2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺旋轉(zhuǎn)問題解答題沖刺練習(xí)含答案

1、2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺旋轉(zhuǎn)問題解答題沖刺練習(xí)操作：在abc中，ac=bc=2，c=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊ab的中點(diǎn)p處，將三角板繞點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線ac、cb于d、e兩點(diǎn)（不包括射線的端點(diǎn)）.如圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況.研究：三角板繞點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)，觀察線段pd和pe之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖2加以證明.三角板繞點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)，pbe是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出pbe為等腰三角形時(shí)ce的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊ab上的m處，且ammb13，和前面一樣操作，試問線段md和me之間

2、有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖4加以證明. 已知rtabc中，acb=90°，ca=cb,有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長(zhǎng)等于ca的扇形cef繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)，且直線ce，cf分別與直線ab交于點(diǎn)m，n（）當(dāng)扇形cef繞點(diǎn)c在acb的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，求證：mn2=am2+bn2；思路點(diǎn)撥：考慮mn2=am2+bn2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決可將acm沿直線ce對(duì)折，得dcm，連dn，只需證dn=bn，mdn=90°就可以了請(qǐng)你完成證明過(guò)程： （）當(dāng)扇形cef繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)至圖的位置時(shí)，關(guān)系式mn2=am2+bn2；是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

3、明理由 如圖，o是等邊abc內(nèi)一點(diǎn)，oa=3，ob=4，oc=5，將線段bo繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段bo.（1）求點(diǎn)o與o的距離；（2）證明：aob=150°；（3）求四邊形aobo的面積（4）直接寫出aoc與aob的面積和 小明在玩一副三角板時(shí)發(fā)現(xiàn)：含45°角的直角三角板的斜邊可與含30°角的直角三角板的較長(zhǎng)直角邊完全重合（如圖）.即c´da´的頂點(diǎn)a´、c´分別與bac的頂點(diǎn)a、c重合,其中ab=.現(xiàn)在，他讓c´da´固定不動(dòng)，將bac通過(guò)變換使斜邊bc經(jīng)過(guò)c´da´

4、;的直角頂點(diǎn)d （1）求ad的長(zhǎng)度；（2）如圖，將bac繞點(diǎn)c按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度（0°<<180°），使bc邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)d，則= °；（3）如圖，將bac繞點(diǎn)a按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使bc邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)d求點(diǎn)c走過(guò)的路線長(zhǎng)；（4）如圖，將bac沿射線a´c´方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使bc邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)d，求m的值 如圖，已知點(diǎn)p是正方形abcd內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)pa，pb，pc（1）如圖甲，將pab繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到p/cb的位置設(shè)ab的長(zhǎng)為a，pb的長(zhǎng)為b(b<a)，求pab旋轉(zhuǎn)到p/cb的過(guò)程中邊pa所掃過(guò)區(qū)域（圖甲中陰影部分）的

5、面積；若pa=3，pb=6，apb=135°，求pc的長(zhǎng)（2）如圖乙，若pa2pc2=2pb2，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)p必在對(duì)角線ac上 問題：如圖1，在等邊三角形abc內(nèi)有一點(diǎn)p，且pa=2， pb=， pc=1求bpc度數(shù)的大小和等邊三角形abc的邊長(zhǎng)李明同學(xué)的思路是：將bpc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）連接pp，可得ppb是等邊三角形，而ppa又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）所以bpa=150°，而bpc=bpa=150°進(jìn)而求出等邊abc的邊長(zhǎng)為問題得到解決請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形abcd內(nèi)有一

6、點(diǎn)p，且pa=，bp=，pc=1求bpc度數(shù)的大小和正方形abcd的邊長(zhǎng) 如圖，點(diǎn)p是正方形abcd內(nèi)的一點(diǎn)，連接cp，將線段cp繞點(diǎn)c順時(shí)旋轉(zhuǎn)90°，得到線段cq，連接bp，dq(1)如圖1，求證：bcpdcq；(2)如圖，延長(zhǎng)bp交直線dq于點(diǎn)e如圖2，求證：bedq；如圖3，若bcp為等邊三角形，判斷dep的形狀，并說(shuō)明理由如圖1，abc中，ca=cb，acb=，d為abc內(nèi)一點(diǎn)，將cad繞點(diǎn)c按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到cbe，點(diǎn)a，d的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)b，e，且a，d，e三點(diǎn)在同一直線上(1)填空：cde=   (用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若=60

7、76;，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，再過(guò)點(diǎn)c作cfae于點(diǎn)f，然后探究線段cf，ae，be之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若=90°，ac=5，且點(diǎn)g滿足agb=90°，bg=6，直接寫出點(diǎn)c到ag的距離如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片abc和dec重合放置，其中c=90°，b=e=30°.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定abc，使dec繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)d恰好落在ab邊上時(shí)，填空：線段de與ac的位置關(guān)系是；設(shè)bdc的面積為s1，aec的面積為s2，則s1與s2的數(shù)量關(guān)系是.(2)猜想論證當(dāng)dec繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中s1與s2的數(shù)量關(guān)系仍然

8、成立，并嘗試分別作出了bdc和aec中bc、ce邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想.(3)拓展探究已知abc=60°，點(diǎn)d是角平分線上一點(diǎn)，bd=cd=4，deab交bc于點(diǎn)e(如圖4).若在射線ba上存在點(diǎn)f，使sdcf=sbde，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的bf的長(zhǎng).在abc中，ca=cb，acb=點(diǎn)p是平面內(nèi)不與點(diǎn)a，c重合的任意一點(diǎn)連接ap，將線段ap繞點(diǎn)p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段dp，連接ad，bd，cp(1)觀察猜想如圖1，當(dāng)=60°時(shí)，的值是 ，直線bd與直線cp相交所成的較小角的度數(shù)是 (2)類比探究如圖2，當(dāng)=90°時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線bd與直線cp相交所成的小角的度數(shù)

9、，并就圖2的情形說(shuō)明理由(3)解決問題當(dāng)=90°時(shí)，若點(diǎn)e，f分別是ca，cb的中點(diǎn)，點(diǎn)p在直線ef上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)c，p，d在同一直線上時(shí)的值參考答案解：（1）pd=pe；（2）1，,（3）me=3md. （1）證明:將沿直線對(duì)折，得，連， 則有，又由，得 由,，得又， 有， 在rt中，由勾股定理，得即 （）關(guān)系式仍然成立 證明：將沿直線對(duì)折，得，連， 則 有，又由，得 由，得 又，有， 在rt中，由勾股定理，得即解：（1）等邊abc，ab=cb，abc=600。線段bo以點(diǎn)b為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段bo，bo=bo，oao=600oba=600abo=oba。

10、boaboc。boa可以由boc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到 連接oo，bo=bo，oao=600，obo是等邊三角形oo=ob=4（2）aoo中，三邊長(zhǎng)為oa=oc=5，oo=ob=4，oa=3，是一組勾股數(shù)，aoo是直角三角形aob=aoooob =900600=150° （3） （4）如圖所示，將aob繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得ab與ac重合，點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)至o點(diǎn)aoo是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，coo是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形則 (1)連結(jié)pp，證為等腰直角三角形，從而pc9(2)將pab繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到pcb的位置，由勾股逆定理證出90

11、76;，再證bpcapb180°，即點(diǎn)p在對(duì)角線ac上解：(1)證明：bcd=90°，pcq=90°，bcp=dcq，在bcp和dcq中，bcpdcq(sas)；(2)如圖b，bcpdcq，cbf=edf，又bfc=dfe，def=bcf=90°，bedq；bcp為等邊三角形，bcp=60°，pcd=30°，又cp=cd，cpd=cdp=75°，又bpc=60°，cdq=60°，epd=180°cpdcpb=180°75°60=45°，同理：edp=45°

12、，dep為等腰直角三角形解：(1)將cad繞點(diǎn)c按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到cbeacdbce，dce=cd=cecde=故答案為：(2)ae=be+cf理由如下：如圖，將cad繞點(diǎn)c按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角60°得到cbeacdbcead=be，cd=ce，dce=60°cde是等邊三角形，且cfdedf=ef=ae=ad+df+efae=be+cf(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)g在ab上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)c作ceag于點(diǎn)e，acb=90°，ac=bc=5，cab=abc=45°，ab=10acb=90°=agb點(diǎn)c，點(diǎn)g，點(diǎn)b，點(diǎn)a四點(diǎn)共圓agc=abc=45°，

13、且ceagagc=ecg=45°ce=geab=10，gb=6，agb=90°ag=8ac2=ae2+ce2，(5)2=(8ce)2+ce2，ce=7(不合題意舍去)，ce=1若點(diǎn)g在ab的下方，過(guò)點(diǎn)c作cfag，同理可得：cf=7點(diǎn)c到ag的距離為1或7解：(1)dec繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)點(diǎn)d恰好落在ab邊上，ac=cd，bac=90°b=90°30°=60°，acd是等邊三角形，acd=60°，又cde=bac=60°，acd=cde，deac；b=30°，c=90°，cd=ac=ab，bd=ad=a

14、c，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，acd的邊ac、ad上的高相等，bdc的面積和aec的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即s1=s2；故答案為：deac；s1=s2；(2)如圖，dec是由abc繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)得到，bc=ce，ac=cd，acn+bcn=90°，dcm+bcn=180°90°=90°，acn=dcm，在acn和dcm中，acndcm(aas)，an=dm，bdc的面積和aec的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即s1=s2；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)d作df1be，易求四邊形bedf1是菱形，所以be=df1，且be、df1上的高相等，此時(shí)sdc

15、f1=sbde；過(guò)點(diǎn)d作df2bd，abc=60°，f1dbe，f2f1d=abc=60°，bf1=df1，f1bd=abc=30°，f2db=90°， f1df2=abc=60°，df1f2是等邊三角形，df1=df2，bd=cd，abc=60°，點(diǎn)d是角平分線上一點(diǎn)，dbc=dcb=×60°=30°，cdf1=180°bcd=180°30°=150°，cdf2=360°150°60°=150°，cdf1=cdf2，在cdf

16、1和cdf2中，cdf1cdf2(sas)，點(diǎn)f2也是所求的點(diǎn)，abc=60°，點(diǎn)d是角平分線上一點(diǎn)，deab，dbc=bde=abd=×60°=30°，又bd=4，be=×4÷cos30°=2÷=，bf1=，bf2=bf1+f1f2=+=，故bf的長(zhǎng)為或.解：(1)如圖1中，延長(zhǎng)cp交bd的延長(zhǎng)線于e，設(shè)ab交ec于點(diǎn)opad=cab=60°，cap=bad，ca=ba，pa=da，capbad(sas)，pc=bd，acp=abd，aoc=boe，beo=cao=60°，=1，線bd與直線cp相交所成的較小角的度數(shù)是60°，故答案為1，60°(2)如圖2中，設(shè)bd交ac于點(diǎn)o，bd交pc于點(diǎn)epad=cab=45°，pac=dab，=，dabpac，pca=dba，=，eoc=aob，ceo=oabb=45°，直線bd與直線cp相交所成的小角的度數(shù)為45°(3)如圖31中，當(dāng)點(diǎn)d在線段pc上時(shí)，延長(zhǎng)ad交bc的延長(zhǎng)線于hce=ea，cf=fb，efab，efc=abc=45°，pao=45°，pao=ofh，poa=foh，h=apo，apc=90°