結(jié)構(gòu)力學(xué)之能量原理ppt課件

1、1結(jié)構(gòu)力學(xué)第12章 能量原理21 桿件的應(yīng)變能及應(yīng)變余能計(jì)算 2 結(jié)構(gòu)勢(shì)能定義及勢(shì)能原理 3 結(jié)構(gòu)余能定義及余能原理 能量的概念大家早已了解，在第六章分析靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算中，曾能量的概念大家早已了解，在第六章分析靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算中，曾介紹了虛功方程的兩種應(yīng)用：虛設(shè)單位力求位移和虛設(shè)單位位移求未知力。介紹了虛功方程的兩種應(yīng)用：虛設(shè)單位力求位移和虛設(shè)單位位移求未知力。在本章中將介紹基于能量原理基礎(chǔ)上的解題方法。在本章中將介紹基于能量原理基礎(chǔ)上的解題方法。 312.1 12.1 桿件的應(yīng)變能及應(yīng)變余能計(jì)算桿件的應(yīng)變能及應(yīng)變余能計(jì)算 1 應(yīng)變能密度和應(yīng)變余能密度應(yīng)變能密度和應(yīng)變余能密度 應(yīng)變能密度

2、定義應(yīng)變能密度定義 :單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度1.1 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 例如簡(jiǎn)單拉伸桿件，取出例如簡(jiǎn)單拉伸桿件，取出dx微段，其拉伸曲線如圖微段，其拉伸曲線如圖(a)所示所示圖圖(a)簡(jiǎn)單拉伸曲簡(jiǎn)單拉伸曲線線FNdx 應(yīng)變能應(yīng)變能U為為 dFWUN（12-1） d OBA圖圖(b) 應(yīng)力應(yīng)力 應(yīng)變曲應(yīng)變曲線線C d 根據(jù)應(yīng)變能密度的定義，則根據(jù)應(yīng)變能密度的定義，則應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度為為 ddFdxAVUuNN1（12-2）即應(yīng)力即應(yīng)力 應(yīng)變曲線中應(yīng)變曲線中OAB所圍的面積。所圍的面積。 4d OBA圖圖(b) 應(yīng)力應(yīng)力 應(yīng)變曲應(yīng)變曲線線C1.2 應(yīng)

3、變余能密度應(yīng)變余能密度 應(yīng)變余能密度定義應(yīng)變余能密度定義 :單位體積內(nèi)的應(yīng)變余能單位體積內(nèi)的應(yīng)變余能稱為應(yīng)變余能密度。稱為應(yīng)變余能密度。 仍以簡(jiǎn)單拉伸桿件為例，仍以簡(jiǎn)單拉伸桿件為例，應(yīng)變余能應(yīng)變余能為為 NdFWU*（12-3） 根據(jù)應(yīng)變余能密度的定義，則根據(jù)應(yīng)變余能密度的定義，則應(yīng)變余能密度應(yīng)變余能密度u*N為為 即應(yīng)力即應(yīng)力 應(yīng)變曲線中應(yīng)變曲線中OAC所圍的面積。所圍的面積。 ddFdxAVUuNN1*（12-4）圖圖(a)簡(jiǎn)單拉伸曲簡(jiǎn)單拉伸曲線線FNdx dFN5對(duì)于線彈性材料，對(duì)于線彈性材料， =E. 有，則有，則 *2202121NNuEEdu（12-5）2 桿件的應(yīng)變能和應(yīng)變余能桿

4、件的應(yīng)變能和應(yīng)變余能 象純拉伸一樣，當(dāng)桿件處于純剪切和純彎曲時(shí)，其應(yīng)變能密度分別為象純拉伸一樣，當(dāng)桿件處于純剪切和純彎曲時(shí)，其應(yīng)變能密度分別為 ;0duQ0duM定義：定義：?jiǎn)挝粭U長上的應(yīng)變能為桿件的應(yīng)變能密度單位桿長上的應(yīng)變能為桿件的應(yīng)變能密度，用，用u1表示。表示。 則當(dāng)桿件同時(shí)承受拉伸、剪切和彎曲時(shí)，其桿件的應(yīng)變能密度為則當(dāng)桿件同時(shí)承受拉伸、剪切和彎曲時(shí)，其桿件的應(yīng)變能密度為 6 AdAdAdAdu00010001dMdFdFuQN即即（12-6） 對(duì)于線彈性材料，有對(duì)于線彈性材料，有FN=EA. ， FQ=GA. /k（k為截面形狀系數(shù)），為截面形狀系數(shù)），M=EI . 。則則2221

5、212121EIkGAEAu（12-7） 顯然有顯然有 MEAuFkGAuFEAuQN111（12-8）7設(shè)：桿截面形心的軸向位移為設(shè)：桿截面形心的軸向位移為u，橫向位移為，橫向位移為v，截面的轉(zhuǎn)角為，截面的轉(zhuǎn)角為 。則幾何方程。則幾何方程為為 dxddxdvdxdu（12-9）將上式代入（將上式代入（12-7）式得）式得 2221212121dxdEIdxdvkGAdxduEAu（12-10）一根桿的應(yīng)變能為一根桿的應(yīng)變能為 dxdxdEIdxdvkGAdxduEAdxuU222121（12-11）8當(dāng)忽略較小的剪切變形后當(dāng)忽略較小的剪切變形后, ,0,dxdv則則dxdxvdEIdxduE

6、AdxuU2222121（12-12） 定義：?jiǎn)挝粭U長上的應(yīng)變余能為桿件的應(yīng)變余能密度，用定義：?jiǎn)挝粭U長上的應(yīng)變余能為桿件的應(yīng)變余能密度，用u*1表示。表示。 當(dāng)桿件同時(shí)承受拉伸、剪切和彎曲時(shí)，其桿件的應(yīng)變余能密度為當(dāng)桿件同時(shí)承受拉伸、剪切和彎曲時(shí)，其桿件的應(yīng)變余能密度為 MFQFNdMdFdFuQN000*1（12-13）對(duì)于線彈性材料，用類似的方法，可以得對(duì)于線彈性材料，用類似的方法，可以得 222*121221MEIFGAkFEAuQN（12-14）9一根桿的應(yīng)變余能為一根桿的應(yīng)變余能為 dxMEIFGAkFEAdxuUQN222*1*1121（12-15）10上式中，上式中，U為桿件結(jié)

7、構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于剛架而言，通常僅考慮彎曲應(yīng)變能，為桿件結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于剛架而言，通常僅考慮彎曲應(yīng)變能，則則 12.2勢(shì)能原理 1 勢(shì)能的定義勢(shì)能的定義 桿件結(jié)構(gòu)的勢(shì)能桿件結(jié)構(gòu)的勢(shì)能Ep定義為定義為 *ppEUE（12-16） edxdxvdEIU22221（12-17）上式中上式中e為結(jié)構(gòu)中桿件的排序號(hào)。為結(jié)構(gòu)中桿件的排序號(hào)。E*p為結(jié)構(gòu)的荷載勢(shì)能，通常以結(jié)構(gòu)未變形為結(jié)構(gòu)的荷載勢(shì)能，通常以結(jié)構(gòu)未變形前的荷載位置為起始位置，則前的荷載位置為起始位置，則 pppFE*（12-18）上式中上式中p為荷載的序號(hào)，為荷載的序號(hào)， 為為Fp方向上的位移。方向上的位移。 112 勢(shì)能駐值原理勢(shì)能駐值原理

8、勢(shì)能駐值原理：勢(shì)能駐值原理：在所有幾何可能的位移狀態(tài)中，真實(shí)的位移應(yīng)使結(jié)構(gòu)勢(shì)能在所有幾何可能的位移狀態(tài)中，真實(shí)的位移應(yīng)使結(jié)構(gòu)勢(shì)能為駐值。為駐值。這一能量原理說明，如果位移滿足全部的變形協(xié)調(diào)條件，而且還能使勢(shì)能這一能量原理說明，如果位移滿足全部的變形協(xié)調(diào)條件，而且還能使勢(shì)能為駐值，則與此位移相應(yīng)的內(nèi)力必然滿足全部的靜力平衡條件。即說明勢(shì)為駐值，則與此位移相應(yīng)的內(nèi)力必然滿足全部的靜力平衡條件。即說明勢(shì)能駐值條件與平衡條件是等價(jià)的。能駐值條件與平衡條件是等價(jià)的。 可以證明，在小變形、線彈性的穩(wěn)定平衡問題中，滿足幾何方程、物可以證明，在小變形、線彈性的穩(wěn)定平衡問題中，滿足幾何方程、物理方程和靜力平衡方

9、程的解是唯一的。此時(shí)真實(shí)的位移不僅使勢(shì)能取得極理方程和靜力平衡方程的解是唯一的。此時(shí)真實(shí)的位移不僅使勢(shì)能取得極值，而且該極值為極小值。這就是最小勢(shì)能原理。值，而且該極值為極小值。這就是最小勢(shì)能原理。 123勢(shì)能駐值原理應(yīng)用勢(shì)能駐值原理應(yīng)用 3.1 利用勢(shì)能駐值原理推導(dǎo)位移法典型方程利用勢(shì)能駐值原理推導(dǎo)位移法典型方程 設(shè)：位移法的基本未知量向量為設(shè)：位移法的基本未知量向量為Z =Z1 Z2 ZnT在位移法基本結(jié)構(gòu)中，各桿任一截面的位移方程可表示為在位移法基本結(jié)構(gòu)中，各桿任一截面的位移方程可表示為pniiivZvv1上式中，上式中， 為基本結(jié)構(gòu)由于為基本結(jié)構(gòu)由于Zi=1時(shí)引起的各桿任一截面的位移方

10、程。時(shí)引起的各桿任一截面的位移方程。vp為基本為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下任一截面的位移方程。結(jié)構(gòu)在荷載作用下任一截面的位移方程。 iv與廣義荷載與廣義荷載Fp相應(yīng)的廣義位移也可表示為相應(yīng)的廣義位移也可表示為 pniiiZ113pniiiZ1上式中，上式中， 為基本結(jié)構(gòu)由于為基本結(jié)構(gòu)由于Zi=1時(shí)引起的與廣義荷載相應(yīng)的廣義位移。時(shí)引起的與廣義荷載相應(yīng)的廣義位移。p為為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下引起的與廣義荷載相應(yīng)的廣義位移。基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下引起的與廣義荷載相應(yīng)的廣義位移。 i則結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為則結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為 ppniiipepniiipZFdxvZvEIE12121根據(jù)勢(shì)能駐值條件得根據(jù)勢(shì)能駐值條件得 )

11、2 , 1(0niZEip01 pipeipnjjjFdxvvZvEI即即1401 pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或或因?yàn)?，因?yàn)椋?為為Zi=1時(shí)的基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（彎矩），時(shí)的基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（彎矩）， 為為Zj=1時(shí)的基本結(jié)構(gòu)變形（曲率）。則時(shí)的基本結(jié)構(gòu)變形（曲率）。則 為基本結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)Zi=1時(shí)的內(nèi)力（彎矩）在時(shí)的內(nèi)力（彎矩）在Zj=1時(shí)的變形時(shí)的變形（曲率）上所做的內(nèi)力虛功（虛應(yīng)變能）。而當(dāng)（曲率）上所做的內(nèi)力虛功（虛應(yīng)變能）。而當(dāng)Zi=1時(shí)基本結(jié)構(gòu)的外力（時(shí)基本結(jié)構(gòu)的外力（r1i、 r2i rni ）在）在Zj=1時(shí)的位移上所做的外力虛功為時(shí)的位移上所做的外力虛

12、功為W ij=rij 1=rij。 iiMvEI jjv ijejiUdxvvEI 根據(jù)虛功方程根據(jù)虛功方程U ij =W ij得得 ejiijdxvvEIr1501 pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或或又因?yàn)橛忠驗(yàn)?為單獨(dú)在荷載作用下的基本結(jié)構(gòu)的變形（曲率）。為單獨(dú)在荷載作用下的基本結(jié)構(gòu)的變形（曲率）。 ppv piepiepiUdxMdxvvEI 代表了當(dāng)代表了當(dāng)Zi=1時(shí)基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（彎矩）在單時(shí)基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（彎矩）在單獨(dú)在荷載作用下基本結(jié)構(gòu)的變形（曲率）上所做的內(nèi)力虛功。獨(dú)在荷載作用下基本結(jié)構(gòu)的變形（曲率）上所做的內(nèi)力虛功。 而當(dāng)而當(dāng)Zi=1時(shí)基本結(jié)構(gòu)的外力（時(shí)

13、基本結(jié)構(gòu)的外力（r1i、 r2i rni ）在單獨(dú)在荷載作用下基本結(jié)構(gòu)在單獨(dú)在荷載作用下基本結(jié)構(gòu)的變形上所做的外力虛功為的變形上所做的外力虛功為0。所以根據(jù)虛功方程得。所以根據(jù)虛功方程得 0 pipiepiepiWUdxMdxvvEI16當(dāng)當(dāng)Zi=1時(shí)的基本結(jié)構(gòu)外力，在基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用下的變形上所做得的時(shí)的基本結(jié)構(gòu)外力，在基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用下的變形上所做得的虛功為虛功為0，而在基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用下的外力在，而在基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用下的外力在Zi=1時(shí)的基本結(jié)構(gòu)的變形時(shí)的基本結(jié)構(gòu)的變形上所做的虛功為上所做的虛功為01 pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或或pip

14、ipFR1根據(jù)功的互等定理有根據(jù)功的互等定理有 0pipipFRpipipFR即即由上述討論可得由上述討論可得 01ipnjjijRZr這就是桿系結(jié)構(gòu)的位移法典型方程。這就是桿系結(jié)構(gòu)的位移法典型方程。 17多提意見與建議謝謝！作業(yè)：作業(yè)：18 建立在能量原理基礎(chǔ)之上的解題方法是一種精確方法，但在精確解難以建立在能量原理基礎(chǔ)之上的解題方法是一種精確方法，但在精確解難以求得或不能求得的許多工程實(shí)際問題中，能量原理又能為我們提供一種求近求得或不能求得的許多工程實(shí)際問題中，能量原理又能為我們提供一種求近似解的有效途徑。瑞利似解的有效途徑。瑞利里茲法就是其中之一。里茲法就是其中之一。 在介紹瑞利在介紹瑞

15、利里茲法之前，先介紹兩個(gè)基本概念：里茲法之前，先介紹兩個(gè)基本概念：3.2瑞利瑞利里茲法里茲法(Rayleigh-Ritz Method)靜力可能內(nèi)力靜力可能內(nèi)力 對(duì)于變形體而言，如果它的內(nèi)力與外力滿足全部的靜力平衡條件，對(duì)于變形體而言，如果它的內(nèi)力與外力滿足全部的靜力平衡條件，即滿足桿件的平衡微分方程，而且在邊界上和結(jié)點(diǎn)處滿足力的平衡條件，即滿足桿件的平衡微分方程，而且在邊界上和結(jié)點(diǎn)處滿足力的平衡條件，則此種內(nèi)力稱為靜力可能內(nèi)力。則此種內(nèi)力稱為靜力可能內(nèi)力。 對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)而言，靜力可能的內(nèi)力是唯一的，而對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)而言，靜力可能的內(nèi)力是唯一的，而對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)而言，靜力可能的內(nèi)力

16、不是唯一的。而言，靜力可能的內(nèi)力不是唯一的。 19幾何可能位移幾何可能位移 如果變形體的應(yīng)變?nèi)绻冃误w的應(yīng)變 、 、 與位移與位移u、v、 滿足幾何方程，而且在結(jié)點(diǎn)處滿足幾何方程，而且在結(jié)點(diǎn)處滿足位移連接條件，在邊界上能與約束幾何相容。滿足位移連接條件，在邊界上能與約束幾何相容。則此種位移稱為幾何可能則此種位移稱為幾何可能位移。位移。 在變形體上，這種幾何可能位移有無窮組，但只有同時(shí)能滿足靜力平衡在變形體上，這種幾何可能位移有無窮組，但只有同時(shí)能滿足靜力平衡條件的那一組才是真實(shí)的解答。條件的那一組才是真實(shí)的解答。 結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能是一個(gè)泛函，對(duì)于結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能是一個(gè)泛函，對(duì)于穩(wěn)定的平衡問題穩(wěn)定的平衡

17、問題而言，按位移法求解時(shí)，而言，按位移法求解時(shí)，就歸結(jié)為求泛函的極值問題。瑞利就歸結(jié)為求泛函的極值問題。瑞利里茲法就是建立在泛函求極值基礎(chǔ)之上里茲法就是建立在泛函求極值基礎(chǔ)之上的一種求近似解的方法。下面舉例說明。的一種求近似解的方法。下面舉例說明。 例例1 用瑞利用瑞利里茲法求圖示簡(jiǎn)支梁的撓度和彎矩。里茲法求圖示簡(jiǎn)支梁的撓度和彎矩。 Fpl/2l/2xy該題材料力學(xué)已有精確解，在梁該題材料力學(xué)已有精確解，在梁中點(diǎn)撓度中點(diǎn)撓度 EIlFEIlFvpp33max02083. 04820Fpl/2l/2xy中點(diǎn)彎矩中點(diǎn)彎矩 lFlFMpp25. 04max解：設(shè)該簡(jiǎn)支梁的撓曲線（幾何可能位移）為解：

18、設(shè)該簡(jiǎn)支梁的撓曲線（幾何可能位移）為 5 , 3 , 1sinlxiavi這個(gè)函數(shù)不僅滿足簡(jiǎn)支梁的兩端的位移邊界條件，而且滿足兩端力的這個(gè)函數(shù)不僅滿足簡(jiǎn)支梁的兩端的位移邊界條件，而且滿足兩端力的邊界條件：邊界條件： ;0)()0(lvv0)()0( lvv(1)僅取級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，則僅取級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，則 lxavsin1 2134022222024sin22alEIdxlxlEIadxvEIUll 12*aFvFEplxpp2112134*4aFalEIEUEppp由勢(shì)能駐值條件由勢(shì)能駐值條件 得得 01aEp02134pFalEIEIlFap4312即即lxEIlFlxEIlFvppsin0205

19、3. 0sin2343則則EIlFvp3max02053. 0，比精確解，比精確解少少1.44%， lFMp2026. 0max，比精確解，比精確解少少19%。(2)僅取級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)僅取級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng) ，則，則 lxalxav3sinsin3122上式中沒有取上式中沒有取 項(xiàng)，是因?yàn)樵陧?xiàng)，是因?yàn)樵贔p的作用下，內(nèi)力和變形都是對(duì)的作用下，內(nèi)力和變形都是對(duì)稱的，而此項(xiàng)在中點(diǎn)處稱的，而此項(xiàng)在中點(diǎn)處v=0，變形是反對(duì)稱的。，變形是反對(duì)稱的。 lxa2sin2 lldxlxllxalEIadxvEIU022221222023sin3sin22)2 , 1(2sin02ildxlxil)(0sinsin0j

20、idxlxjlxil 232134028142aalEIdxvEIUl 312*aaFvFEplxpp由勢(shì)能駐值條件由勢(shì)能駐值條件 得得 3 , 10iaEip23028102334134ppFalEIFalEI解之得解之得 ,2431EIlFapEIlFap433812lxlxEIlFvp3sinsin8181243則則 lxlxlFvEIxMp3sinsin992)(2EIlFvp3max02078. 0，比精確解，比精確解少少0.24%lFMp225. 0max，比精確解，比精確解少少10%誤差仍較大，但位移和彎矩的精度均有所提高，隨著級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)增加，誤差仍較大，但位移和彎矩的精度均有所提

21、高，隨著級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)增加，位移和彎矩都將趨于精確解。位移和彎矩都將趨于精確解。 2412.3余能原理 1 余能的定義余能的定義 ：桿件結(jié)構(gòu)的余能：桿件結(jié)構(gòu)的余能EC定義為定義為 *CCEUE（12-19）上式中，上式中，U*為桿件結(jié)構(gòu)的為桿件結(jié)構(gòu)的應(yīng)變余能應(yīng)變余能，對(duì)于線彈性材料而言，桿件結(jié)構(gòu)的應(yīng)，對(duì)于線彈性材料而言，桿件結(jié)構(gòu)的應(yīng)變余能為變余能為 eQNdxEIMGAFkEAFU222*21（12-20）E*C為結(jié)構(gòu)的為結(jié)構(gòu)的支座位移余能支座位移余能，或稱，或稱給定邊界位移余能給定邊界位移余能，即在支座位移，即在支座位移c上相上相應(yīng)支座反力應(yīng)支座反力R所做的虛功總和的負(fù)值。所做的虛功總和的負(fù)值。

22、cCcRE*（12-21）2 余能駐值原理余能駐值原理 25超靜定桿件結(jié)構(gòu)的余能駐值原理可表述如下：超靜定桿件結(jié)構(gòu)的余能駐值原理可表述如下：在所有靜力可能內(nèi)力中，真實(shí)在所有靜力可能內(nèi)力中，真實(shí)的內(nèi)力應(yīng)使結(jié)構(gòu)的余能為駐值的內(nèi)力應(yīng)使結(jié)構(gòu)的余能為駐值。 該原理說明該原理說明，如果內(nèi)力滿足全部的靜力平衡條件，而且還能使結(jié)構(gòu)的余，如果內(nèi)力滿足全部的靜力平衡條件，而且還能使結(jié)構(gòu)的余能為駐值，則與此內(nèi)力相應(yīng)的變形必然滿足變形協(xié)調(diào)條件，即余能駐值條件能為駐值，則與此內(nèi)力相應(yīng)的變形必然滿足變形協(xié)調(diào)條件，即余能駐值條件與變形協(xié)調(diào)條件是等價(jià)的。與變形協(xié)調(diào)條件是等價(jià)的。 可以證明可以證明：超靜定結(jié)構(gòu)中，在同時(shí)滿足靜力

23、平衡方程、幾何方程和物理：超靜定結(jié)構(gòu)中，在同時(shí)滿足靜力平衡方程、幾何方程和物理方程的解具有唯一性的情況下，結(jié)構(gòu)的真實(shí)內(nèi)力不僅使余能為駐值，而且該方程的解具有唯一性的情況下，結(jié)構(gòu)的真實(shí)內(nèi)力不僅使余能為駐值，而且該駐值一定為極小值。這就是最小余能原理。駐值一定為極小值。這就是最小余能原理。 3 余能駐值原理應(yīng)用余能駐值原理應(yīng)用 3.1 利用余能駐值原理推導(dǎo)力法典型方程利用余能駐值原理推導(dǎo)力法典型方程 26設(shè)力法基本未知量向量為設(shè)力法基本未知量向量為X=X1 X2 XnT ，在力法基本結(jié)構(gòu)中，各桿，在力法基本結(jié)構(gòu)中，各桿任一截面的內(nèi)力可表示為任一截面的內(nèi)力可表示為 支座反力可表示為支座反力可表示為 pniiiRXRR1(b)pniiiQpniiiQQNpniiiNNMXMMFXFFFXFF111(a)上述各式中上述各式中 、 、 和和 分別為力法基本結(jié)構(gòu)在分別為力法基本結(jié)構(gòu)在Xi=1時(shí)，所產(chǎn)生的任時(shí)，所產(chǎn)生的任一截面的內(nèi)力和反力；一截面的內(nèi)力和反力；FNp、 FQp 、 Mp 和和Rp 分別為力法基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載分別為力法基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用時(shí)的任一截面的內(nèi)力和反力。則作用時(shí)的任一截面的內(nèi)力和反力。則 NiFQiFiMiR27 epniiiQpniiiQNpniiiNCdxMXMEIFXFGAkFXFEAE2121211121 cpniii