數(shù)理方法第八章熱傳導(dǎo)方程的付氏解

1、第八章第八章 熱傳導(dǎo)方程的付氏解熱傳導(dǎo)方程的付氏解第一節(jié)第一節(jié) 熱傳導(dǎo)類型方程的建立熱傳導(dǎo)類型方程的建立 8.1.1熱傳導(dǎo)方程的建立熱傳導(dǎo)方程的建立物理建模物理建模 (1)物質(zhì)是熱量傳遞的媒質(zhì)物質(zhì)是熱量傳遞的媒質(zhì),熱量可以在媒質(zhì)中傳遞熱量可以在媒質(zhì)中傳遞,可以從高溫媒質(zhì)傳到低溫媒質(zhì)可以從高溫媒質(zhì)傳到低溫媒質(zhì),或從媒質(zhì)的高溫部分傳或從媒質(zhì)的高溫部分傳到媒質(zhì)的低溫部分到媒質(zhì)的低溫部分. (2)媒質(zhì)被看成是連續(xù)的媒質(zhì)被看成是連續(xù)的(兩種媒質(zhì)分界面除外兩種媒質(zhì)分界面除外),故故媒質(zhì)的物理性質(zhì)可用連續(xù)函數(shù)來表示媒質(zhì)的物理性質(zhì)可用連續(xù)函數(shù)來表示,如如:質(zhì)量密度質(zhì)量密度,熱熱傳導(dǎo)系數(shù)傳導(dǎo)系數(shù),等等. (3)

2、熱量在傳遞的過程中遵守?zé)崃W(xué)第一定律熱量在傳遞的過程中遵守?zé)崃W(xué)第一定律,第零第零定律定律,以及第二定律以及第二定律. (4)熱量傳導(dǎo)遵守傳里葉定律和牛頓散熱定律熱量傳導(dǎo)遵守傳里葉定律和牛頓散熱定律.熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)建模熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)建模 推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：傳導(dǎo)的傅里葉定律： 熱傳導(dǎo)的傅里葉定律傅里葉定律： dt時(shí)間內(nèi)，通過面積元時(shí)間內(nèi)，通過面積元 dS流入小體積元的熱量流入小體積元的熱量 dQ與沿面積元外法線方向的溫度變化率與沿面積元外法線方向的溫度變化率 un成正比成正比 dSdt也與

3、也與和和成正比，即：成正比，即： dd duQkS tn 式中式中k是導(dǎo)熱系數(shù)是導(dǎo)熱系數(shù) 圖8.1取直角坐標(biāo)系取直角坐標(biāo)系Oxyz, Oxyz, 如圖如圖8.1 8.1 ),(tzyxu表示表示t t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,zx,y,z）處的溫度）處的溫度 在d dt t 時(shí)間內(nèi)通過ABCD面流入的熱量為 d|()| d d d()| d d dxxxuuQkt y zkt y znx 時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為同樣，在dt()d d d dukt x y zyy()d d d dukt x y zzz在d dt t 時(shí)間內(nèi)通過EFGH面流入的熱量為 |(

4、)|x dxx dxx dxuudQkdydzdtkdydzdtnx 凈流入量為凈流入量為:|(| )()xx dxx dxxuuudQdQdQkkdydzdtkdtdxdydzxxxx 在在t t到到dtt時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是 dutt0C如果用和分別表示物體的密度密度和比熱比熱，則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程 0()()()d d d dd d d duuuukkkt x y zCt x y zxxyyzzt或?qū)懗苫驅(qū)懗?0()()()uuuukkkCxxyyzzt22222222222220()()kkuuuuuuuacxyzxyzt 當(dāng)當(dāng) 是是常常數(shù)

5、數(shù)時(shí)時(shí)2220uuatx 一一維維時(shí)時(shí): :(8.1)8.1.2 擴(kuò)散方程的建立擴(kuò)散方程的建立 2220 (0)uuattx 其中2.aD將一維推廣到三維，即得到將一維推廣到三維，即得到 22222220 (0)uuuuattxyz 上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式 若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為( , , , )f x y z t這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為 2222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz 從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，從上面的推導(dǎo)可知，熱

6、傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來描述但可以用同一類方程來描述. . 8.1.3 8.1.3 熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件 (1) 初始條件初始條件 (2) 邊界條件邊界條件(0)t t 第一類第一類: 已知任意時(shí)刻已知任意時(shí)刻邊界面上的溫度分布 ( , , , )|( , )u x y z tft 直接給出函數(shù)u 在邊界上的數(shù)值,所以是第一類邊界條件. ( ,0)( )u xx 一一維維時(shí)時(shí): :( , )( )u l tt 例例: :熱傳導(dǎo)方程的初始條件是給定介質(zhì)初溫?zé)醾鲗?dǎo)方程的初始條件是給定介質(zhì)初溫 ( , , ,0)( , , )u x

7、 y zx y z 第二類第二類 已知任意時(shí)刻已知任意時(shí)刻(0)t t 從外部通過邊界流入物體內(nèi)的熱量。從外部通過邊界流入物體內(nèi)的熱量。 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過邊界上單位面積流入的熱量為設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過邊界上單位面積流入的熱量為( , ) t. ( , )|( ),|0,x lx lxx lu x tjktxul 例例已已知知一一維維熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)桿桿一一端端的的熱熱流流強(qiáng)強(qiáng)度度: :特特別別地地表表 端端絕絕熱熱. .第三類第三類給定介質(zhì)與另一種介質(zhì)進(jìn)行熱交換給定介質(zhì)與另一種介質(zhì)進(jìn)行熱交換,遵守牛頓實(shí)驗(yàn)定遵守牛頓實(shí)驗(yàn)定定律定律(熱流強(qiáng)度與兩介質(zhì)溫差成正比熱流強(qiáng)度與兩介質(zhì)溫差成正比)( , ) ( ,

8、 )( )xkul th u l tT t第二節(jié)第二節(jié) 一維熱傳導(dǎo)一維熱傳導(dǎo)(擴(kuò)散擴(kuò)散)混合問題的付氏解混合問題的付氏解例例:2, (0,0)(8.1)(0, )0, ( , )0, (0)(8.3)( ,0)( ), (0)(8.4)txxua uxl tutu l ttu xxxl 分離變數(shù)解法與第九章相同分離變數(shù)解法與第九章相同思路：求同時(shí)滿足泛定方程思路：求同時(shí)滿足泛定方程8.1和邊界條件和邊界條件8.2的半通的半通解解,再想辦法讓半通解滿足初始條件再想辦法讓半通解滿足初始條件.設(shè)泛定方程具有如下形式的解設(shè)泛定方程具有如下形式的解:( , )( )( )u x tT t X x 代入泛

9、定方程代入泛定方程8.1得得:2T Xa TX 或或:22TXka TX 式中的式中的k稱為泛定常數(shù)稱為泛定常數(shù)得兩個(gè)常微分方程如下得兩個(gè)常微分方程如下:220()0Xk XTakT 將將( , )( )( )u x tT t X x 代入邊界條件代入邊界條件10.2有有:(0, )(0) ( )0( , )( ) ( )0utXT tu l tX l T t 對(duì)于求非對(duì)于求非0解來說解來說,T(t)不恒為不恒為0,所以所以:(0)( )0XX l 得特征值問題得特征值問題:20(0)0,( )0Xk XXX l 又因又因k是以平方的形式出現(xiàn)在上邊的方程中是以平方的形式出現(xiàn)在上邊的方程中,固負(fù)

10、數(shù)固負(fù)數(shù)時(shí)時(shí)k值與正數(shù)的值與正數(shù)的k值得到的是相同解值得到的是相同解,所以所以k只取正值只取正值,即即:( )( )sin,(1,2,3,)nnnnX xXxAk xnkknl 把把kn代入代入T(t)的方程，得到相應(yīng)的的方程，得到相應(yīng)的T的解為的解為:22( )na ktnnT tC e 得一系列滿足泛定方程和邊界條件的特解得一系列滿足泛定方程和邊界條件的特解22( , )sin,( ,0)sin,(1,2,3,)na ktnnnnnnux tc ek xuxck xn 且且很明顯很明顯,這個(gè)解一般地并不滿足初始條件這個(gè)解一般地并不滿足初始條件( ,0)( )u xx 但因方程和邊界條件都是

11、齊次的但因方程和邊界條件都是齊次的,固可設(shè)其半通解為固可設(shè)其半通解為:221( , )sin(8.5)na ktnnnu x tc ek x 令其滿足初始條件令其滿足初始條件(8.4)得得:1( ,0)sin( )nnnu xck xx 只要只要 是連續(xù)或分段連續(xù)的是連續(xù)或分段連續(xù)的,上式是可以得到滿足上式是可以得到滿足的的,只需取只需取( )x 02( )sin(8.6)lnnnckdl 即即 的付里葉系數(shù)的付里葉系數(shù).( )x 其解為其解為:22102( , )( )sinsinnla ktnnnu x tkd ek xl 對(duì)于非齊次方程和非齊次邊界條件對(duì)于非齊次方程和非齊次邊界條件,其處

12、理方法和第九其處理方法和第九章完全相同章完全相同,這里略過這里略過.第三節(jié)第三節(jié) 一維熱傳導(dǎo)初值問題的付氏解一維熱傳導(dǎo)初值問題的付氏解2,(,0)(8.1)( ,0)( ),()(8.11)txxua uxtu xxx 設(shè)泛定方程具有如下形式的解設(shè)泛定方程具有如下形式的解:( , )( )( )u x tT t X x 代入泛定方程代入泛定方程8.1得得:2T Xa TX 或或:22TXka TX 式中的式中的k稱為泛定常數(shù)稱為泛定常數(shù)得兩個(gè)常微分方程如下得兩個(gè)常微分方程如下:220()0Xk XTakT 由于方程由于方程8.1沒有邊界條件，固沒有邊界條件，固X(x)不構(gòu)成特征值問題不構(gòu)成特征

13、值問題,因而對(duì)因而對(duì)k的取值沒有限制。固此先解的取值沒有限制。固此先解T(t)的方程的方程0k 當(dāng)當(dāng):0000,TTXXcd x 有有:0000()uT cd x 00,c d為積分常數(shù)，且只能取為積分常數(shù)，且只能取 否則有：否則有：00d 0 xu 這與初溫有限的無源熱傳導(dǎo)的實(shí)際不符！這與初溫有限的無源熱傳導(dǎo)的實(shí)際不符！從而得：從而得：000uT c 當(dāng)：當(dāng)：0k 22( )k a tT te K不能是復(fù)數(shù)，否則溫度會(huì)隨時(shí)間作振蕩，這與能不能是復(fù)數(shù)，否則溫度會(huì)隨時(shí)間作振蕩，這與能量守恒不符，固量守恒不符，固k只能是實(shí)數(shù)。這時(shí)只能是實(shí)數(shù)。這時(shí)( )( )cos( )sinkXXxa kkxb

14、kkx 得到一系列特解：得到一系列特解：（稱為自然邊界條件。也（稱為自然邊界條件。也構(gòu)成一類特征值問題）構(gòu)成一類特征值問題）22( , ) ( )cos( )sink a tkux tea kkxb kkx 很顯然這些特解一般地并不滿足初始條件，取這些解很顯然這些特解一般地并不滿足初始條件，取這些解的線性疊加作為問題的半通解，并要求其滿足所給初的線性疊加作為問題的半通解，并要求其滿足所給初始條件，即始條件，即22( , ) ( )cos( )sin(8.12)k a tu x tea kkxb kkx dk 和：和：( ,0) ( )cos( )sin( )u xa kkxb kkx dkx

15、這正是這正是 的付里葉積分，而的付里葉積分，而a(k),b(k)正是其付正是其付里葉系數(shù)。里葉系數(shù)。( )x 11( )( )cos, ( )( )sin(8.13)22a kk db kk d 代入得：代入得：221( , )( )coscos21( )sinsin2k a tu x tek dkxk dkx dk 22221( , )( )cos ()21( )cos ()2k a tk a tu x tedkkx dekx dk d 2222220041( , )( )cos ()1( )cos ()(8.14)1( )(8.15)2k a tk a txa tu x tedkkx dd

16、ekx dkedat 可以證明上式滿足泛定方程和初始條件可以證明上式滿足泛定方程和初始條件.8.15是熱傳導(dǎo)初值問題的積分形式的解是熱傳導(dǎo)初值問題的積分形式的解第四節(jié)第四節(jié) 一端有界的熱傳導(dǎo)問題一端有界的熱傳導(dǎo)問題 2241( , )( )(8.15)2xa tu x tedat 初值問題初值問題(兩端無界兩端無界)的解的解具有如下性質(zhì)具有如下性質(zhì):(1)若若 為奇函數(shù)為奇函數(shù),即即:( )x ()( )xx 則則:(0, )0ut (2)若若 為偶函數(shù)為偶函數(shù),即即:( )x ()( )xx 則則:(0, )0 xut 由性質(zhì)由性質(zhì)(1)可得下列半無界問題的解可得下列半無界問題的解2,(0,0)(0, )0,(0)( ,0)( ),(0)txxua uxtuttu xxx 作奇延拓作奇延拓:2,(,0)( ),(0)( ,0)( )(),(0)txxUa UxtxxU xxxx 此無界問題的解恒滿足此無界問題的解恒滿足:(0, )0Ut 當(dāng)當(dāng):0 x 時(shí)時(shí)22