大數(shù)定律與中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律：概率論中，闡明、揭示大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定律。如：前面學(xué)習(xí)過(guò)：(1) 在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即。(2) 實(shí)踐中得出，大量測(cè)量值的平均值也是具有穩(wěn)定性，即。大數(shù)定律從理論上給出了這類問(wèn)題的論證。一、 切貝雪夫不等式1. 切貝雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量有數(shù)學(xué)期望及方差，則任意給出，有或。例 1. 某批產(chǎn)品次品率0.05，試估計(jì)10000件產(chǎn)品中，次品數(shù)介于400600件之間的概率。解：，因此。二、 大數(shù)定律1. 依概率收斂：若存在常數(shù),使得對(duì)于任意正數(shù)，有則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于.2. 切比雪夫大

2、數(shù)定律：設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，各有數(shù)學(xué)期望及方差，并且對(duì)于所有都有，其中常數(shù)與無(wú)關(guān)，則對(duì)于，有3. 貝努里大數(shù)定律：設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件a發(fā)生的次數(shù)，為事件a發(fā)生的概率。則對(duì)任意給定的，有。貝努里大數(shù)定律說(shuō)明：當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，事件a發(fā)生的頻率與其概率之間偏差無(wú)限減少，所以在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，便可用事件a發(fā)生的頻率近似代替事件的概率。4. 辛欽大數(shù)定律：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且，則對(duì)任意給定的有。(1) 辛欽大數(shù)定律說(shuō)明，無(wú)限增大時(shí)，個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值與其數(shù)學(xué)期望的偏差無(wú)限減小，即。(2) 是實(shí)際應(yīng)用中，為了減少誤差而“多次測(cè)量取平均值”的理論依據(jù)。(3) 貝努

3、里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。(4)三、 中心極限定理在概率論中，研究在什么條件下，大量隨機(jī)變量的和的極限的分布是正態(tài)分布的一系列定理。1中心極限定理：設(shè)是獨(dú)立的且具有相同分布（i.i.d.）的隨機(jī)變量，且 則有，其中。（也即當(dāng)很大時(shí)，隨機(jī)變量近似服從）例1 一儀器同時(shí)收到50個(gè)噪聲信號(hào)，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布，記，求。2若，則可表示成個(gè)相互獨(dú)立的分布的和，即 當(dāng)很大時(shí)，二項(xiàng)分布近似服從正態(tài)分布，此定理稱為德莫佛拉普拉斯定理(de moivre-laplace)。應(yīng)用此定理可解決二項(xiàng)分布中很大時(shí)的計(jì)算問(wèn)題。例2 某保險(xiǎn)公司經(jīng)多年的資料統(tǒng)計(jì)表明，在索賠戶中被盜戶占20%，在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠戶數(shù)為隨機(jī)變量，（1）寫出的概率分布；（2）求被盜的索賠戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。小結(jié)：1 引進(jìn)了大數(shù)定律的概念，要了解大數(shù)定律的意義和內(nèi)容，理解貝努里、辛欽大數(shù)定律，了解契比雪夫大數(shù)定律。2 闡述了中心極限定理的含義及