普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)理

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新課標(biāo)全國卷(理科)一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t1)設(shè)集合m=0,1,2,n=x|x2-3x+20,則mn=()a.1b.2c.0,1d.1,22.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t2)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,z1=2+i,則z1z2= ()a.-5b.5c.-4+i d.-4-i3.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t3)設(shè)向量a,b滿足|a+

2、b|=10,|a-b|=6,則a·b=()a.1b.2c.3d.54.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t4)鈍角三角形abc的面積是12,ab=1,bc=2,則ac=()a.5b.5c.2d.15.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()a.0.8b.0.75c.0.6d.0.456.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t6)如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1

3、cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為 ()a.1727b.59c.1027d.137.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t7)執(zhí)行如圖程序框圖,如果輸入的x,t均為2,則輸出的s=()a.4b.5c.6d.78.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t8)設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()a.0b.1c.2d.39.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t9)設(shè)x,y滿足約束條件x+y-70,x

4、-3y+10,3x-y-50,則z=2x-y的最大值為 ()a.10b.8c.3d.210.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t10)設(shè)f為拋物線c:y2=3x的焦點(diǎn),過f且傾斜角為30°的直線交c于a,b兩點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),則oab的面積為 ()a.334b.938c.6332d.9411.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t11)直三棱柱abc􀆼a1b1c1中,bca=90°,m,n分別是a1b1,a1c1的中點(diǎn),bc=ca=cc1,則bm與an所成的角的余弦值為 ()a.110b.25c.3010d.2212.

5、(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t12)設(shè)函數(shù)fx=3sinxm.若存在fx的極值點(diǎn)x0滿足x02+fx02<m2,則m的取值范圍是 ()a.-,-66,+b.-,-44,+c.-,-22,+d.-,-14,+二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t13)x+a10的展開式中,x7的系數(shù)為15,則a=.(用數(shù)字填寫答案)14.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t14)函數(shù)fx=sinx+2-2sincosx+的最大值為.15.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t15

6、)已知偶函數(shù)fx在0,+單調(diào)遞減,f2=0.若fx-1>0,則x的取值范圍是.16.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t16)設(shè)點(diǎn)m(x0,1),若在圓o:x2+y2=1上存在點(diǎn)n,使得omn=45°,則x0的取值范圍是.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明an+12是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式.(2)證明:1a1+1a2+1an<32.18.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)

7、83;t18)(本小題滿分12分)如圖,四棱錐p􀆼abcd中,底面abcd為矩形,pa平面abcd,e為pd的中點(diǎn).(1)證明:pb平面aec.(2)設(shè)二面角d􀆼ae􀆼c為60°,ap=1,ad=3,求三棱錐e􀆼acd的體積.19.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t19)(本小題滿分12分)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85

8、.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程.(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:=i=1nti-tyi-yi=1nti-t2,=y-t.20.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t20)(本小題滿分12分)設(shè)f1,f2分別是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn),m是c上一點(diǎn)且mf2與x軸垂直,直線mf1與c的另一個(gè)交點(diǎn)為n.(1)若直線mn的斜率為34,求c的離心率.(2)若直線mn在y軸上的截距為2

9、,且mn=5f1n,求a,b.21.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)fx=ex-e-x-2x.(1)討論fx的單調(diào)性.(2)設(shè)gx=f2x-4bfx,當(dāng)x>0時(shí),gx>0,求b的最大值.(3)已知1.4142<2<1.4143,估計(jì)ln2的近似值(精確到0.001).22.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖,p是o外一點(diǎn),pa是切線,a為切點(diǎn),割線pbc與o相交于點(diǎn)b,c,pc=2pa,d為pc的中點(diǎn),ad的延長線交o于點(diǎn)e.證明:(1)

10、be=ec.(2)ad·de=2pb2.23.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t23)(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓c的極坐標(biāo)方程為=2cos,0,2.(1)求c的參數(shù)方程.(2)設(shè)點(diǎn)d在c上,c在d處的切線與直線l:y=3x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定d的坐標(biāo).24.(2014·新課標(biāo)全國卷高考數(shù)學(xué)·t24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)fx=x+1a+x-a(a>0)(1)證明:fx2.(2)若f3<5,求a

11、的取值范圍.參考答案1.d2.b3.a4.b5.a6.c7.d8.d9.b10.d11.c12.c13.1214.115.-,-13,+16.-1,117.【解析】(1)因?yàn)閍1=1,an+1=3an+1,nn*.所以an+1+12=3an+1+12=3an+12.所以an+12是首項(xiàng)為a1+12=32,公比為3的等比數(shù)列.所以an+12=3n2,所以an=3n-12.(2)1an=23n-1.1a1=1,當(dāng)n>1時(shí),1an=23n-1<13n-1.所以1a1+1a2+1a3+1an<1+131+132+13n-1=1-13n1-13=321-13n<32.所以,1a1

12、+1a2+1a3+1an<32,nn*.18.【解析】(1)設(shè)ac的中點(diǎn)為g,連接eg.在三角形pbd中,中位線egpb,且eg在平面aec上,所以pb平面aec.(2)設(shè)cd=m,分別以ad,ab,ap為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,則a(0,0,0),d(3,0,0),e32,0,12,c(3,m,0).所以ad=(3,0,0),ae=32,0,12,ac=(3,m,0).設(shè)平面ade的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·ad=0,n1·ae=0,解得一個(gè)n1=(0,1,0).同理設(shè)平面ace的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·ac=0,n2

13、·ae=0,解得一個(gè)n2=(m,-3,-3m).因?yàn)閏os3=|cos<n1,n2>|=|n1·n2|n1|·|n2|=3m2+3+3m2=12,解得m=32.設(shè)f為ad的中點(diǎn),則paef,且pa=ef2=12,ef面acd,即為三棱錐e􀆼acd的高.所以ve􀆼acd=13·sacd·ef=13×12×32×3×12=38.所以,三棱錐e􀆼acd的體積為38.19.【解析】(1)因?yàn)閠=1+2+77=4,y=2.9+3.3+3.6+4.4+

14、4.8+5.2+5.97=4.3,設(shè)回歸方程為y=bt+a,代入公式,經(jīng)計(jì)算得b=3×1.4+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8(9+4+1)×2=1414×2=12,a=y-bt=4.3-12×4=2.3,所以,y關(guān)于t的回歸方程為y=0.5t+2.3.(2)因?yàn)閎=12>0,所以2007年至2013年該地區(qū)人均純收入穩(wěn)步增長,預(yù)計(jì)到2015年,該地區(qū)人均純收入y=0.5×9+2.3=6.8(千元),所以,預(yù)計(jì)到2015年,該地區(qū)人均純收入約6800元左右.20.【解析】(1)因?yàn)橛深}知,mf1f1f2=34,所以b2a·

15、12c=34,且a2=b2+c2.聯(lián)立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=12.所以c的離心率為12.(2)由三角形中位線知識(shí)可知,mf2=2×2,即b2a=4.設(shè)f1n=m,由題可知mf1=4m.由兩直角三角形相似,可得m,n兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為c,-32c.由焦半徑公式可得:mf1=a+ec,nf1=a+e-32c,且mf1nf1=41,e=ca,a2=b2+c2.聯(lián)立解得a=7,b=27.所以,a=7,b=27.21.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ex-e-x-2x,xr,所以f'(x)=ex+e-x-2=ex+1ex-22x·1ex-2=0.所以,f(x)在r上

16、單增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0,x>0.令h(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x),x>0,則h(0)=0.h'(x)=2e2x+2e-2x-4-4b(ex+e-x-2),所以x(0,m),m>0,使h'(x)0.即2e2x+2e-2x-4-4b(ex+e-x-2)0,即e2x+e-2x-2-2b(ex+e-x-2)0.同理,令m(x)=e2x+e-2x-2-2b(ex+e-x-2),x(0,m),m>0,則m(0)=0.m'(x)=2e2x-2e-

17、2x-2b(ex-e-x),所以x(0,t),t>0,使m(x)0.即2e2x-2e-2x-2b(ex-e-x)0,即(ex+e-x)(ex-e-x)-b(ex-e-x)0且ex-e-x>0,即ex+e-xb,即ex+e-x>2x·e-x=2b,所以b的最大值為2.(3)設(shè)x=ln2>0,則f(ln2)>0,即f(ln2)=2-12-2ln2=22-ln2>0.解得ln2<22.由(2)知,f(2x)>8f(x),令x=ln2>0,則f(2ln2)>8f(ln2),即f(ln2)>8f(ln2),即2-12-2ln2&

18、gt;82-12-2ln2,解得6ln2>42-32,即ln2>232-14.所以232-14<ln2<22.22.【解析】(1)因?yàn)閜c=2pa,pd=dc,所以pa=pd,pad為等腰三角形.連接ab,則pab=deb=,bce=bae=.因?yàn)閜ab+bce=pab+bad=pad=pda=deb+dbe,所以+=+dbe,即=dbe,即bce=dbe,所以be=ec.(2)因?yàn)閍d·de=bd·dc,pa2=pb·pc,pd=dc=pa,所以bd·dc=(pa-pb)pa=pb·pc-pb·pa=pb·(pc-pa),pb·pa=pb·2pb=2pb2.23.【解析】(1)c的普通方程為x-12+y2=10y1.可得c的參數(shù)方程為x=1+cost,y=sintt為參數(shù),0t.(2