一連乘乘加乘減和把整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù).ppt

1、小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)研究曾小平曾小平首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的數(shù)都是人為的。上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的數(shù)都是人為的。（注：這里上帝指大自然） 克羅內(nèi)克（德，數(shù)學(xué)家）克羅內(nèi)克（德，數(shù)學(xué)家） 對(duì)兒童來(lái)講，自然數(shù)遠(yuǎn)比實(shí)物難以理對(duì)兒童來(lái)講，自然數(shù)遠(yuǎn)比實(shí)物難以理解。為什么？解。為什么？ 自然數(shù)數(shù)有兩種屬性。基數(shù)屬性指什自然數(shù)數(shù)有兩種屬性?；鶖?shù)屬性指什么？序數(shù)屬性指什么？么？序數(shù)屬性指什么？ 基數(shù)基數(shù)表示集合的元素有多少個(gè)表示集合的元素有多少個(gè) 0 a 1 a,b 2 a,b,c 3 序數(shù)序數(shù)表示集合中元素的的順序表示集合中元素的的順序 a , b , c , d

2、, e , f , 1 2 3 4 5 6 數(shù)（數(shù)（sh）來(lái)源于數(shù)（）來(lái)源于數(shù)（sh），計(jì)數(shù)就是數(shù)），計(jì)數(shù)就是數(shù)（sh）數(shù)（）數(shù)（sh）。）。為什么說(shuō)1是特殊的自然數(shù)？為什么要把0作為自然數(shù)？ 中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（gb3100-3102-93第第311頁(yè)）規(guī)定：頁(yè)）規(guī)定：0是自然數(shù)，表示是自然數(shù)，表示一個(gè)也沒(méi)有。一個(gè)也沒(méi)有。0 作為自然數(shù)會(huì)帶來(lái)哪些麻煩？ 0 0作除數(shù)會(huì)怎樣？作除數(shù)會(huì)怎樣？ 0 0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？ 最小的一位數(shù)是幾？最小的一位數(shù)是幾？ 0 0的約數(shù)是多少？的約數(shù)是多少？0 0是任何一個(gè)自然數(shù)的倍是任何一個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)嗎？數(shù)嗎？ 0 0只

3、是一個(gè)自然數(shù)，不要對(duì)它的意義過(guò)分追只是一個(gè)自然數(shù)，不要對(duì)它的意義過(guò)分追究，否則在小學(xué)階段很難向?qū)W生解釋！究，否則在小學(xué)階段很難向?qū)W生解釋！加法、減法的含義 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義加法？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義加法？ 加法的結(jié)果為和，為什么不是合？加法的結(jié)果為和，為什么不是合？ 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義減法？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義減法？ 小學(xué)生在加減法運(yùn)算的困難在哪里？小學(xué)生在加減法運(yùn)算的困難在哪里？ 哪些加減法學(xué)生不易掌握？哪些加減法學(xué)生不易掌握？乘法、除法的含義 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義乘法？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義乘法？ 乘法的結(jié)果為什么叫做積？乘法的結(jié)果為什么叫做積？ 小學(xué)乘法可以怎么算？小學(xué)乘法可以怎么算？ 小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義除法

4、？小學(xué)數(shù)學(xué)如何定義除法？ 除法結(jié)果為什么叫做商？除法結(jié)果為什么叫做商？ 小學(xué)除法可以怎么算？小學(xué)除法可以怎么算？ 除法有分配律嗎？除法有分配律嗎？ 分配律的價(jià)值是什么？分配律的價(jià)值是什么？四則運(yùn)算的性質(zhì)與規(guī)律 加法、乘法有哪些運(yùn)算律？如何證明？它加法、乘法有哪些運(yùn)算律？如何證明？它們的本質(zhì)是什么？們的本質(zhì)是什么？ 加減乘除四則運(yùn)算有哪些運(yùn)算性質(zhì)？它們加減乘除四則運(yùn)算有哪些運(yùn)算性質(zhì)？它們同哪些知識(shí)有關(guān)？今后什么時(shí)候會(huì)用到它同哪些知識(shí)有關(guān)？今后什么時(shí)候會(huì)用到它們？們？四則運(yùn)算中的常見(jiàn)錯(cuò)誤四則運(yùn)算中的常見(jiàn)錯(cuò)誤32523248325248523232483）（）（62542564252）（104251

5、04251）（）（錯(cuò)了沒(méi)有？如何評(píng)價(jià)？評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 學(xué)生的解答是否有其合理性？學(xué)生是如何學(xué)生的解答是否有其合理性？學(xué)生是如何思考的？思考的？ 學(xué)生這樣做違背了什么？數(shù)學(xué)中的知識(shí)按學(xué)生這樣做違背了什么？數(shù)學(xué)中的知識(shí)按照主觀與客觀可以如何分類？哪些能夠違照主觀與客觀可以如何分類？哪些能夠違背？哪些不能違背？這幾類知識(shí)如何教學(xué)？背？哪些不能違背？這幾類知識(shí)如何教學(xué)？ 如何評(píng)價(jià)學(xué)生的這種解答？我們要以什么如何評(píng)價(jià)學(xué)生的這種解答？我們要以什么樣的心態(tài)對(duì)待學(xué)生的樣的心態(tài)對(duì)待學(xué)生的“錯(cuò)誤錯(cuò)誤”？如何糾正？如何糾正學(xué)生不規(guī)范的書寫？學(xué)生不規(guī)范的書寫？余數(shù)的運(yùn)用身份證校驗(yàn)碼號(hào)號(hào)碼碼1 1 010519491

6、231002x權(quán)權(quán)重重7 9 10584216379105842權(quán)重求和為權(quán)重求和為167167，再除以，再除以1111得余數(shù)得余數(shù)2 2，再尋找相應(yīng)校驗(yàn)碼，再尋找相應(yīng)校驗(yàn)碼x x余數(shù)余數(shù)0 12345678910校驗(yàn)校驗(yàn)碼碼1 0x 98765432余數(shù)的運(yùn)用商品條形碼 國(guó)際商品編碼協(xié)會(huì)，國(guó)際商品編碼協(xié)會(huì)，ean-13ean-13有有1313位：本體碼位：本體碼+ +校驗(yàn)碼校驗(yàn)碼 前三位為生產(chǎn)國(guó)家和地區(qū)代碼，中間前三位為生產(chǎn)國(guó)家和地區(qū)代碼，中間4-64-6位為生產(chǎn)商代碼，位為生產(chǎn)商代碼，后面后面3-53-5位為商品代碼。位為商品代碼。 前三位：前三位：690-692690-692代表中國(guó)大陸

7、，代表中國(guó)大陸，471471代表中國(guó)臺(tái)灣，代表中國(guó)臺(tái)灣，489489代表中國(guó)香港。代表中國(guó)香港。 校驗(yàn)碼的計(jì)算過(guò)程校驗(yàn)碼的計(jì)算過(guò)程 （1 1）計(jì)算前）計(jì)算前1212位中奇數(shù)位數(shù)字和位中奇數(shù)位數(shù)字和j j； （2 2）計(jì)算前）計(jì)算前1212位中偶數(shù)位數(shù)字和的位中偶數(shù)位數(shù)字和的3 3倍倍s s； （3 3）計(jì)算）計(jì)算j+sj+s； （4 4）計(jì)算）計(jì)算j+sj+s除以除以1010的余數(shù)的余數(shù)x x； （5 5）計(jì)算補(bǔ)數(shù)）計(jì)算補(bǔ)數(shù)(10-x)(10-x)作為校驗(yàn)碼。作為校驗(yàn)碼。6902952880294余數(shù)的運(yùn)用書號(hào) 國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào) isbn+組號(hào)組號(hào)+出版者號(hào)出版者號(hào)+書名號(hào)書名號(hào)+校驗(yàn)

8、碼校驗(yàn)碼 商品條碼（商品條碼（ean) 987+國(guó)家地區(qū)代碼國(guó)家地區(qū)代碼+出版機(jī)構(gòu)代出版機(jī)構(gòu)代碼碼+商品代碼商品代碼+校驗(yàn)碼校驗(yàn)碼isbn 7-303-05884-29787303058846 國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào) （1）計(jì)算前九位本體嗎的加權(quán)和）計(jì)算前九位本體嗎的加權(quán)和s=207； （2）s除以除以11得余數(shù)得余數(shù)y=9； （3）求）求y的補(bǔ)數(shù)的補(bǔ)數(shù)j=11 y=2，即為校驗(yàn)碼。，即為校驗(yàn)碼。isbn 7-303-05884-2數(shù)碼730305884權(quán)重1098765432算術(shù)運(yùn)算的特征 （1）計(jì)算）計(jì)算1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+ =？ （2）比較）比較0.9999

9、與與1的大??？的大小？1. 十進(jìn)制計(jì)數(shù)法 “十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”包括“十進(jìn)位”和“位置值”兩條原則： “十進(jìn)位十進(jìn)位”，就是滿十進(jìn)一，即相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位，就是滿十進(jìn)一，即相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率為十。之間的進(jìn)率為十。 “位置值位置值”，就是同一個(gè)數(shù)字在不同數(shù)位上表示，就是同一個(gè)數(shù)字在不同數(shù)位上表示的數(shù)值不同。的數(shù)值不同。“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”的歷史發(fā)展 第一階段，創(chuàng)造數(shù)字符號(hào)，即每個(gè)數(shù)字對(duì)第一階段，創(chuàng)造數(shù)字符號(hào)，即每個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)一個(gè)文字符號(hào)，只能用有限的一些符號(hào)應(yīng)一個(gè)文字符號(hào)，只能用有限的一些符號(hào)表示有限的一些數(shù)。表示有限的一些數(shù)。 第二階段，建立進(jìn)位規(guī)則，即重復(fù)使用有第二階段，建立進(jìn)位規(guī)則，即重復(fù)使用有

10、限的幾個(gè)數(shù)字符號(hào)按一定規(guī)則進(jìn)行組合表限的幾個(gè)數(shù)字符號(hào)按一定規(guī)則進(jìn)行組合表示大量數(shù)字。示大量數(shù)字。 比如，古埃及用比如，古埃及用 表示表示1、 表示表示10、用、用表示表示32。公元前。公元前1600年左右，我國(guó)年左右，我國(guó)的甲骨文中就有專用的符號(hào)表示的甲骨文中就有專用的符號(hào)表示“一、二、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千千”等數(shù)字，并用這些符號(hào)進(jìn)行組合表示等數(shù)字，并用這些符號(hào)進(jìn)行組合表示其它的數(shù)。其它的數(shù)。 這種計(jì)數(shù)系統(tǒng)的進(jìn)率為十，這就是早期的這種計(jì)數(shù)系統(tǒng)的進(jìn)率為十，這就是早期的“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”。 第三階段，建立位置概念，即數(shù)字符號(hào)在

11、第三階段，建立位置概念，即數(shù)字符號(hào)在不同的不同的“位位”表示基數(shù)不同的量，比較直表示基數(shù)不同的量，比較直觀的計(jì)數(shù)。人類將常見(jiàn)的計(jì)數(shù)單位從右到觀的計(jì)數(shù)。人類將常見(jiàn)的計(jì)數(shù)單位從右到左排成一排，計(jì)數(shù)時(shí)在對(duì)應(yīng)的位置上寫上左排成一排，計(jì)數(shù)時(shí)在對(duì)應(yīng)的位置上寫上相應(yīng)單位的個(gè)數(shù)，而不必重復(fù)記下各個(gè)單相應(yīng)單位的個(gè)數(shù)，而不必重復(fù)記下各個(gè)單位。位。 第四階段，建立十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，即按照第四階段，建立十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，即按照“滿十進(jìn)一滿十進(jìn)一”的原則，用的原則，用09這這10個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字表示所有自然數(shù)。表示所有自然數(shù)。 偉大政治家馬克思偉大政治家馬克思 ：“人類最妙的發(fā)明之一人類最妙的發(fā)明之一”。 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯法國(guó)數(shù)

12、學(xué)家拉普拉斯 ：“用十個(gè)記號(hào)表示一切數(shù)，用十個(gè)記號(hào)表示一切數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這是每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以至于我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)以至于我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都帶來(lái)了極大的方便，才使得單性以及對(duì)一切計(jì)算都帶來(lái)了極大的方便，才使得我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位 ”。 東北師范大學(xué)史寧中校長(zhǎng)：東北師范大學(xué)史寧中校長(zhǎng)：“人類從數(shù)量的多少中人類從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念，并且

13、用十個(gè)符號(hào)來(lái)表示，這不僅抽象出數(shù)的概念，并且用十個(gè)符號(hào)來(lái)表示，這不僅對(duì)于數(shù)學(xué)，即便對(duì)于人類文明的發(fā)展的貢獻(xiàn)也都是對(duì)于數(shù)學(xué)，即便對(duì)于人類文明的發(fā)展的貢獻(xiàn)也都是巨大的巨大的” 。十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的重要價(jià)值“認(rèn)識(shí)11-20各數(shù)”的教學(xué) 體會(huì)體會(huì)“要用一個(gè)代表多個(gè)要用一個(gè)代表多個(gè)” ； 體會(huì)單個(gè)計(jì)數(shù)的局限性體會(huì)單個(gè)計(jì)數(shù)的局限性 ； 操作理解操作理解“滿十進(jìn)一滿十進(jìn)一” ； 操作中體會(huì)操作中體會(huì)“借一當(dāng)十借一當(dāng)十” 。感興趣的讀者可以參閱 六年級(jí)六年級(jí) “ “認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”的數(shù)學(xué)公開課上，比較數(shù)的數(shù)學(xué)公開課上，比較數(shù)的大小引出現(xiàn)了困難：的大小引出現(xiàn)了困難： 1616-5-5，5 5-16-16，-5-5

14、-16-16。 第一小題，學(xué)生全部正確。第一小題，學(xué)生全部正確。 第二小題，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為第二小題，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為5-165-16，因?yàn)?，零下，因?yàn)?，零?616要比要比55冷得多冷得多”。 第三小題，大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為第三小題，大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為“-5-16”-5-16”，因?yàn)?，因?yàn)?，在銀行里第一次取出在銀行里第一次取出5 5元錢，第二次取出元錢，第二次取出1616元錢，元錢，第二次取出的第二次取出的1616元多，所以元多，所以-5-16”-5-16”。2. 負(fù)數(shù)的理解與教學(xué)減法的局限性 在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，加法是可以暢通無(wú)阻的在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，加法是可以暢通無(wú)阻的進(jìn)行的，即任何兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加，其結(jié)果

15、進(jìn)行的，即任何兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加，其結(jié)果是非負(fù)數(shù)，是非負(fù)數(shù)， 可是，在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，減法卻不能暢通可是，在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，減法卻不能暢通無(wú)阻的進(jìn)行，當(dāng)減數(shù)大于被減數(shù)時(shí)差不是無(wú)阻的進(jìn)行，當(dāng)減數(shù)大于被減數(shù)時(shí)差不是非負(fù)數(shù)。非負(fù)數(shù)。 因此，要適當(dāng)延伸非負(fù)數(shù)，即增加一些新因此，要適當(dāng)延伸非負(fù)數(shù)，即增加一些新的數(shù)，得到一個(gè)更廣闊的范圍。使得在這的數(shù)，得到一個(gè)更廣闊的范圍。使得在這個(gè)大范圍內(nèi)，減法可以暢通無(wú)阻的進(jìn)行。個(gè)大范圍內(nèi)，減法可以暢通無(wú)阻的進(jìn)行。 在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，我們沒(méi)辦法計(jì)算在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，我們沒(méi)辦法計(jì)算5-8，但，但可以盡量將它化簡(jiǎn)，即根據(jù)差不變的性質(zhì)，可以盡量將它化簡(jiǎn)，即根據(jù)差不變的性質(zhì)，得到得到5-

16、8=0-3，把，把0-3看做一個(gè)新的數(shù)，簡(jiǎn)單看做一個(gè)新的數(shù)，簡(jiǎn)單記作記作-3。 數(shù)學(xué)上規(guī)定形如數(shù)學(xué)上規(guī)定形如3（=0+3）、）、5（0+5）這樣）這樣的數(shù)叫做正數(shù)，形如的數(shù)叫做正數(shù)，形如-3（=0-3）、）、-5（=0-5）這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，把正數(shù)、零和負(fù)數(shù)統(tǒng)這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，把正數(shù)、零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。稱為有理數(shù)。 在有理數(shù)范圍內(nèi)，按照非負(fù)數(shù)的加減法進(jìn)在有理數(shù)范圍內(nèi)，按照非負(fù)數(shù)的加減法進(jìn)行計(jì)算就可以了。比如，行計(jì)算就可以了。比如，8+（-13）=8+（0-13）=8-13=0-5=-5，9-（-4）=9-（0-4）=9-0+4=13，-7-（-5）=（0-7）-（0-5）=0-7+5=5-

17、7=0-2=-2。 數(shù)學(xué)上規(guī)定：數(shù)學(xué)上規(guī)定： 如果如果a-b0，則，則ab； 如果如果a-b0，則，則a=b； 如果如果a-b0，則，則ab。比如，（比如，（-8）-（-5）=-3，所以，所以-8-5。在小學(xué)階段，要求不是特別嚴(yán)密，如果注意在小學(xué)階段，要求不是特別嚴(yán)密，如果注意到到-8=0-8、-5）=0-5，因?yàn)椋驗(yàn)?-80-5（被減（被減數(shù)相同，減數(shù)越大，差越?。?，也可以得數(shù)相同，減數(shù)越大，差越?。?，也可以得到到-8-5。數(shù)的大小比較“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”的教學(xué)感興趣的讀者可以參閱3.分?jǐn)?shù)的本質(zhì)與教學(xué)在北京市監(jiān)測(cè)試題中，下面兩題普遍出錯(cuò)：在北京市監(jiān)測(cè)試題中，下面兩題普遍出錯(cuò)：1.1.小蘭按要求配制

18、了兩杯糖水：小蘭按要求配制了兩杯糖水：第一杯，糖占第一杯，糖占水的水的1/51/5；第二杯，用；第二杯，用1010克糖配制克糖配制5050克糖水?？颂撬?。哪一杯更甜呢？哪一杯更甜呢？2.2.圖中圓被平均分成圖中圓被平均分成8 8分，將涂分，將涂 色的色的5 5份看做單位份看做單位1 1，用分?jǐn)?shù)表，用分?jǐn)?shù)表 示未涂色的部分為（示未涂色的部分為（ ）。）。分?jǐn)?shù)的意義是什么？ 課本上說(shuō)：將單位課本上說(shuō)：將單位1（可以是一個(gè)個(gè)體，也（可以是一個(gè)個(gè)體，也可以是一個(gè)整體）平均分成幾份，表示一可以是一個(gè)整體）平均分成幾份，表示一份或者幾份的數(shù)。份或者幾份的數(shù)。 學(xué)生所掌握的分?jǐn)?shù)的學(xué)生所掌握的分?jǐn)?shù)的“份數(shù)份數(shù)

19、”定義，只是定義，只是分?jǐn)?shù)的一種直觀模型化解釋，并不是分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的一種直觀模型化解釋，并不是分?jǐn)?shù)定義的本質(zhì)所在。定義的本質(zhì)所在。 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)有三種定義，即份數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)有三種定義，即份數(shù)定義、商的定義和比的定義，定義、商的定義和比的定義，“商的定義商的定義”才是分?jǐn)?shù)定義的本質(zhì)所在。才是分?jǐn)?shù)定義的本質(zhì)所在。 份數(shù)的定義有什么優(yōu)點(diǎn)？有什么缺點(diǎn)？份數(shù)的定義有什么優(yōu)點(diǎn)？有什么缺點(diǎn)？為什么說(shuō)為什么說(shuō)“商的定義商的定義”才是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)定義？才是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)定義？這兩個(gè)定義有何異同？這兩個(gè)定義有何異同？五年級(jí)“分?jǐn)?shù)意義”的教學(xué) （一）分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性（一）分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性（二）分?jǐn)?shù)的定義（二）分

20、數(shù)的定義感興趣的讀者可以參閱4.小數(shù)的意義與教學(xué) 2010年年11月，在一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的交流月，在一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的交流群里，有一個(gè)帖子，引發(fā)了不少小學(xué)教師群里，有一個(gè)帖子，引發(fā)了不少小學(xué)教師的討論。的討論。 這個(gè)帖子是：這個(gè)帖子是：“課本上說(shuō)小數(shù)是一種特殊課本上說(shuō)小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，既然小學(xué)已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，的分?jǐn)?shù)，既然小學(xué)已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，將小數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問(wèn)題來(lái)處理就行了，將小數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問(wèn)題來(lái)處理就行了，為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢？為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢？” 小數(shù)的定義？課本中的小數(shù)定義這個(gè)教學(xué)案例說(shuō)明了什么？小數(shù)的本質(zhì)小數(shù)的教學(xué) 用人民幣類比引入小數(shù)用人民幣類比引入小數(shù) ；

21、 用米尺測(cè)量理解小數(shù)的產(chǎn)生和含義。用米尺測(cè)量理解小數(shù)的產(chǎn)生和含義。5.多位數(shù)乘法的算法與教學(xué) 乘法的計(jì)算方法乘法豎式的教學(xué)6.除法豎式的歷史演變與教學(xué) 學(xué)生為什么不會(huì)寫除法豎式？ 為何探究不出來(lái)？122 242 4 4 0243 726 12 12 0？難點(diǎn)分析除法豎式的教學(xué) 師：把這師：把這42根小棒平均分給根小棒平均分給3個(gè)小朋友，你個(gè)小朋友，你怎么分？請(qǐng)你分一分，分完后請(qǐng)告訴老師，怎么分？請(qǐng)你分一分，分完后請(qǐng)告訴老師，你是分幾步完成的？每一步對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)算你是分幾步完成的？每一步對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)算式是什么？式是什么？ 生：我分三步來(lái)分的。第一步，把生：我分三步來(lái)分的。第一步，把4捆平均捆平均非給

22、非給3個(gè)人，每人個(gè)人，每人1捆，還余下一捆，對(duì)應(yīng)捆，還余下一捆，對(duì)應(yīng)算式算式4311；第二步，把余下一捆打；第二步，把余下一捆打開，和開，和2根放在一起，得到根放在一起，得到12根，對(duì)應(yīng)算式根，對(duì)應(yīng)算式10212；第三步，把；第三步，把12根平均分給根平均分給3個(gè)個(gè)人，每人人，每人4根，對(duì)應(yīng)算式根，對(duì)應(yīng)算式1234 。 師：把這師：把這42根小棒平均分給根小棒平均分給4個(gè)人，請(qǐng)你用個(gè)人，請(qǐng)你用剛才的第一種方法分一分，分完后請(qǐng)告訴剛才的第一種方法分一分，分完后請(qǐng)告訴老師，你是分幾步完成的？每一步對(duì)應(yīng)的老師，你是分幾步完成的？每一步對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)算式是什么？數(shù)學(xué)算式是什么？ 生：分三步來(lái)分的：第一步，

23、把生：分三步來(lái)分的：第一步，把4捆平均分捆平均分給給4個(gè)人，每人個(gè)人，每人1捆，對(duì)應(yīng)算式捆，對(duì)應(yīng)算式441；第；第二步，把第一步余下的和二步，把第一步余下的和2根放在一起，得根放在一起，得到到2根，對(duì)應(yīng)算式根，對(duì)應(yīng)算式022；第三步，把；第三步，把2根根平均分給平均分給4個(gè)人，每人個(gè)人，每人0根，余下兩根，對(duì)根，余下兩根，對(duì)應(yīng)算式應(yīng)算式2402（教師把三個(gè)算式寫在（教師把三個(gè)算式寫在黑板上）。結(jié)果為，每人黑板上）。結(jié)果為，每人10根余下根余下2根。根。7.7.三角形的內(nèi)角和為什么等于三角形的內(nèi)角和為什么等于180180？ 在一節(jié)在一節(jié)“三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和”的公開課上，教師期的公開課上

24、，教師期望學(xué)生通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于望學(xué)生通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于180，便讓每位學(xué)生隨意畫一個(gè)三角形，用量角器量出便讓每位學(xué)生隨意畫一個(gè)三角形，用量角器量出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后把它們加起來(lái)，看看等于三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后把它們加起來(lái)，看看等于多少。多少。 然而，大部分學(xué)生測(cè)量的結(jié)果都不是然而，大部分學(xué)生測(cè)量的結(jié)果都不是180（要（要么多一點(diǎn)，要么少一點(diǎn)），僅有幾個(gè)學(xué)生量出所么多一點(diǎn)，要么少一點(diǎn)），僅有幾個(gè)學(xué)生量出所畫的三角形內(nèi)角和為畫的三角形內(nèi)角和為180，教師就通過(guò)投影展，教師就通過(guò)投影展示了這幾個(gè)學(xué)生的示了這幾個(gè)學(xué)生的“作品作品”，然后通過(guò)投影出示，然后通過(guò)投影出示結(jié)論結(jié)論“

25、三角形的內(nèi)角和為三角形的內(nèi)角和為180”。接下頁(yè)接下頁(yè) 誰(shuí)知，膽大的學(xué)生開始反駁，誰(shuí)知，膽大的學(xué)生開始反駁，“老師，大多數(shù)同老師，大多數(shù)同學(xué)的三角形都不是學(xué)的三角形都不是180，你為什么卻偏偏同意，你為什么卻偏偏同意少數(shù)幾個(gè)同學(xué)的結(jié)果？少數(shù)幾個(gè)同學(xué)的結(jié)果？” 老師連忙解釋道，老師連忙解釋道，“因?yàn)槟銈兊臏y(cè)量存在誤差，因?yàn)槟銈兊臏y(cè)量存在誤差，如果你們測(cè)量準(zhǔn)確，也會(huì)得到三角形內(nèi)角和為如果你們測(cè)量準(zhǔn)確，也會(huì)得到三角形內(nèi)角和為180”。 然而，學(xué)生卻不依不饒，然而，學(xué)生卻不依不饒，“就算我們測(cè)量準(zhǔn)確，就算我們測(cè)量準(zhǔn)確，得到三角形的內(nèi)角和為得到三角形的內(nèi)角和為180，我們班上，我們班上30多個(gè)多個(gè)同學(xué)測(cè)

26、量的也是成千上萬(wàn)個(gè)三角形中的很少一部同學(xué)測(cè)量的也是成千上萬(wàn)個(gè)三角形中的很少一部分，這怎么就能說(shuō)明所有的都是分，這怎么就能說(shuō)明所有的都是180呢？呢？” 教師無(wú)言以對(duì)了，只好說(shuō)教師無(wú)言以對(duì)了，只好說(shuō)“等你們長(zhǎng)大了，就可等你們長(zhǎng)大了，就可以證明三角形的內(nèi)角和為以證明三角形的內(nèi)角和為180了，現(xiàn)在你們只了，現(xiàn)在你們只要記住這個(gè)結(jié)論就行了要記住這個(gè)結(jié)論就行了”。內(nèi)角和公式的證明運(yùn)用歸納方法發(fā)現(xiàn)結(jié)論 教學(xué)階段（一） 師：從銳角三角形到直角三角形，再到鈍角三角師：從銳角三角形到直角三角形，再到鈍角三角形，最大的角在變化，另外兩個(gè)角呢？形，最大的角在變化，另外兩個(gè)角呢？ 生：另外兩個(gè)角在變小。生：另外兩個(gè)角

27、在變小。 師：可以大膽的設(shè)想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？師：可以大膽的設(shè)想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？ 生：在三角形中，一個(gè)角變大，另外兩個(gè)角會(huì)變生：在三角形中，一個(gè)角變大，另外兩個(gè)角會(huì)變小。小。 生：有可能三個(gè)角的和是不變的，是一個(gè)固定值。生：有可能三個(gè)角的和是不變的，是一個(gè)固定值。 生：我也覺(jué)得有這個(gè)可能。我們文具盒里的兩個(gè)生：我也覺(jué)得有這個(gè)可能。我們文具盒里的兩個(gè)三角板，內(nèi)角度數(shù)分別為三角板，內(nèi)角度數(shù)分別為90、45、45和和90、60、30，總和為，總和為180。 生：好像等邊三角形每個(gè)角生：好像等邊三角形每個(gè)角60，那么它的內(nèi)角，那么它的內(nèi)角和為和為180。 生：有可能所有三角形的內(nèi)角和都是生：有可能所

28、有三角形的內(nèi)角和都是180。 師：真是這樣嗎？你能夠用事實(shí)來(lái)說(shuō)明嗎？師：真是這樣嗎？你能夠用事實(shí)來(lái)說(shuō)明嗎？ 生：我剪下一個(gè)三角形的三個(gè)角，拼在一起，好生：我剪下一個(gè)三角形的三個(gè)角，拼在一起，好像形成一個(gè)平角，可以大致說(shuō)明三角形的內(nèi)角和像形成一個(gè)平角，可以大致說(shuō)明三角形的內(nèi)角和是是180。 生：我畫出了一個(gè)三角形，量出它的三個(gè)內(nèi)角分生：我畫出了一個(gè)三角形，量出它的三個(gè)內(nèi)角分別為別為75、83和和21，和為，和為179，接近，接近180。 生：我畫出了一個(gè)三角形，量出它的三個(gè)內(nèi)角分別為112、53和16，和為181，比180多了一點(diǎn)點(diǎn)。 生：我畫出了一個(gè)三角形，量出它的三個(gè)內(nèi)角分別為66、71和4

29、3，和剛好為180。 師：從上述四位同學(xué)的研究中，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：三角形的內(nèi)角和很有可能是180。 生：可是我們兩個(gè)的結(jié)果是179和181??？ 生：可能你們測(cè)量不夠準(zhǔn)確，所以有點(diǎn)偏離180。 生：我們測(cè)量的到的結(jié)果都在180附近，沒(méi)有偏離的太遠(yuǎn)，這說(shuō)明三角形的內(nèi)角和很有可能是180。運(yùn)用演繹方法證明結(jié)論運(yùn)用演繹方法證明結(jié)論 教學(xué)片斷（二）教學(xué)片斷（二）8. 平均數(shù)的含義與教學(xué) 哪一個(gè)球隊(duì)更高？ 計(jì)算兩個(gè)球隊(duì)的平均身計(jì)算兩個(gè)球隊(duì)的平均身高，其中歡樂(lè)隊(duì)平均身高，其中歡樂(lè)隊(duì)平均身高為（高為（148142139141140）5142（厘米），開心隊(duì)平均（厘米），開心隊(duì)平均身高為（身高為（14414

30、6142145143）5144（厘米）。最后，（厘米）。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，“開心隊(duì)高一些開心隊(duì)高一些”。 此時(shí)，有個(gè)學(xué)生提出疑問(wèn)。此時(shí)，有個(gè)學(xué)生提出疑問(wèn)?！耙容^兩個(gè)球隊(duì)的要比較兩個(gè)球隊(duì)的身高，只要比較身高的總數(shù)就可以了。而且比較身高，只要比較身高的總數(shù)就可以了。而且比較總數(shù)還更簡(jiǎn)單一些。因此，沒(méi)有必要比較平均數(shù)，總數(shù)還更簡(jiǎn)單一些。因此，沒(méi)有必要比較平均數(shù)，用平均數(shù)反而復(fù)雜了用平均數(shù)反而復(fù)雜了”。 教師沒(méi)有立即回答這個(gè)問(wèn)題，而是問(wèn)其他同學(xué)，教師沒(méi)有立即回答這個(gè)問(wèn)題，而是問(wèn)其他同學(xué)，“你們?cè)趺纯矗磕銈冊(cè)趺纯?？?有學(xué)生說(shuō)，有學(xué)生說(shuō)，“要是隊(duì)員超過(guò)要是隊(duì)員超過(guò)10人

31、，我們就沒(méi)辦法人，我們就沒(méi)辦法計(jì)算了，我們只學(xué)過(guò)除數(shù)是一位數(shù)的除法。算總計(jì)算了，我們只學(xué)過(guò)除數(shù)是一位數(shù)的除法。算總數(shù)只用加法，我們都會(huì)算數(shù)只用加法，我們都會(huì)算”；也有學(xué)生說(shuō)，；也有學(xué)生說(shuō)，“要要是最后除不盡，怎么比較呢？所以算平均數(shù)不是最后除不盡，怎么比較呢？所以算平均數(shù)不好好”。 學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)哪些常學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)哪些常見(jiàn)錯(cuò)誤見(jiàn)錯(cuò)誤 ？平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義 （一）統(tǒng)計(jì)學(xué)的本質(zhì)與基本過(guò)程 統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于搜集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)，其目的是為了對(duì)一些不確定的事物進(jìn)行較準(zhǔn)確的推斷。統(tǒng)計(jì)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)據(jù)分統(tǒng)計(jì)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)據(jù)分析，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析來(lái)了解和判斷數(shù)據(jù)析，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析來(lái)了解和

32、判斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景。產(chǎn)生的背景。 （1）確定研究問(wèn)題；）確定研究問(wèn)題； （2）制定研究方法；）制定研究方法； （3）搜集數(shù)據(jù)，采集信息；）搜集數(shù)據(jù)，采集信息； （4）分析數(shù)據(jù)，探索隱含的規(guī)律；）分析數(shù)據(jù)，探索隱含的規(guī)律； （5）做出推斷與結(jié)論。）做出推斷與結(jié)論。（2）統(tǒng)計(jì)的基本過(guò)程 （3）平均數(shù)的含義naaaxn21ffafafaxnn2211ffax11ffa22ffann （四）平均數(shù)的特征 平均數(shù)介于最大值和最小值之間，即平均平均數(shù)介于最大值和最小值之間，即平均數(shù)比最小的數(shù)大一些，比最大的數(shù)小一些；數(shù)比最小的數(shù)大一些，比最大的數(shù)小一些； 平均數(shù)是一個(gè)虛擬值，即平均數(shù)不一定是平均數(shù)是一個(gè)虛

33、擬值，即平均數(shù)不一定是這一組數(shù)據(jù)中的數(shù)；平均數(shù)反映的是一組數(shù)這一組數(shù)據(jù)中的數(shù)；平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的特征，不是其中每一個(gè)數(shù)據(jù)的特征；據(jù)的特征，不是其中每一個(gè)數(shù)據(jù)的特征； 所有數(shù)據(jù)都影響平均數(shù)，即所有的數(shù)據(jù)所有數(shù)據(jù)都影響平均數(shù)，即所有的數(shù)據(jù)（包括（包括0）都要參與平均數(shù)的計(jì)算；）都要參與平均數(shù)的計(jì)算； （四）平均數(shù)的特征 平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，即一個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，即一個(gè)數(shù)據(jù)離平均數(shù)越遠(yuǎn)，對(duì)平均數(shù)的影響越；離平均數(shù)越遠(yuǎn)，對(duì)平均數(shù)的影響越； 所有的數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動(dòng)，它們的偏所有的數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動(dòng)，它們的偏差之和等于差之和等于0； 平均數(shù)并不是將所有的數(shù)據(jù)都變得相等了，平

34、均數(shù)并不是將所有的數(shù)據(jù)都變得相等了，而是將各個(gè)數(shù)據(jù)平均分擔(dān)了。而是將各個(gè)數(shù)據(jù)平均分擔(dān)了。平均數(shù)的教學(xué) （一）明確問(wèn)題 師：學(xué)校想知道咱們?nèi)昙?jí)到底男生高還是女生師：學(xué)校想知道咱們?nèi)昙?jí)到底男生高還是女生高，你打算怎么辦？高，你打算怎么辦？ 生：測(cè)量我們學(xué)校三年級(jí)生：測(cè)量我們學(xué)校三年級(jí)8個(gè)班所有同學(xué)的身高，個(gè)班所有同學(xué)的身高，然后進(jìn)行比較。然后進(jìn)行比較。 師：這是個(gè)好辦法。不過(guò)老師很好奇，想這節(jié)課師：這是個(gè)好辦法。不過(guò)老師很好奇，想這節(jié)課就知道大概的結(jié)果。你打算怎么辦？就知道大概的結(jié)果。你打算怎么辦？ 生：以咱們班為代表，測(cè)量一下我們的身高。生：以咱們班為代表，測(cè)量一下我們的身高。 生：咱們班近

35、生：咱們班近40人，全部都測(cè)量也需要很多時(shí)間。人，全部都測(cè)量也需要很多時(shí)間。干脆找一個(gè)小組代替，這樣更快，也能大致回答干脆找一個(gè)小組代替，這樣更快，也能大致回答學(xué)校的問(wèn)題。學(xué)校的問(wèn)題。 （二）搜集數(shù)據(jù)（二）搜集數(shù)據(jù) 師：找哪個(gè)小組呢？師：找哪個(gè)小組呢？ 生：第三組比較合適，他們組沒(méi)有太高的，也沒(méi)生：第三組比較合適，他們組沒(méi)有太高的，也沒(méi)有太矮的，身高比較中等，比較有代表性。有太矮的，身高比較中等，比較有代表性。 師：好?，F(xiàn)在咱們測(cè)量第三組同學(xué)的身高。師：好?，F(xiàn)在咱們測(cè)量第三組同學(xué)的身高。 （三）分析數(shù)據(jù) 師：從這九個(gè)數(shù)字出發(fā)，怎么比較呢？師：從這九個(gè)數(shù)字出發(fā)，怎么比較呢？ 生：把這些數(shù)字加起來(lái)

36、，看看誰(shuí)大。生：把這些數(shù)字加起來(lái)，看看誰(shuí)大。 生：那不行。女生人數(shù)多，肯定女生總數(shù)大。不生：那不行。女生人數(shù)多，肯定女生總數(shù)大。不一定說(shuō)明女生高，因?yàn)樽罡叩氖悄猩Ｒ欢ㄕf(shuō)明女生高，因?yàn)樽罡叩氖悄猩?生：那就把他們折算一下，折算成一個(gè)人大概有生：那就把他們折算一下，折算成一個(gè)人大概有多高，不就可以比較了嗎？多高，不就可以比較了嗎？ 師：這是一個(gè)好辦法，怎么折算呢？師：這是一個(gè)好辦法，怎么折算呢？ 生：第四個(gè)男生高，把他的身高移生：第四個(gè)男生高，把他的身高移2厘米給第一厘米給第一個(gè)，移個(gè)，移1厘米給第三個(gè)，大家都成了厘米給第三個(gè)，大家都成了135厘米了，厘米了，這就是折算后男生的大致身高。這就是折算后男生的大致身高。 師：這種方法叫做移多補(bǔ)少，比較直觀形象。師：這種方法叫做移多補(bǔ)少，比較直觀形象。 師：女生呢？師：女生呢？ 生：好像不太好移，可能移多補(bǔ)少的方法生：好像不太好移，可能移多補(bǔ)少的方法不靈了？不靈了？ 師：是的。誰(shuí)還有別的方法？師：是的。誰(shuí)還有別的方法？ 生：生：全部加起來(lái)除以全部加起來(lái)除以5就可以了，也就是就可以了，也就是（134+133+136+134+137）5，結(jié)果是商，結(jié)果是商134還余還余4。 生：我用計(jì)算器算的，女生的