導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)教案,知識點(diǎn)完整歸納)

1、課題名稱導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1，導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義；2，求導(dǎo)基本公式；3，四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，復(fù)合求導(dǎo)法則；同步教學(xué)知識內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)4，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)求單調(diào)性、極值、最值中的應(yīng)用；5，定積分的定義、幾何意義、應(yīng)用；6，微積分基本定律重視對基本定義、概念的理解，掌握基本的運(yùn)算公式，掌教學(xué)重點(diǎn)個(gè)性化學(xué)習(xí)問題解決握中等難度的常規(guī)題目的解題思路與方法。做題時(shí)注意細(xì)節(jié)，注重解題方法、思路的歸納總結(jié)。1，求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合求導(dǎo)法則；2，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；3，定積分概念、幾何意義及應(yīng)用；4，微積分基本定律；導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、證明中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)定積分的應(yīng)用教務(wù)部主辦審批- 1 -一、基本知識點(diǎn)f

2、(x0x)f ( x0 )1，導(dǎo)數(shù)：當(dāng)x 趨近于零時(shí)，x趨近于常數(shù) C?？捎梅?“ ”記作：當(dāng)f ( x0x)f (x0 )limf ( x0x)f ( x0 )cx 0 時(shí)，xc 或記作 x0x，符號“ ”讀作 “趨近于 ”。函數(shù)在x0的瞬時(shí)變化率，通常稱作f ( x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f ( x0 ) 。即f ' (x0 )l i mf ( x0x)f ( x0 )x0x2，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率；導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運(yùn)動在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。即若點(diǎn)P(x0 , y0 ) 為曲線上一點(diǎn)，則過點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的切線的斜率k切 f 

3、9; ( x0 )l i mf (x0x)f (x0 )x0x由于函數(shù) yf ( x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn) P(x0 , f ( x0 ) 處切線的斜率，因此，曲線y f ( x)在點(diǎn)P(x0 , f ( x0 )處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù) yf ( x) 在點(diǎn) xx0 處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 yf (x)在點(diǎn) P(x0 , f ( x0 ) 處切線的斜率。（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下， 求得切線方程為： y y0f ' ( x0 )( x x0 ) ，如果曲線 yf (x)在點(diǎn) P( x0 , f ( x0 ) 的切線平行于 y 軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)

4、，由切線定義可知，切線方程為xx0 ，故過點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的切線的方程為：y y0 f ' ( x0 )( x x0 )3，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：（1） ( f ( x) g (x)f (x)g (x)（2） f (x) g( x)f ( x) g(x) f (x)g ( x)（3）f ( x)g( x) f ( x)f (x) g (x)g( x)g 2 ( x)- 2 -4，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) C0(C為常數(shù) )（n）nxn1(n Q )(3) (sin x)cos x(2) x(4) (cos x)sin x(5) (ln x)1(6) (log a x)1 l

5、og a exx(7) (ex )ex(8) ( a x )a x ln a5，函數(shù)的單調(diào)性：在某個(gè)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)，如果 f ' ( x)0，那么函數(shù) yf (x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f ' ( x)0 ，那么函數(shù) yf ( x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。6，函數(shù)的極值求函數(shù) y fx 的極值的方法是：解方程f x0 當(dāng) f x00 時(shí)：1如果在 x0 附近的左側(cè) fx0 ，右側(cè) fx0 ，那么 fx0是極大值；2如果在 x0 附近的左側(cè) fx0 ，右側(cè) fx0 ，那么 fx0是極小值7，函數(shù)的最大值和最小值（ 1）設(shè) yf ( x) 是定義在區(qū)間a,b 上的函數(shù)，

6、 yf ( x)在 (a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)yf ( x) 在 a, b 上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行：1 求 yf ( x) 在 (a, b) 內(nèi)的極值；2 將 yf ( x) 在各極值點(diǎn)的極值與f ( a) 、 f (b) 比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值；（ 2）若函數(shù) f (x) 在 a,b 上單調(diào)增加，則 f (a) 為函數(shù)的最小值， f (b) 為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f (x) 在 a, b 上單調(diào)遞減，則 f (a) 為函數(shù)的最大值， f (b) 為函數(shù)的最小值 .注意：（1）在求函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意：使導(dǎo)函數(shù)f (x) 取值為 0 的點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，

7、也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)f (x)x3 的導(dǎo)數(shù) f ( x)3x2 ，在點(diǎn) x0 處有f (0)0 ，即點(diǎn) x0 是 f (x)x3 的駐點(diǎn)，但從f ( x) 在,上為增函數(shù)可知，點(diǎn) x0 不是 f ( x) 的極值點(diǎn) .（ 2）在求實(shí)際問題中的最大值和最小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域 .如果定義域是一個(gè)開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可- 3 -導(dǎo)（其實(shí)只要是初等函數(shù)， 它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)） ，并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（?。┲?，然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使得導(dǎo)函數(shù)為0，那么立即可以斷定在這個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（?。┲?/p>

8、。（ 3）極大（?。┲蹬c最大（?。┲档膮^(qū)別與聯(lián)系。8，定積分的定義如果函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a， b 上連續(xù)，用分點(diǎn)a x0<x1< xi 1<xi < xn b，將區(qū)間a，b等分成 n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間 ，x上任取一點(diǎn) ， ， ， ，作和xi 1 i i(i 1 2n)nn ba式 f ( i ) xf ( i ) ，當(dāng) n時(shí)，上述和式無i 1i 1n限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間 a， bbn上的定積分， 記作 bf(x)dx。即 f ( x) dx = limanai 1b af ( i ) 。n注：在bf(x)dx 中中 f(x) 叫做被積函

9、數(shù)， x 叫做積分變量，f(x) dx 叫做被積式， b，aa分別叫做積分上限和下限，區(qū)間a,b 叫做積分區(qū)間。9，曲邊梯形：曲線與平行于y 軸的直線和 x 軸所圍成的圖形，通常稱為曲邊梯形。根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積 S 等于其曲邊所對應(yīng)的函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a ，b 上的定積分，即 Sbf ( x)dx 。求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟：a第一步：分割在區(qū)間a ，b 中插入 n1 各分點(diǎn)，將它們等分成 n 個(gè)小區(qū)間 xi 1 ，xii1 ，2 ， ，n ，區(qū)間 xi 1 xi的長度 xi xi xi 1；，第二步：近似代替， “以直代曲 ”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求

10、出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值；第三步：求和；第四步：取極限。10，定積分的幾何意義：bf ( x) dx 表示介于 x 軸 ,曲線 y=f(x) ，與直線 x=a,x=b 之間部分a的曲邊梯形面積的代數(shù)和，在x 軸上方的面積取正號，在x 軸下方的面積取負(fù)號。如下圖（ 1）（2）：- 4 -11，微積分基本定理 (牛頓 -萊布尼茲公式 )：如果F ( x) f (x)，且f ( x)在 a , bbdx F b)F a，其中F ( x)叫做f (x)的上可積，則 f x( )( )a一個(gè)原函數(shù)。由于 F ( x)cf (x) ， F ( x)c 也是 f ( x) 的原函數(shù)，其中 c 為常數(shù)一般

11、地，原函數(shù)在 a , b 上的改變量 F (b)F (a ) 簡記作 F ( x) ab ，因此，微積分基本定理可以寫成形式：bF (x) baF (b)F ( a) f ( x)dxa12，定積分的性質(zhì) :bbkf (x )dxk f (x )dxaa,(其中 k 為常數(shù) )；bg(x ) dxbb f ( x)f ( x) dxg(x )dx ；aaabcb f (x ) dxf ( x)dxf (x )dx (其中 a<b<c)。aac13，利用函數(shù)的奇偶性求定積分 :若 f(x) 是 -a,a上的奇函數(shù) ,則af (x )dx 0 ;若 f(x) 是-a,aaaa上的偶函數(shù)

12、 ,則 f (x )dx 2f (x )dx .a014，定積分的求法：定義法(用微分思想求曲邊梯形的面積，分割、近似代替、求和、取極限 )；牛頓 -萊布尼茲公式法；幾何意義法:若 y=f(x) 、x 軸與直線 x=a,x=b 之間的各部分區(qū)域是可求面積的規(guī)則圖形，則可直接求其面積；利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)求。二、經(jīng)典例題練習(xí)1，若函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，且 x0(a,b) 則 limf (x0 h) f (x0h) 的值為（ ）h 0hA f ' (x0 )B 2 f ' (x0 )C 2 f ' ( x0 )D 02，若 f ( x0 )2

13、 ，則 limf ( x0k)f ( x0 ) 等于。k02k，已知曲線13的一條切線方程是y4x4，則 m 的值為（）3yxmA. 4328C.4或28D.2或 13B.3333334，若曲線的一條切線 與直線垂直，則 的方程為A BCD5，已知函數(shù) f (x)ax3(2a1)x 22 ，若 x1 是 yf ( x) 的一個(gè)極值點(diǎn)，則 a 值為（）A 2B.-2C.2D.4x3ax2a 2 在 x76，已知函數(shù) f (x)bx1處有極值為 10，則 f (2) =- 5 -7，已知直線 l1 為曲線 f ( x)x 3x2 在點(diǎn)（ 1，0）處的切線，直線 l 2 為該曲線的另一條切線，且 l

14、 2 的斜率為 1.1 求直線 l 1 、 l 2 的方程；2 求由直線 l1 、 l 2 和 x 軸所圍成的三角形面積。8，已知函數(shù)f (x)ax3bx23x 在 x1處取得極值 .1 討論 f (1)和 f ( 1) 函數(shù)的 f ( x) 的極大值還是極小值；2 過點(diǎn) A(0,16) 作曲線 y f ( x) 的切線，求此切線方程 .9，已知函數(shù)f (x)ax33x2x1 在 R 上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍；10，已知函數(shù) f（ x） x3ax2bxc 在 x - 2 與 x1 時(shí)都取得極值3（1）求 a、 b 的值與函數(shù) f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對 x 1， 2，不等式 f （x

15、） c2 恒成立，求 c 的取值范圍。11，甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A 處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸 40 km 的 B 處，乙廠到河岸的垂足D 與 A 相距 50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3 a 元和 5 a 元，問供水站 C 建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？三、專題測試一、選擇題（每小題4分, 共48分）ACD1設(shè)函數(shù) yf ( x) 可導(dǎo)，則 limf (1x)f (1) 等于（）x03xA f '(1)B 3 f'(1)C1f '(1)D 以上都不對32一個(gè)物體的運(yùn)動方程為 s1

16、tt 2 其中 s 的單位是米， t 的單位是秒，B那么物體在 3 秒末的瞬時(shí)速度是（）A 7 米/秒B 6 米/秒C 5 米/秒D 8米/秒3若曲線3A yx2 1與 y 1x3 在 xx0 處的切線互相垂直，則x0 等于（）36B 3 36C 2D2或066334y f (x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)yf ( x)在這點(diǎn)取極值的（）函數(shù)A 充分條件B必要條件C充要條件D必要非充分條件- 6 -5設(shè) f'(x) 是函數(shù) f ( x) 的導(dǎo)數(shù)， yf '( x) 的圖像如圖所示，則y f (x) 的圖像最有可yf '(x)能的是（）y1x02yyyy12 x1200AB

17、x201Cx201Dx6函數(shù) f (x)x3ax2 在區(qū)間 1,) 內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（）A 3,)B 3,)C (3,)D (,3)7函數(shù) yln x的最大值為（）xA e 1B eC e2D 1038x1， x2，曲線y1 及x軸所圍圖形的面積是（）由直線2xA.15B.17C.1 ln 2D.2 ln 24429函數(shù) f (x)x33bx3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則（）A 0 b 1B b 1C b 01D b210 yax21的圖像與直線yx 相切，則 a 的值為（）111D 1A B C8421p2 p3p.n p0) 表示成定積分11將和式的極限 limnP 1(

18、 p（）n1 11pdx11pdx1xpdxA dxB xC()D()0x00x0n12下列等于 1 的積分是（）1xdxB11)dx1D 1 1A ( xC 1dxdx0000 2二、填空題（每小題4 分，共16 分）1| x24 | dx =13014由定積分的幾何意義可知24x2 dx =_ 2- 7 -15. 如圖，一矩形鐵皮的長為 8cm，寬為 5cm，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，制成一個(gè)無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為時(shí)，盒子容積最大 .16. 函數(shù) f ( x)x 44x3ax21在區(qū)間 0,1 上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2 上單調(diào)遞減，則 a =.三、解答題17（ 12 分）

19、計(jì)算下列定積分的值3(4x x 2 )dx ；（ 2）25 dx ；（ 1）(x 1)112 ( xsin x)dx ；（ 4）2 cos2 xdx ；（3） 0218（本題 10 分）已知 x 1，求證： xln(1x) 19. （本題 10 分）已知 f ( x)ax4bx 2c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1) ，且在 x 1 處的切線方程是 y x 2（ 1）求 yf (x) 的解析式；（2）求 yf ( x) 的極值。20（ 12 分）求曲線 yx3x22x 與 x 軸所圍成的封閉圖形的面積21（本題 12 分）某商品每件成本9 元，售價(jià) 30 元，每星期賣出 432 件 . 如果降低價(jià)格。銷

20、售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低銷x （單位：元，0 x 30 ）的平方成正比 . 已知商品單價(jià)降低 2 元時(shí)，一星期多賣出24 件.x 的函數(shù) ;( ) 將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成( ) 如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？四、解題思路總結(jié)1，對考查導(dǎo)數(shù)定義的題型，一定要記住，把已知等式化為和導(dǎo)數(shù)定義式同等形式，再利用導(dǎo)數(shù)的定義求解；2，一定要記住教材中所給的8 個(gè)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，這是求導(dǎo)基礎(chǔ)；3，連續(xù)的閉區(qū)間內(nèi)必有最大值和最小值，比較各極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值的大小即可求出；4，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是過曲線上一點(diǎn)的切線的斜率，這在綜合題型中考查的比較多，一般是聯(lián)合函數(shù)求導(dǎo)、直線方程、定積分的知識，因此要掌握這三個(gè)方面的知識點(diǎn)；5，求解定積分時(shí)，要注意靈活應(yīng)用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定積分性質(zhì)和定積分的幾何意義。- 8 -11201214. 21 (4)CCADCBADABBC13.315. 1cm16.417 (1)3(2)(3)82618證明： 設(shè) f ( x)xln(1x)（ x1 ）， f'( x)11x（x1），f '