =？ （2）比較）比較0.9999

9、與與1的大小？的大??？1. 十進(jìn)制計數(shù)法 “十進(jìn)制計數(shù)法”包括“十進(jìn)位”和“位置值”兩條原則： “十進(jìn)位十進(jìn)位”，就是滿十進(jìn)一，即相鄰兩個計數(shù)單位，就是滿十進(jìn)一，即相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率為十。之間的進(jìn)率為十。 “位置值位置值”，就是同一個數(shù)字在不同數(shù)位上表示，就是同一個數(shù)字在不同數(shù)位上表示的數(shù)值不同。的數(shù)值不同?！笆M(jìn)制計數(shù)法”的歷史發(fā)展 第一階段，創(chuàng)造數(shù)字符號，即每個數(shù)字對第一階段，創(chuàng)造數(shù)字符號，即每個數(shù)字對應(yīng)一個文字符號，只能用有限的一些符號應(yīng)一個文字符號，只能用有限的一些符號表示有限的一些數(shù)。表示有限的一些數(shù)。 第二階段，建立進(jìn)位規(guī)則，即重復(fù)使用有第二階段，建立進(jìn)位規(guī)則，即重復(fù)使用有

10、限的幾個數(shù)字符號按一定規(guī)則進(jìn)行組合表限的幾個數(shù)字符號按一定規(guī)則進(jìn)行組合表示大量數(shù)字。示大量數(shù)字。 比如，古埃及用比如，古埃及用 表示表示1、 表示表示10、用、用表示表示32。公元前。公元前1600年左右，我國年左右，我國的甲骨文中就有專用的符號表示的甲骨文中就有專用的符號表示“一、二、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千千”等數(shù)字，并用這些符號進(jìn)行組合表示等數(shù)字，并用這些符號進(jìn)行組合表示其它的數(shù)。其它的數(shù)。 這種計數(shù)系統(tǒng)的進(jìn)率為十，這就是早期的這種計數(shù)系統(tǒng)的進(jìn)率為十，這就是早期的“十進(jìn)制計數(shù)法十進(jìn)制計數(shù)法”。 第三階段，建立位置概念，即數(shù)字符號在

11、第三階段，建立位置概念，即數(shù)字符號在不同的不同的“位位”表示基數(shù)不同的量，比較直表示基數(shù)不同的量，比較直觀的計數(shù)。人類將常見的計數(shù)單位從右到觀的計數(shù)。人類將常見的計數(shù)單位從右到左排成一排，計數(shù)時在對應(yīng)的位置上寫上左排成一排，計數(shù)時在對應(yīng)的位置上寫上相應(yīng)單位的個數(shù)，而不必重復(fù)記下各個單相應(yīng)單位的個數(shù)，而不必重復(fù)記下各個單位。位。 第四階段，建立十進(jìn)制計數(shù)法，即按照第四階段，建立十進(jìn)制計數(shù)法，即按照“滿十進(jìn)一滿十進(jìn)一”的原則，用的原則，用09這這10個數(shù)字個數(shù)字表示所有自然數(shù)。表示所有自然數(shù)。 偉大政治家馬克思偉大政治家馬克思 ：“人類最妙的發(fā)明之一人類最妙的發(fā)明之一”。 法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯法國數(shù)

12、學(xué)家拉普拉斯 ：“用十個記號表示一切數(shù)，用十個記號表示一切數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這是每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這是一個深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來如此簡單，一個深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以至于我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡以至于我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都帶來了極大的方便，才使得單性以及對一切計算都帶來了極大的方便，才使得我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位 ”。 東北師范大學(xué)史寧中校長：東北師范大學(xué)史寧中校長：“人類從數(shù)量的多少中人類從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念，并且

13、用十個符號來表示，這不僅抽象出數(shù)的概念，并且用十個符號來表示，這不僅對于數(shù)學(xué)，即便對于人類文明的發(fā)展的貢獻(xiàn)也都是對于數(shù)學(xué)，即便對于人類文明的發(fā)展的貢獻(xiàn)也都是巨大的巨大的” 。十進(jìn)制計數(shù)法的重要價值“認(rèn)識11-20各數(shù)”的教學(xué) 體會體會“要用一個代表多個要用一個代表多個” ； 體會單個計數(shù)的局限性體會單個計數(shù)的局限性 ； 操作理解操作理解“滿十進(jìn)一滿十進(jìn)一” ； 操作中體會操作中體會“借一當(dāng)十借一當(dāng)十” 。感興趣的讀者可以參閱 六年級六年級 “ “認(rèn)識負(fù)數(shù)認(rèn)識負(fù)數(shù)”的數(shù)學(xué)公開課上，比較數(shù)的數(shù)學(xué)公開課上，比較數(shù)的大小引出現(xiàn)了困難：的大小引出現(xiàn)了困難： 1616-5-5，5 5-16-16，-5-5

14、-16-16。 第一小題，學(xué)生全部正確。第一小題，學(xué)生全部正確。 第二小題，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為第二小題，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為5-165-16，因?yàn)椋阆?，因?yàn)?，零?616要比要比55冷得多冷得多”。 第三小題，大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為第三小題，大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為“-5-16”-5-16”，因?yàn)椋驗(yàn)?，在銀行里第一次取出在銀行里第一次取出5 5元錢，第二次取出元錢，第二次取出1616元錢，元錢，第二次取出的第二次取出的1616元多，所以元多，所以-5-16”-5-16”。2. 負(fù)數(shù)的理解與教學(xué)減法的局限性 在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，加法是可以暢通無阻的在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，加法是可以暢通無阻的進(jìn)行的，即任何兩個非負(fù)數(shù)相加，其結(jié)果

15、進(jìn)行的，即任何兩個非負(fù)數(shù)相加，其結(jié)果是非負(fù)數(shù)，是非負(fù)數(shù)， 可是，在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，減法卻不能暢通可是，在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，減法卻不能暢通無阻的進(jìn)行，當(dāng)減數(shù)大于被減數(shù)時差不是無阻的進(jìn)行，當(dāng)減數(shù)大于被減數(shù)時差不是非負(fù)數(shù)。非負(fù)數(shù)。 因此，要適當(dāng)延伸非負(fù)數(shù)，即增加一些新因此，要適當(dāng)延伸非負(fù)數(shù)，即增加一些新的數(shù)，得到一個更廣闊的范圍。使得在這的數(shù)，得到一個更廣闊的范圍。使得在這個大范圍內(nèi)，減法可以暢通無阻的進(jìn)行。個大范圍內(nèi)，減法可以暢通無阻的進(jìn)行。 在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，我們沒辦法計算在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，我們沒辦法計算5-8，但，但可以盡量將它化簡，即根據(jù)差不變的性質(zhì)，可以盡量將它化簡，即根據(jù)差不變的性質(zhì)，得到得到5-

16、8=0-3，把，把0-3看做一個新的數(shù)，簡單看做一個新的數(shù)，簡單記作記作-3。 數(shù)學(xué)上規(guī)定形如數(shù)學(xué)上規(guī)定形如3（=0+3）、）、5（0+5）這樣）這樣的數(shù)叫做正數(shù)，形如的數(shù)叫做正數(shù)，形如-3（=0-3）、）、-5（=0-5）這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，把正數(shù)、零和負(fù)數(shù)統(tǒng)這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，把正數(shù)、零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。稱為有理數(shù)。 在有理數(shù)范圍內(nèi)，按照非負(fù)數(shù)的加減法進(jìn)在有理數(shù)范圍內(nèi)，按照非負(fù)數(shù)的加減法進(jìn)行計算就可以了。比如，行計算就可以了。比如，8+（-13）=8+（0-13）=8-13=0-5=-5，9-（-4）=9-（0-4）=9-0+4=13，-7-（-5）=（0-7）-（0-5）=0-7+5=5-

17、7=0-2=-2。 數(shù)學(xué)上規(guī)定：數(shù)學(xué)上規(guī)定： 如果如果a-b0，則，則ab； 如果如果a-b0，則，則a=b； 如果如果a-b0，則，則ab。比如，（比如，（-8）-（-5）=-3，所以，所以-8-5。在小學(xué)階段，要求不是特別嚴(yán)密，如果注意在小學(xué)階段，要求不是特別嚴(yán)密，如果注意到到-8=0-8、-5）=0-5，因?yàn)椋驗(yàn)?-80-5（被減（被減數(shù)相同，減數(shù)越大，差越?。?，也可以得數(shù)相同，減數(shù)越大，差越小），也可以得到到-8-5。數(shù)的大小比較“認(rèn)識負(fù)數(shù)”的教學(xué)感興趣的讀者可以參閱3.分?jǐn)?shù)的本質(zhì)與教學(xué)在北京市監(jiān)測試題中，下面兩題普遍出錯：在北京市監(jiān)測試題中，下面兩題普遍出錯：1.1.小蘭按要求配制

18、了兩杯糖水：小蘭按要求配制了兩杯糖水：第一杯，糖占第一杯，糖占水的水的1/51/5；第二杯，用；第二杯，用1010克糖配制克糖配制5050克糖水?？颂撬Ｄ囊槐鹉?？哪一杯更甜呢？2.2.圖中圓被平均分成圖中圓被平均分成8 8分，將涂分，將涂 色的色的5 5份看做單位份看做單位1 1，用分?jǐn)?shù)表，用分?jǐn)?shù)表 示未涂色的部分為（示未涂色的部分為（ ）。）。分?jǐn)?shù)的意義是什么？ 課本上說：將單位課本上說：將單位1（可以是一個個體，也（可以是一個個體，也可以是一個整體）平均分成幾份，表示一可以是一個整體）平均分成幾份，表示一份或者幾份的數(shù)。份或者幾份的數(shù)。 學(xué)生所掌握的分?jǐn)?shù)的學(xué)生所掌握的分?jǐn)?shù)的“份數(shù)份數(shù)

19、”定義，只是定義，只是分?jǐn)?shù)的一種直觀模型化解釋，并不是分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的一種直觀模型化解釋，并不是分?jǐn)?shù)定義的本質(zhì)所在。定義的本質(zhì)所在。 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)有三種定義，即份數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)有三種定義，即份數(shù)定義、商的定義和比的定義，定義、商的定義和比的定義，“商的定義商的定義”才是分?jǐn)?shù)定義的本質(zhì)所在。才是分?jǐn)?shù)定義的本質(zhì)所在。 份數(shù)的定義有什么優(yōu)點(diǎn)？有什么缺點(diǎn)？份數(shù)的定義有什么優(yōu)點(diǎn)？有什么缺點(diǎn)？為什么說為什么說“商的定義商的定義”才是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)定義？才是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)定義？這兩個定義有何異同？這兩個定義有何異同？五年級“分?jǐn)?shù)意義”的教學(xué) （一）分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性（一）分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性（二）分?jǐn)?shù)的定義（二）分

20、數(shù)的定義感興趣的讀者可以參閱4.小數(shù)的意義與教學(xué) 2010年年11月，在一個小學(xué)數(shù)學(xué)教師的交流月，在一個小學(xué)數(shù)學(xué)教師的交流群里，有一個帖子，引發(fā)了不少小學(xué)教師群里，有一個帖子，引發(fā)了不少小學(xué)教師的討論。的討論。 這個帖子是：這個帖子是：“課本上說小數(shù)是一種特殊課本上說小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，既然小學(xué)已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，的分?jǐn)?shù)，既然小學(xué)已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，將小數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題來處理就行了，將小數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題來處理就行了，為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢？為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢？” 小數(shù)的定義？課本中的小數(shù)定義這個教學(xué)案例說明了什么？小數(shù)的本質(zhì)小數(shù)的教學(xué) 用人民幣類比引入小數(shù)用人民幣類比引入小數(shù) ；

21、 用米尺測量理解小數(shù)的產(chǎn)生和含義。用米尺測量理解小數(shù)的產(chǎn)生和含義。5.多位數(shù)乘法的算法與教學(xué) 乘法的計算方法乘法豎式的教學(xué)6.除法豎式的歷史演變與教學(xué) 學(xué)生為什么不會寫除法豎式？ 為何探究不出來？122 242 4 4 0243 726 12 12 0？難點(diǎn)分析除法豎式的教學(xué) 師：把這師：把這42根小棒平均分給根小棒平均分給3個小朋友，你個小朋友，你怎么分？請你分一分，分完后請告訴老師，怎么分？請你分一分，分完后請告訴老師，你是分幾步完成的？每一步對應(yīng)的數(shù)學(xué)算你是分幾步完成的？每一步對應(yīng)的數(shù)學(xué)算式是什么？式是什么？ 生：我分三步來分的。第一步，把生：我分三步來分的。第一步，把4捆平均捆平均非給

22、非給3個人，每人個人，每人1捆，還余下一捆，對應(yīng)捆，還余下一捆，對應(yīng)算式算式4311；第二步，把余下一捆打；第二步，把余下一捆打開，和開，和2根放在一起，得到根放在一起，得到12根，對應(yīng)算式根，對應(yīng)算式10212；第三步，把；第三步，把12根平均分給根平均分給3個個人，每人人，每人4根，對應(yīng)算式根，對應(yīng)算式1234 。 師：把這師：把這42根小棒平均分給根小棒平均分給4個人，請你用個人，請你用剛才的第一種方法分一分，分完后請告訴剛才的第一種方法分一分，分完后請告訴老師，你是分幾步完成的？每一步對應(yīng)的老師，你是分幾步完成的？每一步對應(yīng)的數(shù)學(xué)算式是什么？數(shù)學(xué)算式是什么？ 生：分三步來分的：第一步，

23、把生：分三步來分的：第一步，把4捆平均分捆平均分給給4個人，每人個人，每人1捆，對應(yīng)算式捆，對應(yīng)算式441；第；第二步，把第一步余下的和二步，把第一步余下的和2根放在一起，得根放在一起，得到到2根，對應(yīng)算式根，對應(yīng)算式022；第三步，把；第三步，把2根根平均分給平均分給4個人，每人個人，每人0根，余下兩根，對根，余下兩根，對應(yīng)算式應(yīng)算式2402（教師把三個算式寫在（教師把三個算式寫在黑板上）。結(jié)果為，每人黑板上）。結(jié)果為，每人10根余下根余下2根。根。7.7.三角形的內(nèi)角和為什么等于三角形的內(nèi)角和為什么等于180180？ 在一節(jié)在一節(jié)“三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和”的公開課上，教師期的公開課上

24、，教師期望學(xué)生通過度量發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于望學(xué)生通過度量發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于180，便讓每位學(xué)生隨意畫一個三角形，用量角器量出便讓每位學(xué)生隨意畫一個三角形，用量角器量出三個內(nèi)角的度數(shù)，然后把它們加起來，看看等于三個內(nèi)角的度數(shù)，然后把它們加起來，看看等于多少。多少。 然而，大部分學(xué)生測量的結(jié)果都不是然而，大部分學(xué)生測量的結(jié)果都不是180（要（要么多一點(diǎn)，要么少一點(diǎn)），僅有幾個學(xué)生量出所么多一點(diǎn)，要么少一點(diǎn)），僅有幾個學(xué)生量出所畫的三角形內(nèi)角和為畫的三角形內(nèi)角和為180，教師就通過投影展，教師就通過投影展示了這幾個學(xué)生的示了這幾個學(xué)生的“作品作品”，然后通過投影出示，然后通過投影出示結(jié)論結(jié)論“

25、三角形的內(nèi)角和為三角形的內(nèi)角和為180”。接下頁接下頁 誰知，膽大的學(xué)生開始反駁，誰知，膽大的學(xué)生開始反駁，“老師，大多數(shù)同老師，大多數(shù)同學(xué)的三角形都不是學(xué)的三角形都不是180，你為什么卻偏偏同意，你為什么卻偏偏同意少數(shù)幾個同學(xué)的結(jié)果？少數(shù)幾個同學(xué)的結(jié)果？” 老師連忙解釋道，老師連忙解釋道，“因?yàn)槟銈兊臏y量存在誤差，因?yàn)槟銈兊臏y量存在誤差，如果你們測量準(zhǔn)確，也會得到三角形內(nèi)角和為如果你們測量準(zhǔn)確，也會得到三角形內(nèi)角和為180”。 然而，學(xué)生卻不依不饒，然而，學(xué)生卻不依不饒，“就算我們測量準(zhǔn)確，就算我們測量準(zhǔn)確，得到三角形的內(nèi)角和為得到三角形的內(nèi)角和為180，我們班上，我們班上30多個多個同學(xué)測

26、量的也是成千上萬個三角形中的很少一部同學(xué)測量的也是成千上萬個三角形中的很少一部分，這怎么就能說明所有的都是分，這怎么就能說明所有的都是180呢？呢？” 教師無言以對了，只好說教師無言以對了，只好說“等你們長大了，就可等你們長大了，就可以證明三角形的內(nèi)角和為以證明三角形的內(nèi)角和為180了，現(xiàn)在你們只了，現(xiàn)在你們只要記住這個結(jié)論就行了要記住這個結(jié)論就行了”。內(nèi)角和公式的證明運(yùn)用歸納方法發(fā)現(xiàn)結(jié)論 教學(xué)階段（一） 師：從銳角三角形到直角三角形，再到鈍角三角師：從銳角三角形到直角三角形，再到鈍角三角形，最大的角在變化，另外兩個角呢？形，最大的角在變化，另外兩個角呢？ 生：另外兩個角在變小。生：另外兩個角

27、在變小。 師：可以大膽的設(shè)想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？師：可以大膽的設(shè)想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？ 生：在三角形中，一個角變大，另外兩個角會變生：在三角形中，一個角變大，另外兩個角會變小。小。 生：有可能三個角的和是不變的，是一個固定值。生：有可能三個角的和是不變的，是一個固定值。 生：我也覺得有這個可能。我們文具盒里的兩個生：我也覺得有這個可能。我們文具盒里的兩個三角板，內(nèi)角度數(shù)分別為三角板，內(nèi)角度數(shù)分別為90、45、45和和90、60、30，總和為，總和為180。 生：好像等邊三角形每個角生：好像等邊三角形每個角60，那么它的內(nèi)角，那么它的內(nèi)角和為和為180。 生：有可能所有三角形的內(nèi)角和都是生：有可能所

28、有三角形的內(nèi)角和都是180。 師：真是這樣嗎？你能夠用事實(shí)來說明嗎？師：真是這樣嗎？你能夠用事實(shí)來說明嗎？ 生：我剪下一個三角形的三個角，拼在一起，好生：我剪下一個三角形的三個角，拼在一起，好像形成一個平角，可以大致說明三角形的內(nèi)角和像形成一個平角，可以大致說明三角形的內(nèi)角和是是180。 生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內(nèi)角分生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內(nèi)角分別為別為75、83和和21，和為，和為179，接近，接近180。 生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內(nèi)角分別為112、53和16，和為181，比180多了一點(diǎn)點(diǎn)。 生：我畫出了一個三角形，量出它的三個內(nèi)角分別為66、71和4

29、3，和剛好為180。 師：從上述四位同學(xué)的研究中，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：三角形的內(nèi)角和很有可能是180。 生：可是我們兩個的結(jié)果是179和181啊？ 生：可能你們測量不夠準(zhǔn)確，所以有點(diǎn)偏離180。 生：我們測量的到的結(jié)果都在180附近，沒有偏離的太遠(yuǎn)，這說明三角形的內(nèi)角和很有可能是180。運(yùn)用演繹方法證明結(jié)論運(yùn)用演繹方法證明結(jié)論 教學(xué)片斷（二）教學(xué)片斷（二）8. 平均數(shù)的含義與教學(xué) 哪一個球隊(duì)更高？ 計算兩個球隊(duì)的平均身計算兩個球隊(duì)的平均身高，其中歡樂隊(duì)平均身高，其中歡樂隊(duì)平均身高為（高為（148142139141140）5142（厘米），開心隊(duì)平均（厘米），開心隊(duì)平均身高為（身高為（14414

30、6142145143）5144（厘米）。最后，（厘米）。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，“開心隊(duì)高一些開心隊(duì)高一些”。 此時，有個學(xué)生提出疑問。此時，有個學(xué)生提出疑問?！耙容^兩個球隊(duì)的要比較兩個球隊(duì)的身高，只要比較身高的總數(shù)就可以了。而且比較身高，只要比較身高的總數(shù)就可以了。而且比較總數(shù)還更簡單一些。因此，沒有必要比較平均數(shù)，總數(shù)還更簡單一些。因此，沒有必要比較平均數(shù)，用平均數(shù)反而復(fù)雜了用平均數(shù)反而復(fù)雜了”。 教師沒有立即回答這個問題，而是問其他同學(xué)，教師沒有立即回答這個問題，而是問其他同學(xué)，“你們怎么看？你們怎么看？” 有學(xué)生說，有學(xué)生說，“要是隊(duì)員超過要是隊(duì)員超過10人

31、，我們就沒辦法人，我們就沒辦法計算了，我們只學(xué)過除數(shù)是一位數(shù)的除法。算總計算了，我們只學(xué)過除數(shù)是一位數(shù)的除法。算總數(shù)只用加法，我們都會算數(shù)只用加法，我們都會算”；也有學(xué)生說，；也有學(xué)生說，“要要是最后除不盡，怎么比較呢？所以算平均數(shù)不是最后除不盡，怎么比較呢？所以算平均數(shù)不好好”。 學(xué)習(xí)平均數(shù)時，學(xué)生會出現(xiàn)哪些常學(xué)習(xí)平均數(shù)時，學(xué)生會出現(xiàn)哪些常見錯誤見錯誤 ？平均數(shù)的統(tǒng)計含義 （一）統(tǒng)計學(xué)的本質(zhì)與基本過程 統(tǒng)計學(xué)是關(guān)于搜集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)，其目的是為了對一些不確定的事物進(jìn)行較準(zhǔn)確的推斷。統(tǒng)計學(xué)的本質(zhì)是數(shù)據(jù)分統(tǒng)計學(xué)的本質(zhì)是數(shù)據(jù)分析，通過對數(shù)據(jù)的分析來了解和判斷數(shù)據(jù)析，通過對數(shù)據(jù)的分析來了解和

32、判斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景。產(chǎn)生的背景。 （1）確定研究問題；）確定研究問題； （2）制定研究方法；）制定研究方法； （3）搜集數(shù)據(jù)，采集信息；）搜集數(shù)據(jù)，采集信息； （4）分析數(shù)據(jù)，探索隱含的規(guī)律；）分析數(shù)據(jù)，探索隱含的規(guī)律； （5）做出推斷與結(jié)論。）做出推斷與結(jié)論。（2）統(tǒng)計的基本過程 （3）平均數(shù)的含義naaaxn21ffafafaxnn2211ffax11ffa22ffann （四）平均數(shù)的特征 平均數(shù)介于最大值和最小值之間，即平均平均數(shù)介于最大值和最小值之間，即平均數(shù)比最小的數(shù)大一些，比最大的數(shù)小一些；數(shù)比最小的數(shù)大一些，比最大的數(shù)小一些； 平均數(shù)是一個虛擬值，即平均數(shù)不一定是平均數(shù)是一個虛

33、擬值，即平均數(shù)不一定是這一組數(shù)據(jù)中的數(shù)；平均數(shù)反映的是一組數(shù)這一組數(shù)據(jù)中的數(shù)；平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的特征，不是其中每一個數(shù)據(jù)的特征；據(jù)的特征，不是其中每一個數(shù)據(jù)的特征； 所有數(shù)據(jù)都影響平均數(shù)，即所有的數(shù)據(jù)所有數(shù)據(jù)都影響平均數(shù)，即所有的數(shù)據(jù)（包括（包括0）都要參與平均數(shù)的計算；）都要參與平均數(shù)的計算； （四）平均數(shù)的特征 平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，即一個數(shù)據(jù)平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，即一個數(shù)據(jù)離平均數(shù)越遠(yuǎn)，對平均數(shù)的影響越；離平均數(shù)越遠(yuǎn)，對平均數(shù)的影響越； 所有的數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動，它們的偏所有的數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動，它們的偏差之和等于差之和等于0； 平均數(shù)并不是將所有的數(shù)據(jù)都變得相等了，平

34、均數(shù)并不是將所有的數(shù)據(jù)都變得相等了，而是將各個數(shù)據(jù)平均分擔(dān)了。而是將各個數(shù)據(jù)平均分擔(dān)了。平均數(shù)的教學(xué) （一）明確問題 師：學(xué)校想知道咱們?nèi)昙壍降啄猩哌€是女生師：學(xué)校想知道咱們?nèi)昙壍降啄猩哌€是女生高，你打算怎么辦？高，你打算怎么辦？ 生：測量我們學(xué)校三年級生：測量我們學(xué)校三年級8個班所有同學(xué)的身高，個班所有同學(xué)的身高，然后進(jìn)行比較。然后進(jìn)行比較。 師：這是個好辦法。不過老師很好奇，想這節(jié)課師：這是個好辦法。不過老師很好奇，想這節(jié)課就知道大概的結(jié)果。你打算怎么辦？就知道大概的結(jié)果。你打算怎么辦？ 生：以咱們班為代表，測量一下我們的身高。生：以咱們班為代表，測量一下我們的身高。 生：咱們班近

35、生：咱們班近40人，全部都測量也需要很多時間。人，全部都測量也需要很多時間。干脆找一個小組代替，這樣更快，也能大致回答干脆找一個小組代替，這樣更快，也能大致回答學(xué)校的問題。學(xué)校的問題。 （二）搜集數(shù)據(jù)（二）搜集數(shù)據(jù) 師：找哪個小組呢？師：找哪個小組呢？ 生：第三組比較合適，他們組沒有太高的，也沒生：第三組比較合適，他們組沒有太高的，也沒有太矮的，身高比較中等，比較有代表性。有太矮的，身高比較中等，比較有代表性。 師：好?，F(xiàn)在咱們測量第三組同學(xué)的身高。師：好。現(xiàn)在咱們測量第三組同學(xué)的身高。 （三）分析數(shù)據(jù) 師：從這九個數(shù)字出發(fā)，怎么比較呢？師：從這九個數(shù)字出發(fā)，怎么比較呢？ 生：把這些數(shù)字加起來

36、，看看誰大。生：把這些數(shù)字加起來，看看誰大。 生：那不行。女生人數(shù)多，肯定女生總數(shù)大。不生：那不行。女生人數(shù)多，肯定女生總數(shù)大。不一定說明女生高，因?yàn)樽罡叩氖悄猩Ｒ欢ㄕf明女生高，因?yàn)樽罡叩氖悄猩?生：那就把他們折算一下，折算成一個人大概有生：那就把他們折算一下，折算成一個人大概有多高，不就可以比較了嗎？多高，不就可以比較了嗎？ 師：這是一個好辦法，怎么折算呢？師：這是一個好辦法，怎么折算呢？ 生：第四個男生高，把他的身高移生：第四個男生高，把他的身高移2厘米給第一厘米給第一個，移個，移1厘米給第三個，大家都成了厘米給第三個，大家都成了135厘米了，厘米了，這就是折算后男生的大致身高。這就是折算后男生的大致身高。 師：這種方法叫做移多補(bǔ)少，比較直觀形象。師：這種方法叫做移多補(bǔ)少，比較直觀形象。 師：女生呢？師：女生呢？ 生：好像不太好移，可能移多補(bǔ)少的方法生：好像不太好移，可能移多補(bǔ)少的方法不靈了？不靈了？ 師：是的。誰還有別的方法？師：是的。誰還有別的方法？ 生：生：全部加起來除以全部加起來除以5就可以了，也就是就可以了，也就是（134+133+136+134+137）5，結(jié)果是商，結(jié)果是商134還余還余4。 生：我用計算器算的，女生的