無窮級(jí)數(shù)進(jìn)階班習(xí)題課

1、無窮級(jí)數(shù) 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)第七章目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 3. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 第七章第七章 1. 基本概念與性質(zhì)基本概念與性質(zhì)二、冪級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)2. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 3. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開1. 收斂半徑，收斂域收斂半徑，收斂域目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1. 基本概念與性質(zhì)基本概念與性質(zhì)：1nnu

2、123nuuuu 稱為稱為無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)的前級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和nS123nuuuu 1;nnSu 若若不不存存在在lim,nnS 稱級(jí)數(shù)稱級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 .若若存存在在lim,nnSS 稱級(jí)數(shù)稱級(jí)數(shù)收斂收斂 , S 為級(jí)數(shù)的為級(jí)數(shù)的和和,記作記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)1,nnSu 1nnWv 1()nnnuv .SW 110nnnnauua 與與收收斂斂性性一一致致（）; ;(2)(4) 改變或增減改變或增減有限項(xiàng)有限項(xiàng), , 不改變斂散性不改變斂散性；(5) 收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂（反之不對(duì)）收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂（反之不對(duì)）.1nnu lim0.nnu 收斂

3、收斂(1)1. 基本概念與性質(zhì)基本概念與性質(zhì)：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2、等比級(jí)數(shù)、等比級(jí)數(shù) （又稱（又稱幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)）20(0 )nnnaqaaqaqaqa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1q 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂 , ,;1aSq 1,q 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 . .1技巧，技巧，3結(jié)果結(jié)果1、利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和求和3、調(diào)和級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)11111123nnn 發(fā)散發(fā)散 .1114,1PnPPnP 時(shí)時(shí) 、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)收斂收斂 , ,發(fā)散發(fā)散 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) . 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂收斂部分和數(shù)列部分和數(shù)列nS有界有界 .2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)

4、審斂法： 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnv 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)1nnu 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)1nnv 收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 .0nnuv若若(2) .（比較判別法）（比較判別法）參考級(jí)數(shù)：參考級(jí)數(shù)：等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，P-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0, 0nnuv 設(shè)設(shè)(3) .（比較判別法的極限形式）（比較判別法的極限形式）且且lim,nnnulv 則有則有兩個(gè)級(jí)數(shù)有相同的斂散性兩個(gè)級(jí)數(shù)有相同的斂散性 ;(2) 當(dāng)當(dāng) l = 0 且且收收斂斂時(shí)時(shí)1,nnv 也也收收斂斂1;nnu (3) 當(dāng)當(dāng) l =+ 且且發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)1,nnv

5、也也發(fā)發(fā)散散1.nnu (1) 當(dāng)當(dāng) 0 l + 時(shí)時(shí),參考級(jí)數(shù)：參考級(jí)數(shù)：等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，P-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè) nu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且1limlim,nnnnnnululu （或或）則則1l 1l ,收斂收斂 ;或或, 發(fā)散發(fā)散 .l (4) （Dalembert比值法比值法或或根值法）根值法）3. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：(1) . 絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂定義定義: 若若若原級(jí)數(shù)收斂若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 1nnu 收斂收斂 ,1nnu 數(shù)為數(shù)為條件收斂

6、條件收斂.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)則稱原級(jí)數(shù)數(shù)則稱原級(jí)則稱原級(jí)對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1,nnu 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) ( Leibnitz 定理定理 ) 若若交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿足滿足:則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)11)(1, 2,);nnuun 2)lim0,nnu 11( 1)nnnu 收斂收斂 , 且其和且其和 1.Su 11( 1)nnnu 11)ln1nnn (1)1(1)!2)nnnn 1題題型型 ： 判判別別數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性1例例判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 113)1nn n 2116)lnnnn 2114)nnnn

7、 23122227) 133 53 5 73 5(21)nn 165)75nnnn 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )C發(fā)發(fā)散散)A 條條件件收收斂斂)B 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂2130nna 例例常常數(shù)數(shù)，且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))D 斂斂散散性性與與 有有關(guān)關(guān)21( 1)().nnnan 211)nnnnBuu收收斂斂，而而發(fā)發(fā)散散211)nnnnAuu 與與都都收收斂斂211)nnnnCuu與與都都發(fā)發(fā)散散14( 1) ln(1)nnun 例例設(shè)設(shè)，則則正正確確的的是是（ ）. .211)nnnnDuu 發(fā)發(fā)散散，而而收收斂斂BC C目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22111)nnnnB

8、aa 收收斂斂，發(fā)發(fā)散散21211)nnnnAaa 收收斂斂，發(fā)發(fā)散散2121)()nnnCaa 收收斂斂11150,( 1)nnnnnnaaa 例例設(shè)設(shè)若若發(fā)發(fā)散散，收收斂斂，2121)()nnnDaa 收收斂斂則則下下列列結(jié)結(jié)論論正正確確的的是是（ ）. .D D2!6lim0.nnnnn 例例證證明明：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、冪級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù) 1. 收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域：00() ,nnnaxx 0nnna x 0nnna x 的收斂半徑為的收斂半徑為1limnnnaRa 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為(,),R R 加上端點(diǎn)處的收斂點(diǎn)，加上端點(diǎn)處的收斂點(diǎn)

9、，稱為冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂域.2. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)：(1)0nnna x 0nnnb x 與與的收斂域的公共部分上，有的收斂域的公共部分上，有00nnnnnna xb x 0()nnnnabx ；目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)0( )( )nnna xS xS x 設(shè)設(shè)，為為和和函函數(shù)數(shù), ,定定義義在在收收斂斂域域上上, ,00(2)0;nnnnnna xca xc 與與（）收收斂斂域域相相同同(,)( ).R RS x 在在上上，連連續(xù)續(xù)，可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分，可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)3. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開：0( )()f xf x00()

10、()fxxx 200()()2!fxxx ( )00()()!nnfxxxn( )nRx 泰泰勒勒展展開開式式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )(0)f xf (0)fx 2(0)2!fx ( )(0)!nnfxn 麥麥克克勞勞林林展展開開式式ex 1),(xln(1)xx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn幾幾個(gè)個(gè)常常用用的的麥麥克克勞勞林林展展開開式式11x 231( 1)nnxxxx ) 1, 1(x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2()

11、 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(),(x),(x) 1, 1(x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2題題型型： 求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域111nnnnnna xb x 例例設(shè)設(shè)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與的的收收斂斂半半徑徑分分別別為為2215133nnnnaxb 與與 ，則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑為為（ ）. .21( 1)2nnnnexn 例例冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑為為（ ）. .13(2)15nnnaxxx 例例設(shè)設(shè)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在處處發(fā)發(fā)散散，在在處處收收斂斂，則則該該冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑為為（ ）. .目

12、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4例例求求下下列列冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑和和收收斂斂域域: :15( 3)1)nnnnxn 212)(1)2nnnnnx 213)2 (3)nnnx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3題題型型： 求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)12)(1)nnn nx 13)(21)nnnx 221(21)4)2nnnnx 2115)(1)21nnxn 3571) 2468xxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4題題型型 ：求求數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和1111( )().2nnn 例例級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)22(1)nnn nx 例例求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)，22( 1) ().2nnnnn