裂項(xiàng)相消與放縮法解數(shù)列專(zhuān)題教資學(xué)習(xí)

1、數(shù)列專(zhuān)題3一、裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：通項(xiàng)為分式結(jié)構(gòu)，分母為兩項(xiàng)相乘，型如：， 是的等差數(shù)列。常用裂項(xiàng)形式有： ；特別地：二、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的方法，叫放縮法。1.常見(jiàn)的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān)，其基本結(jié)構(gòu)形式有如下4種：（為常數(shù)）；（為常數(shù)）.放縮目標(biāo)模型可求和（積）等差模型、等比模型、裂項(xiàng)相消模型2.幾種常見(jiàn)的放縮方法 （1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：；（2）將分子或分母放大（或縮小） ； （程度大）（程度?。┗蚱椒叫停?；立方型：指數(shù)型

2、： ；利用基本不等式，如：（一）放縮目標(biāo)模型可求和等比數(shù)列或等差數(shù)列例如：（1）求證：.（2）求證：.（3）求證：.總結(jié)：放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，一般要先將通項(xiàng)放縮后再求和. 問(wèn)題是將通項(xiàng)放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢？其實(shí)，能求和的常見(jiàn)數(shù)列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯(cuò)位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等. 實(shí)際問(wèn)題中，大多是等比模型或裂項(xiàng)相消模型. （1）先求和再放縮例1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿(mǎn)足4snan124n1，nn*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明：；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

3、；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.（2）先放縮再求和例如：求證：. 例如：函數(shù)，求證：.例2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿(mǎn)足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有總結(jié)：一般地，形如或（這里）的數(shù)列，在證明（為常數(shù)）時(shí)都可以提取出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型.練習(xí)：1.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）試探究：當(dāng)時(shí)，是否有？說(shuō)明理由.（3）形如例如：設(shè)，求證：.根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的不等式，不等式關(guān)系：注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是

4、均值不等式，若放縮成，則得，就放過(guò)“度”了?？偨Y(jié)：形如的數(shù)列不等式證明：設(shè)和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)和，若，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì)，則有.要證明不等式，如果記看作是數(shù)列的前項(xiàng)和，則，那么只要證其通項(xiàng)滿(mǎn)足即可.（二）放縮目標(biāo)模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式，方法與上面求和相類(lèi)似，只不過(guò)放縮后的是可求積的模型，能求積的常見(jiàn)的數(shù)列模型是（分式型），累乘后約簡(jiǎn)為.姐妹不等式：和記憶口訣：“小者小，大者大”，（解釋?zhuān)嚎矗粜?，則不等號(hào)是小于號(hào)，反之）。例如：求證：.例如：求證：。總結(jié)：形如的數(shù)列不等式證明：設(shè)和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)積，若，利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基本性質(zhì)，則有

5、.要證明不等式，如果記看作是數(shù)列的前項(xiàng)積，則，那么只要證其通項(xiàng)滿(mǎn)足即可.例3.已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求證：是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)；（2）證明：對(duì)于，.（二）添加或舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。例如：已知，求證：.例4.已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和.（i）求之間的關(guān)系式，并求的通項(xiàng)公式；（ii）求證例5.已知數(shù)列：滿(mǎn)足：，記.(i)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(ii)若對(duì)任意恒成立，求t的取值范圍；(iii)證明:.

6、 （三）固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)例6.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.已知a11，nn*.（1）求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.練習(xí)：2.設(shè)，則的整數(shù)部分是（ ）a.17 b.18 c.19 d.203.已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，且， .（i）求數(shù)列的通項(xiàng)；（ii）求證：.數(shù)列專(zhuān)題3一、裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：通項(xiàng)為分式結(jié)構(gòu)，分母為兩項(xiàng)相乘，型如：， 是的等差數(shù)列。常用裂項(xiàng)形式有： ；特別地：二、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆?/p>

7、大或縮小以達(dá)證題目的方法，叫放縮法。1.常見(jiàn)的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān)，其基本結(jié)構(gòu)形式有如下4種：（為常數(shù)）；（為常數(shù)）.放縮目標(biāo)模型可求和（積）等差模型、等比模型、裂項(xiàng)相消模型2.幾種常見(jiàn)的放縮方法 （1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：；（2）將分子或分母放大（或縮?。?； （程度大）（程度?。┗蚱椒叫停?；立方型：指數(shù)型： ；利用基本不等式，如：（一）放縮目標(biāo)模型可求和等比數(shù)列或等差數(shù)列例如：（1）求證：.分析：不等式左邊可用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求和。解析：左邊=表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和。（2）求證：.分析：左邊不能直接求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，將通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列。解析：，左

8、邊（3）求證：.分析：注意到，將通項(xiàng)放縮為錯(cuò)位相減模型。解析：，左邊總結(jié)：放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，一般要先將通項(xiàng)放縮后再求和. 問(wèn)題是將通項(xiàng)放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢？其實(shí)，能求和的常見(jiàn)數(shù)列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯(cuò)位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等. 實(shí)際問(wèn)題中，大多是等比模型或裂項(xiàng)相消模型. （1）先求和再放縮例1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿(mǎn)足4snan124n1，nn*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明：；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.解析： (1)

9、當(dāng)n1時(shí)，4a1a225，a224a15.an0，.(2)當(dāng)n2時(shí)，4sn1an24(n1)1，；4snan124n1，由，得4an4sn4sn1an12an24，an12an24an4(an2)2.an0，an1an2，當(dāng)n2時(shí)，an是公差d2的等差數(shù)列a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，a52a2·a14，(a26)2a2·(a224)，解得a23.由(1)可知，4a1a2254，a11.a2a1312，an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(3).總結(jié)：（3）問(wèn)左邊可用裂項(xiàng)相消法求和，先求和再放縮，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和。（2）先

10、放縮再求和例如：求證：. 分析：左邊不能求和，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)相消模型后求和，保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮。解析：左邊當(dāng)時(shí)，不等式顯然也成立.例如：函數(shù)，求證：.分析：此題不等式左邊不易求和，此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和.若分子，分母如果同時(shí)存在變量時(shí)，要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。例2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿(mǎn)足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整

11、數(shù)n，有解：（1）在2sn=an+12n+1+1中，令n=1得：2s1=a222+1，令n=2得：2s2=a323+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，解得a1=1（2）由2sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也滿(mǎn)足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n對(duì)nn*成立，an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，an=3n2n；（3）分析：（3）左邊不能直接求和，考慮將通項(xiàng)放縮后求和。利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型。（法二）an=3n2n=（32）（3n1+

12、3n2×2+3n3×22+2n1）3n1，+1+=；（法三）an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an，當(dāng)n2時(shí)，累乘得：，+1+×+×總結(jié)：一般地，形如或（這里）的數(shù)列，在證明（為常數(shù)）時(shí)都可以提取出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型.練習(xí)：1.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）試探究：當(dāng)時(shí)，是否有？說(shuō)明理由.（3）形如例如：設(shè)，求證：.根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的不等式，不等式關(guān)系：注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放縮成，則得，就放過(guò)“度”了

13、?？偨Y(jié)：形如的數(shù)列不等式證明：設(shè)和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)和，若，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì)，則有.要證明不等式，如果記看作是數(shù)列的前項(xiàng)和，則，那么只要證其通項(xiàng)滿(mǎn)足即可.（二）放縮目標(biāo)模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式，方法與上面求和相類(lèi)似，只不過(guò)放縮后的是可求積的模型，能求積的常見(jiàn)的數(shù)列模型是（分式型），累乘后約簡(jiǎn)為.姐妹不等式：和記憶口訣：“小者小，大者大”，（解釋?zhuān)嚎?，若小，則不等號(hào)是小于號(hào)，反之）。例如：求證：.例如：求證：?？偨Y(jié)：形如的數(shù)列不等式證明：設(shè)和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)積，若，利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基本性質(zhì)，則有.要證明不等式，如果記看作是數(shù)列的前項(xiàng)積，

14、則，那么只要證其通項(xiàng)滿(mǎn)足即可.例3.已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求證：是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)；（2）證明：對(duì)于，.（二）添加或舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。例如：已知，求證：.本題在放縮時(shí)舍去了，從而使和式得到了化簡(jiǎn)。例4.已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和.（i）求之間的關(guān)系式，并求的通項(xiàng)公式；（ii）求證例5.已知數(shù)列：滿(mǎn)足：，記.(i)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(ii)若對(duì)任意恒成立，求t的取值范圍；(iii)證明:.

15、解：（）證明：由得 即，且數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（）由()可知 由得，易得是關(guān)于的減函數(shù) ， （） 得證（三）固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)例6.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.已知a11，nn*.（1）求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.解：(1)依題意，2s1a21，又s1a11，所以a24.(2)當(dāng)n2時(shí)，2snnan1n3n2n，2sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即.又，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)×1n.所以ann2.(3)當(dāng)n1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，；當(dāng)n3時(shí)，此