電磁場與電磁波第二章

1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波第二章第二章 靜電場靜電場回顧回顧n梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度n惟一性定理惟一性定理n亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理n無旋場無旋場與與無散場無散場 rArrF 14VF rrdVrr 41dVrrrFrAV靜電場靜電場主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：n電場強(qiáng)度與電通電場強(qiáng)度與電通n場方程（真空）場方程（真空）n電位電位n電偶極子與介質(zhì)極化電偶極子與介質(zhì)極化與電通密度與電通密度n靜電場的邊界條件靜電場的邊界條件n電容電容n電場能量電場能量n電場力電場力靜電場靜電場n靜電場：當(dāng)靜電場：當(dāng)靜止靜止電荷的電荷的電荷量不隨時(shí)間變電荷量不隨時(shí)間變化時(shí)化時(shí)，其產(chǎn)生的電場也不隨時(shí)間變化。，其產(chǎn)

2、生的電場也不隨時(shí)間變化。n電荷周圍場的特性與觀察者和電荷之間的電荷周圍場的特性與觀察者和電荷之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)。電場強(qiáng)度、電通及電場線電場強(qiáng)度、電通及電場線n電場強(qiáng)度：電場強(qiáng)度：電場對(duì)某點(diǎn)單位正電荷的作用力稱為電場對(duì)某點(diǎn)單位正電荷的作用力稱為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度該點(diǎn)的電場強(qiáng)度，以以 表示：表示： 式中式中q 為試驗(yàn)電荷的電量，為試驗(yàn)電荷的電量， 為電荷為電荷q 受到的作用受到的作用力。力。n電通：電通：電場強(qiáng)度通過任一曲面的通量稱為電通，電場強(qiáng)度通過任一曲面的通量稱為電通，以以 表示表示, ,即即)V/m(FEq SSEdEF電場強(qiáng)度、電通及電場線電場強(qiáng)度、電通及電場線n電場線

3、：電場線：為形象描述電場強(qiáng)度的分布特性，為形象描述電場強(qiáng)度的分布特性，引入一組曲線，令曲線上各點(diǎn)的切線方向表引入一組曲線，令曲線上各點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向，該曲線稱為示該點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向，該曲線稱為電場線電場線。n電場線方程：電場線方程：0d lE帶電平行板帶電平行板 負(fù)電荷負(fù)電荷 正電荷正電荷 幾種典型的電場線分布幾種典型的電場線分布電場線的疏密程度可以顯示電場強(qiáng)度的大小。電場線的疏密程度可以顯示電場強(qiáng)度的大小。 電場強(qiáng)度、電通及電場線電場強(qiáng)度、電通及電場線真空中靜電場方程真空中靜電場方程n積分方程：積分方程：物理實(shí)驗(yàn)物理實(shí)驗(yàn)表明，真空中靜電場的電場表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度強(qiáng)

4、度 滿足滿足 （高斯定律）（高斯定律） 左式表明真空中靜電場的電場強(qiáng)度通過左式表明真空中靜電場的電場強(qiáng)度通過任一任一封閉曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電量與封閉曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電量與真空介電常數(shù)之比。真空介電常數(shù)之比。 右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度沿右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度沿任一任一條閉合曲線的環(huán)量為零（保守性）。條閉合曲線的環(huán)量為零（保守性）。SSE 0d qllE 0d F/m)(10361m)/F(10854187817. 89120E真空中靜電場方程真空中靜電場方程n微分方程：微分方程：利用高斯散度定理和斯托克斯旋度利用高斯散度定理和斯托克斯旋度定理，可得

5、定理，可得 左式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度在某左式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度在某點(diǎn)點(diǎn)的散度等于該點(diǎn)的電荷體密度與真空介電常的散度等于該點(diǎn)的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。數(shù)之比。 右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度的旋右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度的旋度度處處處處為零。為零。n真空中靜電場是真空中靜電場是有散無旋有散無旋場。場。0 E0 E電位電位n已知靜電場的電場強(qiáng)度的散度及旋度以后，根已知靜電場的電場強(qiáng)度的散度及旋度以后，根據(jù)亥姆霍茲定理，有：據(jù)亥姆霍茲定理，有：式中式中因此因此A E 1( )( ) d41( )( ) d4VVVV AE rr|rr |E rr|rr |xPzy0Vd

6、)(rrrrr VV|rr |rr 0d)(41)( 0)( rA E標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為稱為電位電位，寫為，寫為 Ev 真空中靜電場在某點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于真空中靜電場在某點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電位梯度的該點(diǎn)電位梯度的負(fù)負(fù)值。值。 取取B B點(diǎn)作為參考零點(diǎn)（無窮遠(yuǎn)處），則點(diǎn)作為參考零點(diǎn)（無窮遠(yuǎn)處），則A A點(diǎn)電點(diǎn)電位可表為位可表為v 靜電場中某點(diǎn)電位的靜電場中某點(diǎn)電位的物理意義物理意義：單位正單位正電荷在電荷在電場力的作用下，自該點(diǎn)沿電場力的作用下，自該點(diǎn)沿任一任一條路徑移至無限條路徑移至無限遠(yuǎn)處過程中電場力作的功。遠(yuǎn)處過程中電場力作的功。v 靜電場中任意兩點(diǎn)間電場強(qiáng)度的線積分（電位靜電場中任意

7、兩點(diǎn)間電場強(qiáng)度的線積分（電位差）等于電場力作的功，與路徑無關(guān)。差）等于電場力作的功，與路徑無關(guān)。電位電位qWlqFlEllBABABABAddddlBAelqWA Ev等位面：電位相等的點(diǎn)組成的曲面。等位面：電位相等的點(diǎn)組成的曲面。v由于電場強(qiáng)度的方向?yàn)殡娢惶荻鹊呢?fù)方向，而由于電場強(qiáng)度的方向?yàn)殡娢惶荻鹊呢?fù)方向，而電位梯度方向總是垂直于等位面，因此，電位梯度方向總是垂直于等位面，因此，電場線電場線與等位面一定處處保持垂直與等位面一定處處保持垂直。若規(guī)定相鄰的等位。若規(guī)定相鄰的等位面之間的電位差保持恒定，那么等位面密集處表面之間的電位差保持恒定，那么等位面密集處表明電位變化較快，因而場強(qiáng)較強(qiáng)。這樣

8、，等位面明電位變化較快，因而場強(qiáng)較強(qiáng)。這樣，等位面分布的疏密程度也可表示電場強(qiáng)度的強(qiáng)弱。分布的疏密程度也可表示電場強(qiáng)度的強(qiáng)弱。電場線電場線等位面等位面E電位電位Czyx),(靜電場特性靜電場特性n高斯定律中的電量高斯定律中的電量 q q 應(yīng)理解為封閉面應(yīng)理解為封閉面 S S 所包所包圍的全部正負(fù)電荷的總和。圍的全部正負(fù)電荷的總和。n靜電場的電場線是不可能閉合的，而且也不可靜電場的電場線是不可能閉合的，而且也不可能相交。能相交。n任意兩點(diǎn)之間電場強(qiáng)度的線積分與路徑無關(guān)。任意兩點(diǎn)之間電場強(qiáng)度的線積分與路徑無關(guān)。真空中的靜電場和重力場一樣，它是一種保守真空中的靜電場和重力場一樣，它是一種保守場。場。

9、 n靜電場求解：高斯定律、分布電荷、微分方程靜電場求解：高斯定律、分布電荷、微分方程邊值條件邊值條件靜電場問題的求解方法靜電場問題的求解方法n高斯定律：電場分布具有高斯定律：電場分布具有對(duì)稱性對(duì)稱性時(shí)，可先嘗試時(shí)，可先嘗試用高斯定律求解電場強(qiáng)度。（例用高斯定律求解電場強(qiáng)度。（例2 22 21 1，2 22 23 3 ）n要點(diǎn)：要點(diǎn)： 1 1、“左邊左邊”電場在空間任意封閉面的總流出通電場在空間任意封閉面的總流出通量量 2 2、“右邊右邊”封閉面包圍的總電荷除以封閉面包圍的總電荷除以SSE 0d qn已知已知電荷分布電荷分布，求解電場強(qiáng)度，求解電場強(qiáng)度( (例例2 22 24)4)n若電荷分布在

10、一個(gè)有限的表面上，或者分布在一若電荷分布在一個(gè)有限的表面上，或者分布在一個(gè)有限的線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時(shí)電位及個(gè)有限的線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時(shí)電位及電場強(qiáng)度與電荷的電場強(qiáng)度與電荷的面密度面密度 及及線密度線密度 的關(guān)系分的關(guān)系分別為別為靜電場問題的求解方法靜電場問題的求解方法SSS 0d|)(41)(|rrrr3 0( )()1( )d4|SSrrSErrrr | lll|rr|rrd)(41)(0 3 0( )()1( )d4|llrrlErrrr |30()()( )d4VrrrrVrrESl電偶極子電偶極子n電偶極子電偶極子：由間距：由間距“很小很小”的的2 2個(gè)個(gè)等量等量正負(fù)正

11、負(fù)“點(diǎn)點(diǎn)”電荷組成。電荷組成。 間距：間距：l l “ “點(diǎn)點(diǎn)”電荷：電荷：q q1=q=q、q q2=-q=-q 解決問題的入手點(diǎn)解決問題的入手點(diǎn)矢量疊加原理！矢量疊加原理！n電矩矢量電矩矢量 式中式中 的方向規(guī)定由負(fù)電荷指向正電荷。的方向規(guī)定由負(fù)電荷指向正電荷。qpl-q+ql ll電偶極子電偶極子n電偶極子產(chǎn)生的電偶極子產(chǎn)生的電位電位為為n利用關(guān)系式利用關(guān)系式 ，求得電偶極子的，求得電偶極子的電場電場強(qiáng)度強(qiáng)度為為n電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強(qiáng)電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強(qiáng)度的大小與距離的三次方成反比。而且兩者度的大小與距離的三次方成反比。而且兩者均與方位角均與方位角 有

12、關(guān)。有關(guān)。2200cos44eprrr p sin1e1eerrrEr30304sine2coserprpr E介質(zhì)極化介質(zhì)極化n自由電荷自由電荷：導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，：導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。n束縛電荷束縛電荷：低于擊穿場強(qiáng)的電場作用下，介：低于擊穿場強(qiáng)的電場作用下，介質(zhì)中的電荷是不會(huì)自由運(yùn)動(dòng)的，這些電荷稱質(zhì)中的電荷是不會(huì)自由運(yùn)動(dòng)的，這些電荷稱為束縛電荷。為束縛電荷。n介質(zhì)擊穿介質(zhì)擊穿：如果外加電場很強(qiáng)，介質(zhì)中的電：如果外加電場很強(qiáng)，介質(zhì)中的電子也可能脫離原子核而運(yùn)動(dòng)，即形成自由電子也可能脫離原子核而運(yùn)動(dòng)，即形成自由

13、電子，從而使介質(zhì)能夠?qū)щ?，這種現(xiàn)象稱為介子，從而使介質(zhì)能夠?qū)щ?，這種現(xiàn)象稱為介質(zhì)擊穿。質(zhì)擊穿。有極分子有極分子無極分子無極分子無極分子無極分子有極分子有極分子Ea介質(zhì)極化介質(zhì)極化n極化極化：在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生：在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移的現(xiàn)象。位移的現(xiàn)象。n無極分子的極化稱為無極分子的極化稱為位移極化位移極化，有極分子的，有極分子的極化稱為極化稱為取向極化取向極化。因極化產(chǎn)生的面分布及。因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為體分布的束縛電荷又稱為極化電荷極化電荷。介質(zhì)的極化介質(zhì)的極化n介質(zhì)中介質(zhì)中“束縛電荷束縛電荷”n受電場影響感應(yīng)出的電偶極子受電場影響感應(yīng)出的電偶

14、極子極化極化n研究感應(yīng)出的電偶極子研究感應(yīng)出的電偶極子n電場電場 = = 原原 + +偶極子電場偶極子電場0EepEnewE介質(zhì)極化介質(zhì)極化n電極化強(qiáng)度電極化強(qiáng)度：單位體積中電矩的矢量和單位體積中電矩的矢量和。n極化率極化率：實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，大多數(shù)大多數(shù)介質(zhì)在電場的作用介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化時(shí)，其電極化強(qiáng)度與下發(fā)生極化時(shí)，其電極化強(qiáng)度與合成合成的電場強(qiáng)度成的電場強(qiáng)度成正比，即正比，即n其中其中 稱為電極化率，為正實(shí)數(shù)。稱為電極化率，為正實(shí)數(shù)。EPe0VpPNii1VpPV0lime介質(zhì)極化介質(zhì)極化n更一般的情況更一般的情況n各向同性介質(zhì)各向同性介質(zhì) 各向異性介質(zhì)（電場強(qiáng)度的方向

15、）各向異性介質(zhì)（電場強(qiáng)度的方向） 均勻介質(zhì)均勻介質(zhì) 非均勻介質(zhì)非均勻介質(zhì) （空間坐標(biāo)）（空間坐標(biāo)） 線性介質(zhì)線性介質(zhì) 非線性介質(zhì)非線性介質(zhì) （電場強(qiáng)度的大小）（電場強(qiáng)度的大?。?靜止介質(zhì)靜止介質(zhì) 運(yùn)動(dòng)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)介質(zhì) （時(shí)間）（時(shí)間）zyxeeeeeeeeezyxEEEPPP3332312322211312110介質(zhì)極化介質(zhì)極化n 為正實(shí)常數(shù)，表明為正實(shí)常數(shù)，表明。 方向相同？方向相同？EPe0e0EP、介質(zhì)極化介質(zhì)極化n束縛電荷束縛電荷面分布面分布: :介質(zhì)表面上介質(zhì)表面上一定有一定有“束縛電束縛電荷荷”分布。分布。n束縛電荷束縛電荷體分布體分布: :如果介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，如果介質(zhì)內(nèi)部是不均勻

16、的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，這樣，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布。這樣，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布。n介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷總量與介質(zhì)塊的表介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷總量與介質(zhì)塊的表面束縛電荷總量是面束縛電荷總量是等值異性等值異性的。的。)()(rPrnSerPr)()(SrPVrPqsVd)(d)(SrPqssd)(介質(zhì)中的靜電場介質(zhì)中的靜電場n介質(zhì)電場介質(zhì)電場 束縛電荷束縛電荷n束縛電荷束縛電荷 束縛電荷產(chǎn)生電場束縛電荷產(chǎn)生電場n束縛電荷電場原有電場束縛電荷電場原有電場 新電場新電場 令令 （電通密度、電位移電通密度、電位移），有

17、），有n介質(zhì)中穿過任一閉合面的介質(zhì)中穿過任一閉合面的電通密度的通量電通密度的通量等于該閉等于該閉合面包圍的合面包圍的自由電荷自由電荷，與束縛電荷無關(guān)。，與束縛電荷無關(guān)。PED0qSdDSqSPEsd0介質(zhì)中的靜電場方程介質(zhì)中的靜電場方程n介質(zhì)中介質(zhì)中束縛電荷產(chǎn)生的仍為靜電場，其場強(qiáng)束縛電荷產(chǎn)生的仍為靜電場，其場強(qiáng)旋度仍處處為零，因此場方程可寫為旋度仍處處為零，因此場方程可寫為n積分形式積分形式n微分形式微分形式D0ESqSD d llE 0d 介質(zhì)中的靜電場介質(zhì)中的靜電場n由由各向同性各向同性介質(zhì)的電極化強(qiáng)度定義介質(zhì)的電極化強(qiáng)度定義 可知可知 令令 則則 稱為介質(zhì)的稱為介質(zhì)的介電常數(shù)介電常數(shù)。

18、n已知極化率已知極化率 e e為為正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)，因此，一切介質(zhì)的介電常，因此，一切介質(zhì)的介電常數(shù)均大于真空的介電常數(shù)。數(shù)均大于真空的介電常數(shù)。n相對(duì)介電常數(shù)：相對(duì)介電常數(shù)：n任何介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)大于任何介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)大于1 1。EPe 0 EEEDee)1(000 )1(0e ED er10介質(zhì)中的靜電場介質(zhì)中的靜電場n對(duì)于對(duì)于均勻線性各向同性均勻線性各向同性介質(zhì)，介電常數(shù)與空介質(zhì)，介電常數(shù)與空間坐標(biāo)及場強(qiáng)無關(guān)，因此場方程可寫為間坐標(biāo)及場強(qiáng)無關(guān)，因此場方程可寫為n積分形式積分形式n微分形式微分形式E0ESqSE d llE 0d 介質(zhì)中的靜電場介質(zhì)中的靜電場n束縛電荷的分布特性束縛電荷的

19、分布特性n均勻均勻介質(zhì)內(nèi)自由電荷為零的區(qū)域中，束縛介質(zhì)內(nèi)自由電荷為零的區(qū)域中，束縛電荷體密度為零。電荷體密度為零。)1(1)(0eeeeeDEP靜電場的邊界條件靜電場的邊界條件n邊界條件邊界條件：當(dāng)討論的空間存在：當(dāng)討論的空間存在多種多種介質(zhì)時(shí)，由于介質(zhì)時(shí)，由于介質(zhì)特性不同，場量在兩種介質(zhì)的交界面上發(fā)生介質(zhì)特性不同，場量在兩種介質(zhì)的交界面上發(fā)生突變突變，其變化規(guī)律即為靜電場的邊界條件。，其變化規(guī)律即為靜電場的邊界條件。n邊界條件的討論：場量突變時(shí)，函數(shù)的連續(xù)性無邊界條件的討論：場量突變時(shí)，函數(shù)的連續(xù)性無法保證，因而描述法保證，因而描述點(diǎn)特性點(diǎn)特性的散度和旋度在邊界上的散度和旋度在邊界上不存在不

20、存在。因此邊界條件的討論歸結(jié)為。因此邊界條件的討論歸結(jié)為積分形式積分形式下下的靜電場方程在分界面上的靜電場方程在分界面上任一點(diǎn)處極限任一點(diǎn)處極限情況的表情況的表述。述。n兩種邊界條件：兩種介質(zhì)、介質(zhì)與導(dǎo)體兩種邊界條件：兩種介質(zhì)、介質(zhì)與導(dǎo)體兩種介質(zhì)的邊界條件兩種介質(zhì)的邊界條件n切向分量切向分量：將方程：將方程 應(yīng)用于跨越分界面的應(yīng)用于跨越分界面的一狹小矩形回路，其長度為一狹小矩形回路，其長度為l，高度為，高度為h，則電，則電場強(qiáng)度沿該矩形曲線的環(huán)量為場強(qiáng)度沿該矩形曲線的環(huán)量為 llE 0d 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d lElElElElEl令令 h h 0 0，則線積分則

21、線積分 0d d 1 4 3 2 lElE 令令 l l 足夠短，以致于在足夠短，以致于在 l l 內(nèi)可以認(rèn)為場量是相等的，內(nèi)可以認(rèn)為場量是相等的，則上述環(huán)量為則上述環(huán)量為 lElEd d dt21t4 3 22 1 1 lElElE兩種介質(zhì)的邊界條件兩種介質(zhì)的邊界條件n已知靜電場中電場強(qiáng)度的環(huán)量處處為零，因此已知靜電場中電場強(qiáng)度的環(huán)量處處為零，因此 在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的電場強(qiáng)度在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的電場強(qiáng)度的切向分量相等，即電場強(qiáng)度的的切向分量相等，即電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)切向分量連續(xù)。（無條件無條件）n對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)對(duì)于各向同性的線性介質(zhì) 在兩種在兩種各向同性的線

22、性各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，介質(zhì)形成的邊界上，電通密度的切向分量不連續(xù)。電通密度的切向分量不連續(xù)。 2t1tEE 22t1t 1DD兩種介質(zhì)的邊界條件兩種介質(zhì)的邊界條件n法向分量法向分量：將方程：將方程 應(yīng)用于跨分界面的一應(yīng)用于跨分界面的一個(gè)扁平圓柱面，其高度為個(gè)扁平圓柱面，其高度為 h h，端面為，端面為 S S。令。令h 0 ，則通過側(cè)面的通量為零，又考慮到，則通過側(cè)面的通量為零，又考慮到S必須足必須足夠小，則上述通量應(yīng)為夠小，則上述通量應(yīng)為Sq dSDhS 1 2enD2D1 D1n及及 D2n分別代表對(duì)應(yīng)介質(zhì)中分別代表對(duì)應(yīng)介質(zhì)中電通密度與邊界垂直的法向分量。電通密度與邊界垂直的法

23、向分量。邊界法線的正方向規(guī)定為由介質(zhì)邊界法線的正方向規(guī)定為由介質(zhì)1 1指向介質(zhì)指向介質(zhì)2 2，有，有SSDSD 1n2ndSDsSqDD1n2n兩種介質(zhì)的邊界條件兩種介質(zhì)的邊界條件n考慮到在兩種介質(zhì)形成的邊界上通常不可能存在表考慮到在兩種介質(zhì)形成的邊界上通常不可能存在表面自由電荷，因此面自由電荷，因此 在分界面在分界面無自由電荷面分布無自由電荷面分布的條件下，兩種的條件下，兩種介質(zhì)邊界介質(zhì)邊界上電通密度的法向分量相等，即上電通密度的法向分量相等，即電通密度電通密度的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)。 n對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)對(duì)于各向同性的線性介質(zhì) 在兩種在兩種各向同性的線性各向同性的線性介質(zhì)形成的邊

24、界上，介質(zhì)形成的邊界上，電場強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)電場強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)。 2n1nDD11n22nEE兩種介質(zhì)的邊界條件兩種介質(zhì)的邊界條件n邊界上束縛電荷與法向分量的關(guān)系邊界上束縛電荷與法向分量的關(guān)系 因因 故故 分界面兩側(cè)分界面兩側(cè)電場強(qiáng)度法向分量不連電場強(qiáng)度法向分量不連續(xù)續(xù)是由分界面上的束縛電荷引起的。是由分界面上的束縛電荷引起的。hS 1 2enD2D10nnnDEPqSdPSnnPP12nnEE120介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界條件介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界條件n靜電平衡靜電平衡：導(dǎo)體內(nèi)部和表面都沒有電荷定向：導(dǎo)體內(nèi)部和表面都沒有電荷定向移動(dòng)的狀態(tài)。移動(dòng)的狀態(tài)。n過程過程：當(dāng)孤立導(dǎo)體放入靜電場中以后，導(dǎo)體

25、：當(dāng)孤立導(dǎo)體放入靜電場中以后，導(dǎo)體中自由電子發(fā)生運(yùn)動(dòng)，這一運(yùn)動(dòng)將改變導(dǎo)體中自由電子發(fā)生運(yùn)動(dòng)，這一運(yùn)動(dòng)將改變導(dǎo)體上的電荷分布，這電荷的分布反過來又改變上的電荷分布，這電荷的分布反過來又改變導(dǎo)體內(nèi)部和周圍的電場分布。這種電荷和電導(dǎo)體內(nèi)部和周圍的電場分布。這種電荷和電場的分布將一直改變到導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為場的分布將一直改變到導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零方才停止。零方才停止。介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界條件介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界條件n靜電平衡靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零：時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零： 1 1、導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在自由電荷的體分布、導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在自由電荷的體分布（高斯定律）。（高斯定律）。 自由電荷只能分布在導(dǎo)體

26、的自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面表面上。上。 2 2、導(dǎo)體中的電位梯度為零。、導(dǎo)體中的電位梯度為零。 導(dǎo)體中電位不隨空間變化。導(dǎo)體中電位不隨空間變化。 處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是一個(gè)處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是一個(gè)等位等位體體，導(dǎo)體表面是一個(gè)，導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面等位面。介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界條件介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界條件3 3、 切向分量連續(xù)切向分量連續(xù)電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度垂直垂直于導(dǎo)體的于導(dǎo)體的表面，即表面，即4 4、導(dǎo)體表面可以存在、導(dǎo)體表面可以存在表面自由電荷表面自由電荷，因此，因此 對(duì)對(duì)各向同性的線性各向同性的線性介質(zhì)，有介質(zhì)，有 由由 知知0en E介質(zhì)E, D導(dǎo)體enSE nSnSnnDeDD210Sn

27、P2nnPED2202nSnSE0導(dǎo)體圍成的封閉空腔導(dǎo)體圍成的封閉空腔n靜電屏蔽：靜電屏蔽：當(dāng)封閉的導(dǎo)體空腔中沒有自由電荷時(shí)，即當(dāng)封閉的導(dǎo)體空腔中沒有自由電荷時(shí)，即使腔外存在電荷，腔中靜電場仍然為零。這就意味著使腔外存在電荷，腔中靜電場仍然為零。這就意味著封閉的導(dǎo)體腔可以屏蔽外部靜電場，這種封閉的導(dǎo)體腔可以屏蔽外部靜電場，這種效應(yīng)效應(yīng)稱為稱為靜靜電屏蔽電屏蔽。 當(dāng)金屬空殼處于靜電平衡時(shí)，當(dāng)金屬空殼處于靜電平衡時(shí)，殼體殼體內(nèi)的場強(qiáng)為零內(nèi)的場強(qiáng)為零。這時(shí)如果在殼體內(nèi)作一。這時(shí)如果在殼體內(nèi)作一個(gè)封閉面包圍空腔，由高斯定律可知空個(gè)封閉面包圍空腔，由高斯定律可知空腔內(nèi)表面上的腔內(nèi)表面上的凈電荷為零凈電荷

28、為零。這有兩種情。這有兩種情況。一種情況是空腔內(nèi)表面上沒有電荷，況。一種情況是空腔內(nèi)表面上沒有電荷，則此時(shí)腔中不可能存在電場；另一種情則此時(shí)腔中不可能存在電場；另一種情況是內(nèi)表面有等量的正負(fù)電荷，此時(shí)若況是內(nèi)表面有等量的正負(fù)電荷，此時(shí)若以正負(fù)電荷間任一根電場線和腔壁中任以正負(fù)電荷間任一根電場線和腔壁中任一根曲線組成閉合曲線，則沿該曲線的一根曲線組成閉合曲線，則沿該曲線的電場強(qiáng)度的環(huán)量不為零，這就違背了靜電場強(qiáng)度的環(huán)量不為零，這就違背了靜電場的基本特性，因此這種情況是不存電場的基本特性，因此這種情況是不存在的。在的。010dUn求極板間電場。1E00dU21EE 假定兩種介質(zhì)中只存在垂直與極板的

29、電場 2E 邊界條件 唯一性定理 0dU111E2E電容電容n電容電容：由物理學(xué)得知，由物理學(xué)得知，平板電容器平板電容器正極板上攜帶正極板上攜帶的電量的電量 q q 與極板間的電位差與極板間的電位差 U U 的比值是一個(gè)常的比值是一個(gè)常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的電容，即電容為數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的電容，即電容為 事實(shí)上，事實(shí)上，任意兩個(gè)導(dǎo)體間的電容任意兩個(gè)導(dǎo)體間的電容都可以用上式都可以用上式來表示。來表示。n電容的單位電容的單位F F（法拉）太大。例如半徑大如地球（法拉）太大。例如半徑大如地球的弧立導(dǎo)體的電容只有的弧立導(dǎo)體的電容只有 F F。實(shí)際中，通。實(shí)際中，通常取常取 F F（微法）及

30、（微法）及 pFpF（皮法）作為電容單位。（皮法）作為電容單位。UqC 310708. 0電容電容n孤立孤立導(dǎo)體的電容：和無限遠(yuǎn)處的另一個(gè)導(dǎo)導(dǎo)體的電容：和無限遠(yuǎn)處的另一個(gè)導(dǎo)體組成一個(gè)電容器。體組成一個(gè)電容器。n對(duì)于多導(dǎo)體之間的電容計(jì)算，需要引入對(duì)于多導(dǎo)體之間的電容計(jì)算，需要引入部部分電容分電容概念。多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個(gè)導(dǎo)體的概念。多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個(gè)導(dǎo)體的電位不僅與導(dǎo)體本身電荷有關(guān)，同時(shí)還與電位不僅與導(dǎo)體本身電荷有關(guān)，同時(shí)還與其他導(dǎo)體上的電荷有關(guān)，因?yàn)橹車鷮?dǎo)體上其他導(dǎo)體上的電荷有關(guān)，因?yàn)橹車鷮?dǎo)體上電荷的存在必然影響周圍空間靜電場的分電荷的存在必然影響周圍空間靜電場的分布，而多導(dǎo)體的電場是由它們布，

31、而多導(dǎo)體的電場是由它們共同共同產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。n半徑為半徑為a的孤立導(dǎo)體球電容：的孤立導(dǎo)體球電容：aC4br t2S例例 一平行板電容器，兩極板間距為一平行板電容器，兩極板間距為b b、面積為、面積為S S，在其，在其間平行地插入一厚度為間平行地插入一厚度為t t，相對(duì)介電常數(shù)為，相對(duì)介電常數(shù)為 r r，面積為面積為S/2S/2的的均勻介質(zhì)板。設(shè)極板帶電均勻介質(zhì)板。設(shè)極板帶電Q Q，忽略邊緣效應(yīng)。，忽略邊緣效應(yīng)。 求求(1)(1)該電容器的電容該電容器的電容C C，(2)(2)兩極板間的電位差兩極板間的電位差 U U。 (3)Q (3)Q在極板上均勻分布嗎？在極板上均勻分布嗎？b2SCo 右右

32、tbSCrro 12 左左U 1R12R2例例 同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為R1和R2，中間為兩種介質(zhì)，介電常數(shù)分別為1和2，分界面過直徑，電壓為U 。試求該電纜單位長度電容。 邊界上電場強(qiáng)切線分量 E1t= E2t因此，根據(jù)唯一性定理，因此，根據(jù)唯一性定理，可知可知 E1= E221dRRrEUSDqdqDDr)(212121rqEE1221lnRRqU11R2RUSDUqCdrEUd小結(jié)小結(jié)n介質(zhì)中的靜電場方程（電通密度、介電常數(shù)介質(zhì)中的靜電場方程（電通密度、介電常數(shù)的引入、特殊形式）的引入、特殊形式） 介質(zhì)中：介質(zhì)中： 均勻線性各向同性介質(zhì)均勻線性各向同性介質(zhì)中：中：D0ESqSD d l

33、lE 0d E0ESqSE d llE 0d 小結(jié)小結(jié)SqSE d llE 0d SqqSE 0d SqSD d sDD1n2n2t1tEE 22t1t 1DD2n1nDD11n22nEE)(n1n20EES無自由電荷無自由電荷sEE1n12n2sSEE)(n1n20有自由電荷有自由電荷hS 1 2enE2E1小結(jié)小結(jié)n兩種介質(zhì)形成的邊界條件（注意條件）兩種介質(zhì)形成的邊界條件（注意條件） 切向分量：切向分量： 無條件無條件： 有條件（有條件（各向同性線性各向同性線性介質(zhì)中）：介質(zhì)中）： 法向分量：法向分量： 無自由電荷面密度無自由電荷面密度： 無自由電荷面密度無自由電荷面密度且且各向同性線性各

34、向同性線性介質(zhì)中：介質(zhì)中： 無自由電荷無自由電荷, ,束縛電荷束縛電荷與電場強(qiáng)度法向分量的關(guān)系：與電場強(qiáng)度法向分量的關(guān)系：sDD1n2n2t1tEE 22t1t 1DD2n1nDD11n22nEE)(n1n20EES小結(jié)小結(jié)n介質(zhì)和導(dǎo)體形成的邊界條件介質(zhì)和導(dǎo)體形成的邊界條件 靜電平衡靜電平衡時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零。時(shí)導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零。 切向分量切向分量, ,無條件滿足無條件滿足： 法向分量：法向分量： 有自由電荷面密度有自由電荷面密度： 有自由電荷面密度有自由電荷面密度且且各向同性線性各向同性線性介質(zhì)中：介質(zhì)中： 束縛電荷、自由電荷束縛電荷、自由電荷與電場強(qiáng)度法向分量的關(guān)系：與電場強(qiáng)度法向

35、分量的關(guān)系：sDD1n2n0ne ESnSE0snsDeD2nSE nORd 一體電荷密度為一體電荷密度為的帶電的帶電球體中，現(xiàn)已挖去一球形空腔，球體中，現(xiàn)已挖去一球形空腔，求空腔內(nèi)任意一點(diǎn)的場強(qiáng)。求空腔內(nèi)任意一點(diǎn)的場強(qiáng)。1rn假定該球由半徑為假定該球由半徑為R R電荷電荷密度為密度為的帶電球體的帶電球體1 1和和半徑為半徑為r r電荷電荷密度為密度為-的的帶電球帶電球2 2體組合而成。體組合而成。n利用矢量疊加原理利用矢量疊加原理drrrrqrrqEE02010232201311021p3334141E2rOPr13110141rrqE23220241rrqE電場能量電場能量n靜電場具有能量

36、：靜電場具有能量：根據(jù)根據(jù)電場力作功電場力作功或或外力作功外力作功與靜電場能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以計(jì)算靜電與靜電場能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以計(jì)算靜電場能量。場能量。 n孤立帶電體能量：孤立帶電體能量：n電位為電位為，電荷量為，電荷量為Q Q的帶電體電場能為的帶電體電場能為QCQdqCqdqqWdqdWqWQQe2121)(200Q21電場能量電場能量n多個(gè)帶電體的靜電場具有的總能量多個(gè)帶電體的靜電場具有的總能量 線性媒質(zhì)線性媒質(zhì)中，設(shè)各個(gè)帶電體的電量增加一倍中，設(shè)各個(gè)帶電體的電量增加一倍時(shí)，各個(gè)帶電體的電位也升高一倍。第時(shí)，各個(gè)帶電體的電位也升高一倍。第 i 個(gè)帶電個(gè)帶電體的電位最終值為體的電位

37、最終值為 i，電量的最終值為，電量的最終值為Q i ，若，若某一時(shí)刻第某一時(shí)刻第 i 個(gè)帶電體的電量為個(gè)帶電體的電量為 q i = Q i ， 1，則此時(shí)刻該帶電體的電位為則此時(shí)刻該帶電體的電位為 i = i 。那么當(dāng)各個(gè)帶電體的電量均以同一比例那么當(dāng)各個(gè)帶電體的電量均以同一比例 增長，增長，且同時(shí)分別增至最終值且同時(shí)分別增至最終值 時(shí)，該系統(tǒng)的時(shí)，該系統(tǒng)的總電場能為總電場能為 niiiQ1211 0 1eeddniiiQWWnQQQ,21平板電容電場的能量：平板電容電場的能量：CQCUUQWe22212121電場能量電場能量n能量守恒：雖然上述推導(dǎo)中假定電荷同時(shí)增長，能量守恒：雖然上述推導(dǎo)中

38、假定電荷同時(shí)增長，但外力所作的功全部轉(zhuǎn)化為靜電場的能量，但外力所作的功全部轉(zhuǎn)化為靜電場的能量，與過與過程無關(guān)程無關(guān)。n帶電體電荷連續(xù)分布時(shí)，靜電場具有的總能量帶電體電荷連續(xù)分布時(shí)，靜電場具有的總能量dVdqWVVe2121dSWSe21dlWle21電場能量電場能量n靜電場的能量分布在電場所占據(jù)的整個(gè)空間靜電場的能量分布在電場所占據(jù)的整個(gè)空間區(qū)域特性區(qū)域特性n靜電場的能量分布密度靜電場的能量分布密度點(diǎn)特性點(diǎn)特性由由 得得: :21d 21d 21eSSSSSSW 兩個(gè)導(dǎo)體攜帶的電量為兩個(gè)導(dǎo)體攜帶的電量為Q1和和 Q2，其表面積分別為其表面積分別為 S1和和 S2，電荷分，電荷分布在導(dǎo)體的表面上

39、，因此，該系布在導(dǎo)體的表面上，因此，該系統(tǒng)的總能量為統(tǒng)的總能量為 S2Q2Q1S1VenennenenneeDDs21d 21d 21eSSWSSDD電場能量電場能量n在無限遠(yuǎn)處再作一個(gè)無限大的球面在無限遠(yuǎn)處再作一個(gè)無限大的球面 S，由于電荷，由于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠(yuǎn)處的電位及場強(qiáng)均趨于零。分布在有限區(qū)域，無限遠(yuǎn)處的電位及場強(qiáng)均趨于零。因此，積分因此，積分0d SDSSS2Q2Q1S1VenenneneSDSDSDSDd 21d 21d 21d 2121eSSSSW式中式中 。閉合面。閉合面 S 包圍了包圍了靜電場所占據(jù)的整個(gè)空間。那么，靜電場所占據(jù)的整個(gè)空間。那么，利用利用高斯定理高斯

40、定理，上式可寫，上式可寫區(qū)域區(qū)域V 中沒有自由電荷，中沒有自由電荷，又又 因此因此SSSS21VWVd ) (21eDVVd ) (21DD0DEVWVd 21eED電場能量電場能量n能量分布密度能量分布密度： 各向同性的線性介質(zhì)中各向同性的線性介質(zhì)中n靜電場能量與電場強(qiáng)度平方成正比。因此，靜電場能量與電場強(qiáng)度平方成正比。因此，能量能量不符合疊加原理不符合疊加原理。這是因?yàn)樵诙嚯姾上到y(tǒng)中，當(dāng)。這是因?yàn)樵诙嚯姾上到y(tǒng)中，當(dāng)一個(gè)帶電體引入系統(tǒng)中時(shí)，外力必須反抗已有其一個(gè)帶電體引入系統(tǒng)中時(shí)，外力必須反抗已有其它帶電體對(duì)該帶電體產(chǎn)生的電場力而作功，此功它帶電體對(duì)該帶電體產(chǎn)生的電場力而作功，此功也轉(zhuǎn)變?yōu)殡?/p>

41、場能量，這份能量通常稱為也轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿芰浚@份能量通常稱為互有能互有能，而帶電體單獨(dú)存在時(shí)具有的能量稱為而帶電體單獨(dú)存在時(shí)具有的能量稱為固有能固有能。n靜電場能量的兩種求解思路靜電場能量的兩種求解思路EDwe21221Ewe課堂作業(yè)課堂作業(yè)n求半徑為求半徑為R R0 0，體電荷密度體電荷密度為為 的電荷球的電荷球( (如：如：電子云電子云) )所具有的電場能量。所具有的電場能量。分析：分析：n什么物理概念？什么物理概念？n球的對(duì)稱性有沒有用途？球的對(duì)稱性有沒有用途？n用什么解法？用什么解法？題解題解解法解法1 1：直接利用能量密度公式：直接利用能量密度公式 需要求解：需要求解：eedwW202

42、1Ewe0330002030RRRRRRRE05020154.00RdVWWRRee題解題解解法解法2 2：按照物理過程：按照物理過程“糊泥糊泥”外力做功外力做功n“糊到糊到”距離球心距離球心R R處時(shí)，處時(shí)， 這個(gè)半徑為這個(gè)半徑為R R的的“半成品半成品” 球的電位：球的電位：n糊上厚度為糊上厚度為dRdR的球殼（的球殼（“泥泥”）：）：n糊上厚度為糊上厚度為dRdR的球殼（的球殼（“泥泥”）外力需要做的功：）外力需要做的功：n總的功（能量）：總的功（能量）：RRRQRR0304344dRRdQR24dRRdQdWRRe4203405020154.0RdRdWWReeR2dE 例例 兩半徑為

43、兩半徑為R的平行長直導(dǎo)的平行長直導(dǎo)線，中心間距為線，中心間距為d，且，且dR, , 求求沿導(dǎo)線方向，單位長度的電場沿導(dǎo)線方向，單位長度的電場能量能量. .xxd)(2200 xdxEEE設(shè)兩金屬線的電荷線密設(shè)兩金屬線的電荷線密度為度為解解oxPRdRxEUdRdRRdlnln00RdUCln0RdRxxdxd)11(20R2dExxdoxPRdCQWln210例例 一球形電容器由兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼組成，其間充滿一球形電容器由兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼組成，其間充滿相對(duì)介電常數(shù)為相對(duì)介電常數(shù)為 r r的各向同性均勻電介質(zhì)，外球殼以的各向同性均勻電介質(zhì)，外球殼以外為真空。內(nèi)球殼半徑為外為真空。內(nèi)球殼半徑為R

44、R1 1，帶電量為，帶電量為q q1 1；外球殼內(nèi)、；外球殼內(nèi)、外半徑分別為外半徑分別為R R2 2和和R R3 3，帶電量為，帶電量為q q2 2。求：求：(1)(1)空間的電場分布；空間的電場分布；(2)(2)該電容器的電容；該電容器的電容；(3)(3)電電介質(zhì)中的電場能量。介質(zhì)中的電場能量。 解解 (1)(1)由高斯定理有：由高斯定理有：; 0:011ERr;4:21221rqERrRro; 0:332ERrR221434:rqqERrooR1R2R3 roq1-q1q1+q2 (2)兩球的電勢差為：兩球的電勢差為：電容為電容為VC q112214RRRRro(3) (3) 電介質(zhì)中的電

45、場能量：電介質(zhì)中的電場能量：2221Ero)11(82121RRqro電場能量也可用下式求得：電場能量也可用下式求得：CqWe2121:21RrR2124rqEro212RRdrEV)11(4211RRqroeWdrr2421RRrdrR1R2R3 roq1-q1q1+q2電場力電場力n庫侖定律：庫侖定律： 靜電學(xué)基礎(chǔ)，適用于電荷分布簡單的系統(tǒng)。靜電學(xué)基礎(chǔ)，適用于電荷分布簡單的系統(tǒng)。n虛位移法虛位移法：電荷分布復(fù)雜的系統(tǒng)，：電荷分布復(fù)雜的系統(tǒng)，為了計(jì)算分為了計(jì)算分布電荷的帶電體之間的電場力，通常采用布電荷的帶電體之間的電場力，通常采用虛位虛位移法移法假定假定帶電體在電場作用下發(fā)生一定的帶電體在

46、電場作用下發(fā)生一定的位移位移，根據(jù)位移過程中，根據(jù)位移過程中電場能量的變化電場能量的變化與外力與外力及電場力所作的功之間的關(guān)系計(jì)算電場力。及電場力所作的功之間的關(guān)系計(jì)算電場力。rrqqe204F電場力電場力n平板電容器兩極板上的電量分別為平板電容器兩極板上的電量分別為+ +q及及-q，板間距離為，板間距離為 l 。為了計(jì)算。為了計(jì)算方便，假定在電場力作用下，極板方便，假定在電場力作用下，極板之間的距離增量為之間的距離增量為dl。而兩極板間。而兩極板間的相互作用力實(shí)際上導(dǎo)致板間距離的相互作用力實(shí)際上導(dǎo)致板間距離減小。因此，求出的作用力應(yīng)為負(fù)減小。因此，求出的作用力應(yīng)為負(fù)值。值。dll-q+q電場

47、力電場力n若認(rèn)為作用力若認(rèn)為作用力F F 導(dǎo)致位移增加，因此，作用力導(dǎo)致位移增加，因此，作用力F F 的方向?yàn)槲灰频脑黾臃较?。這樣，為了產(chǎn)生的方向?yàn)槲灰频脑黾臃较?。這樣，為了產(chǎn)生 dl l 位移增量，電場力作的功為位移增量，電場力作的功為 根據(jù)能量守恒定律，這部分功應(yīng)等于電場能量根據(jù)能量守恒定律，這部分功應(yīng)等于電場能量的減小值，即的減小值，即 由此求得由此求得 常電荷系統(tǒng)常電荷系統(tǒng)lFdd lFeddWlF常數(shù)qlWFdde電場力電場力n已知平板電容器的能量為已知平板電容器的能量為 。對(duì)于。對(duì)于常電常電荷系統(tǒng)荷系統(tǒng)，發(fā)生位移時(shí)電量，發(fā)生位移時(shí)電量 q 未變，只有電容未變，只有電容 C 改變了。改變了。 平板電容器的電容平板電容器的電容 平板電容器兩極板之間的作用力為平板電容器兩極板之間的作用力為 負(fù)號(hào)表明作用力的負(fù)號(hào)表明作用力的實(shí)際方向?qū)嶋H方向是指向位移減小的是指向位移減小的方向。方向。CqW2e21lSC 22SqF電場力電場力n假定發(fā)生位移時(shí)，電容器始終與電源相連