薛定諤方程+一維勢阱04

1、 量子力學(xué)量子力學(xué) 建立于建立于 1923 1927 年間，兩個(gè)等年間，兩個(gè)等價(jià)的理論價(jià)的理論 矩陣矩陣力學(xué)和力學(xué)和波動(dòng)波動(dòng)力學(xué)力學(xué) . 相對論量子力學(xué)相對論量子力學(xué)（1928 年，狄拉克）：描述高年，狄拉克）：描述高速運(yùn)動(dòng)的粒子的波動(dòng)方程速運(yùn)動(dòng)的粒子的波動(dòng)方程 . 薛定諤（薛定諤（Erwin chrodinger，18871961）奧地利物理學(xué)家）奧地利物理學(xué)家. 1926年建立了以薛定諤方程年建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué),并建立了量子并建立了量子力學(xué)的近似方法力學(xué)的近似方法 . 薛定諤是奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的薛定諤是奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的

2、重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原 子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定諤的波動(dòng)力學(xué)，是在德布羅意提出的物質(zhì)波的基礎(chǔ)上建薛定諤的波動(dòng)力學(xué)，是在德布羅意提出的物質(zhì)波的基礎(chǔ)上建立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學(xué)形式，建立了稱為薛定諤方程的量子立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學(xué)形式，建立了稱為薛定諤方程的量子力學(xué)波動(dòng)方程。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它與經(jīng)力學(xué)波動(dòng)方程。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的價(jià)值相似。在經(jīng)典極限下，薛定諤方程可

3、以典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的價(jià)值相似。在經(jīng)典極限下，薛定諤方程可以過渡到哈密頓方程。薛定諤方程是量子力學(xué)中描述微觀粒子過渡到哈密頓方程。薛定諤方程是量子力學(xué)中描述微觀粒子( (如電子等如電子等) )運(yùn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的基本定律，動(dòng)狀態(tài)的基本定律，。薛定諤。薛定諤對分子生物學(xué)的發(fā)展也做過工作。由于他的影響，不少物理學(xué)家參與了對分子生物學(xué)的發(fā)展也做過工作。由于他的影響，不少物理學(xué)家參與了生物學(xué)的研究工作，使物理學(xué)和生物學(xué)相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學(xué)生物學(xué)的研究工作，使物理學(xué)和生物學(xué)相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學(xué)的最顯著的特點(diǎn)之一。的最顯著的特點(diǎn)之一。薛定諤對原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，因而于薛定諤對原子理論的發(fā)展

4、貢獻(xiàn)卓著，因而于19331933年同英國物理學(xué)家狄年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎(jiǎng)金。拉克共獲諾貝爾物理獎(jiǎng)金。(1887(18871961)1961)0),(rPEtietr（、 是一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)，本身無物理意義是一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)，本身無物理意義),(tr3、 t時(shí)刻時(shí)刻，在在 （x,y,z） 處體積元處體積元d 內(nèi)內(nèi) 粒子出現(xiàn)的幾率。粒子出現(xiàn)的幾率。d2|2、波函數(shù)模的平方波函數(shù)模的平方 代表時(shí)刻代表時(shí)刻 t ，在在 r 處粒子出現(xiàn)的幾率密度。處粒子出現(xiàn)的幾率密度。*2|4、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件5、波函數(shù)歸一化條件、波函數(shù)歸一化條件:1、薛定諤方程建立應(yīng)滿足的條件、薛定

5、諤方程建立應(yīng)滿足的條件 （1）波函數(shù)應(yīng)滿足含有時(shí)間微商的微分方程）波函數(shù)應(yīng)滿足含有時(shí)間微商的微分方程 （2）要建立的方程是線性的，即如果）要建立的方程是線性的，即如果1 、2是是 方程的解，則方程的解，則1 和和2的線性疊加的線性疊加a 1+b 2 也應(yīng)是方程的解。也應(yīng)是方程的解。(量子力學(xué)態(tài)的疊加原理量子力學(xué)態(tài)的疊加原理)（3）這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)含有狀態(tài)參量（動(dòng)量、）這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)含有狀態(tài)參量（動(dòng)量、 能量等）能量等） （4）經(jīng)典力學(xué)中自由粒子動(dòng)量與能量的關(guān)系（非）經(jīng)典力學(xué)中自由粒子動(dòng)量與能量的關(guān)系（非 相對論關(guān)系）相對論關(guān)系）E=p2/2m在量子力學(xué)中仍成立。在量子力學(xué)中仍成立。 都滿

6、足：都滿足： 222222xPEt 但該方程不具有普遍性，因它只能滿足特定動(dòng)量但該方程不具有普遍性，因它只能滿足特定動(dòng)量P和能量和能量 E 的波。的波。 例如：例如： 對于對于 )(2cos),(1EtxphAtx)(22)(2sin),(PxEthieEtxphAtx)(0),(xpEtietx沿沿x方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為E和動(dòng)量為和動(dòng)量為P的自由粒子的波函數(shù)的自由粒子的波函數(shù)),(),(txEittx2、單能粒子（沿、單能粒子（沿x方向勻速直線運(yùn)動(dòng)）方向勻速直線運(yùn)動(dòng)） 若現(xiàn)在利用若現(xiàn)在利用E=P2/2m 消去消去E、P將得到一個(gè)含將得到一個(gè)含的非線性方程，不滿足條件（的非線性方程

7、，不滿足條件（2），所以再微分），所以再微分 2)/(x2222px pix02222tixm一維自由運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程一維自由運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程 ),(),(txEttxi利用利用E=P2/2m2222px3、單能、單能中運(yùn)動(dòng)的粒子（沿中運(yùn)動(dòng)的粒子（沿x方向勻速直線運(yùn)動(dòng)）方向勻速直線運(yùn)動(dòng)） 此時(shí)粒子具有的能量：此時(shí)粒子具有的能量： VmPVEEK22勢場中一維運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程勢場中一維運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程 tiVxm2222利用利用E=P2/2m+V同樣導(dǎo)出：同樣導(dǎo)出： mpxm222222),(),(txEttxi對三維運(yùn)動(dòng)的粒子對三維運(yùn)動(dòng)的粒子 titzyxVzyxm),(222

8、22222）（引入拉普拉斯算符：引入拉普拉斯算符： 則有則有 2222222zyxtitzyxVm),(222再引入哈密頓算符：再引入哈密頓算符： 則有則有 ),(222tzyxVmHtiH一般的薛定諤方程一般的薛定諤方程 4、 定態(tài)薛定諤方程（即定態(tài)薛定諤方程（即V(x,y,z)是不隨時(shí)間變化）是不隨時(shí)間變化） 若作用在粒子上的勢場若作用在粒子上的勢場V(r) 不顯含時(shí)間不顯含時(shí)間 t 時(shí)，時(shí)， 在經(jīng)在經(jīng)典力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情況，薛定諤方程典力學(xué)中這相應(yīng)于粒子機(jī)械能守恒的情況，薛定諤方程可用分離變量法求它的特解?？捎梅蛛x變量法求它的特解。)()(),(:tfrtr設(shè)dttdfri

9、tfrrVrtfm)()()()()()()(222兩邊除以兩邊除以 可得：可得：)()(tfrdttdftfirrVrmr)()(1)()()(2)(122由于空間變量與時(shí)間變量相互獨(dú)立，所以等式兩邊必須等于同由于空間變量與時(shí)間變量相互獨(dú)立，所以等式兩邊必須等于同一個(gè)常數(shù)，設(shè)為一個(gè)常數(shù)，設(shè)為E則有：則有：可見可見E具有能量的量綱與自由粒子波函數(shù)類比具有能量的量綱與自由粒子波函數(shù)類比它代表粒子的能量。它代表粒子的能量。把常數(shù)把常數(shù)A歸到時(shí)間部分，薛定諤方程的特解為：歸到時(shí)間部分，薛定諤方程的特解為：)exp()(),(EtiArtr)()()(222rErrVm0)()(2)(22rVEmr)

10、()(tEfdttdfictiEtf)(ln)exp()(EtiAtf)()(),(),(rrtrtr對應(yīng)的幾率密度與時(shí)間無關(guān)。即：對應(yīng)的幾率密度與時(shí)間無關(guān)。即： 處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量E，粒子在空間的概粒子在空間的概率密度分布不隨時(shí)間變化，而且力學(xué)量的測量值的幾率分率密度分布不隨時(shí)間變化，而且力學(xué)量的測量值的幾率分布和平均值都不隨時(shí)間變化。布和平均值都不隨時(shí)間變化。量子力學(xué)的處理方法量子力學(xué)的處理方法（1）已知粒子的）已知粒子的m，勢能函數(shù)勢能函數(shù)V，即可給出薛定諤方程即可給出薛定諤方程（2）由給定的初、邊值條件，求出波函數(shù)）由給定的初、邊值條件，求出波

11、函數(shù) （3）由波函數(shù)）由波函數(shù) 給出不同地點(diǎn)、時(shí)刻粒子的幾率密度給出不同地點(diǎn)、時(shí)刻粒子的幾率密度| |21、以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬龅亩☉B(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定、以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬龅亩☉B(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果.粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為0。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱為一維無限深勢阱。極大的斥力。稱為一維無限深勢阱。其定態(tài)薛定諤方程其定態(tài)薛定諤方程：)()()()(2222xExxVdxxdm)(

12、xVxaoaxxV0, 0)(axxxV, 0,)( 已知粒子所處的勢場為已知粒子所處的勢場為：axxxExdxxdm, 0)()()(2222axoxEdxxdm)()(2222在阱內(nèi)粒子勢能為零，滿足：在阱內(nèi)粒子勢能為零，滿足：在阱外粒子勢能為無窮大，滿足：在阱外粒子勢能為無窮大，滿足：方程的解必處處為零：方程的解必處處為零：axxx, 00)(根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上0)(, 0) 0 (a所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。axoxkxmEdxxd)()(2)(2222在阱內(nèi)的薛定諤在阱內(nèi)的薛定諤 方程可寫為：方程可寫為：類似

13、于簡諧振子的方程，其通解：類似于簡諧振子的方程，其通解：kxBkxAxcossin)(所以，所以，, 3 , 2 , 1; 0nnkaBn不能取零，否則無意義。不能取零，否則無意義。代入邊界條件得：代入邊界條件得：00cos0sin)0(BA0cossin)(kaBkaAa222mEk 因?yàn)橐驗(yàn)? 3 , 2 , 1nnka, 3 , 2 , 122222nnmaEn結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中，能量只能結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。取一系列分立值，即它的能量是量子化的。, 3 , 2 , 1),sin()(naxnAx1)(sin02dxaxnAa由

14、歸一化條件由歸一化條件:aA2稱稱n為量子數(shù)；為量子數(shù)； 為本征態(tài)；為本征態(tài)； 為本征能量。為本征能量。nE)(xn1、零點(diǎn)能的存在零點(diǎn)能的存在 稱為基態(tài)能量。稱為基態(tài)能量。22212maE2、 能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。 能級間隔：能級間隔：22212) 12 (manEEEnnn當(dāng)當(dāng) 能級分布可視為連續(xù)的。能級分布可視為連續(xù)的。0/2/,nEEnnaxnaxnaxn0, 3 , 2 , 1),sin(2)(axxxn, 0, 0)(一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)： 在某些在某些極限極限的條件下，量子規(guī)

15、律可以的條件下，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律為經(jīng)典規(guī)律 .2218) 12(mahnEEEnn 勢阱中相鄰勢阱中相鄰能級能級之之差差21,1amE ), 3 , 2 , 1(,8222nmahnEn 能級能級相對相對間隔間隔nmahnmahnEEnn288222222當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，能量視為，能量視為連續(xù)連續(xù)變化變化.n0)(nnEE 當(dāng)當(dāng) 很大時(shí)，很大時(shí)， ，量子效應(yīng)不明顯，能，量子效應(yīng)不明顯，能量可視為量可視為連續(xù)連續(xù)變化，此即為變化，此即為經(jīng)典對應(yīng)經(jīng)典對應(yīng) .amn,0E例：例：電子在電子在 的勢阱中的勢阱中 .m100 . 12aeV1054. 7821522nmahnE（近似于連

16、續(xù)近似于連續(xù)）當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), （能量分立能量分立）eV4 .75nm10. 0nEaeV1077. 38152222nmahnE0 x2aa1n2n3n4nn0 x2aa2nxanaxsin2)(xanaxsin2)(220pE1E14E19E116E2、 勢壘貫穿（勢壘貫穿（）在經(jīng)典力學(xué)中在經(jīng)典力學(xué)中,若若 ,粒子的動(dòng)能粒子的動(dòng)能為正為正, 它只能在它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動(dòng)。區(qū)中運(yùn)動(dòng)。0VE0VVOaIIIxIII0),()(212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(232322axxxV, 0, 0)(axVxV0,)(020

17、21)(2EVmk222mEk 令：0VVaoxIIIIII0, 0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(32232三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：若考慮粒子是從若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波反射波；粒子從區(qū)中有入射波反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)，在區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大于在處出現(xiàn)的幾率。處的幾率要大于在處出現(xiàn)的幾率。0 xax其解為：其解為：0,Re)(1xAexikxikxaxTexxk0,)(1

18、2axCexikx,)(3根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式畫于圖中。求出解的形式畫于圖中。0VVaoxIIIIII隧道效應(yīng)量子力學(xué)結(jié)果分析：量子力學(xué)結(jié)果分析：（1）EV0情況情況 在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子可以在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子可以越過勢壘運(yùn)動(dòng)到越過勢壘運(yùn)動(dòng)到xa區(qū)域，而在量子力學(xué)區(qū)域，而在量子力學(xué)中有一部分被反彈回去，即粒子具有波中有一部分被反彈回去，即粒子具有波動(dòng)性的具體體現(xiàn)。動(dòng)性的具體體現(xiàn)。（2）EV0情況情況 在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子將完全被勢壘擋回，在在經(jīng)典

19、力學(xué)中，該情況的粒子將完全被勢壘擋回，在x0的區(qū)域內(nèi)的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)；而在量子力學(xué)中結(jié)果卻完全不同，此時(shí)，雖然粒子被勢壘反射回運(yùn)動(dòng)；而在量子力學(xué)中結(jié)果卻完全不同，此時(shí)，雖然粒子被勢壘反射回來，但它們?nèi)杂辛Ｗ哟┩竸輭具\(yùn)動(dòng)到勢壘里面去，所以我們將這種量子來，但它們?nèi)杂辛Ｗ哟┩竸輭具\(yùn)動(dòng)到勢壘里面去，所以我們將這種量子力學(xué)特有的現(xiàn)象稱力學(xué)特有的現(xiàn)象稱“隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)”。 1981年在年在IBM公司瑞士蘇黎士實(shí)驗(yàn)室工作的賓尼希和羅雷爾利用針尖公司瑞士蘇黎士實(shí)驗(yàn)室工作的賓尼希和羅雷爾利用針尖與表面間的隧道電流隨間距變化的性質(zhì)來探測表面的結(jié)構(gòu)，獲得了實(shí)空間與表面間的隧道電流隨間距變化的性質(zhì)來探測表面的結(jié)構(gòu)，獲

20、得了實(shí)空間的原子級分辨圖象，為此獲得的原子級分辨圖象，為此獲得1986年諾貝爾物理獎(jiǎng)。年諾貝爾物理獎(jiǎng)。 由于電子的隧道效應(yīng)，金由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度越為減長度越為1nm。 只要將原子線度的極細(xì)探只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時(shí)，它們的表面電離非常接近時(shí)，它們的表面電子云就可能重疊

21、。子云就可能重疊。 若在樣品與針尖之間加一微小電壓若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會(huì)穿過電極間電子就會(huì)穿過電極間的勢壘形成隧道電流。的勢壘形成隧道電流。 隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。表面的起伏。 因?yàn)樗淼离娏鲗︶樇馀c樣品因?yàn)樗淼离娏鲗︶樇馀c樣品間的距離十分敏感?？刂漆樇飧唛g的距離十分敏感?？刂漆樇飧叨炔蛔儯ㄟ^隧道電流的變化可度不變，通過隧道電流的變化可得到表面態(tài)密度的分布；得到表面態(tài)密度的分布；

22、利用利用STM可以分辨表面上原子的可以分辨表面上原子的臺(tái)階、平臺(tái)和原子陣列?？梢灾迸_(tái)階、平臺(tái)和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象接繪出表面的三維圖象空氣隙空氣隙樣品樣品探針探針 使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀測到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀測到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。前景。 利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（

23、道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術(shù)。它可用于不導(dǎo)年提出成象技術(shù)。它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。電樣品的觀察。 STM樣品樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性；在恒流工作模式必須具有一定程度的導(dǎo)電性；在恒流工作模式下有時(shí)對表面某些溝槽不能準(zhǔn)確探測。任何一種技術(shù)都有其下有時(shí)對表面某些溝槽不能準(zhǔn)確探測。任何一種技術(shù)都有其局限性。局限性。1991年年IBM公司的公司的“拼字拼字”科研小組創(chuàng)造出了科研小組創(chuàng)造出了“分子繪畫分子繪畫”藝術(shù)。這是藝術(shù)。這是他們利用他們利用STM把一氧化碳分子豎立在鉑表面上、分子間距約把一氧化碳分子豎立在鉑表面上、分子間距約0.5納米的納米的“分子人分子人”。這個(gè)。這個(gè)“分子人分子人”從頭到腳只有從頭到腳只有5納米，堪稱世界上最小的人納米，堪稱世界上最小的人形圖案。形圖案。1994年初，中國科學(xué)院真空物理實(shí)年初，中國科學(xué)院真空物理實(shí)驗(yàn)室的研究人員成功地利用一種新驗(yàn)室的研究人員成功地利用