教學(xué)隨筆線性規(guī)劃問題探究

1、線性規(guī)劃問題探究線性規(guī)劃問題是高中數(shù)學(xué)教材新增添的內(nèi)容,也是近幾年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中的新成員, 已成為高考的熱點之一 這類試題的特點是：給出幾個條件,求在該條件的制約下目標函數(shù)的最大(小)值或取值范圍解答的一般方法是：畫出可行域，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合圖形的幾何直觀性求解一直線的截距型如果目標函數(shù)為：，則變形為，把看作是直線在縱軸上的截距，把問題轉(zhuǎn)化為求縱軸上的截距的最大(小)值或取值范圍例設(shè)變量、滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（）（a）2（b）3（c）4（d）9【解答】：畫出變量、所滿足的約束條件的可行域，在坐標系中畫出可行域如圖1所示為abc，a(2，0)，b(1，1)，c(3

2、，3)，則目標函數(shù)的最小值為3，選b圖2【評注】本題只是直接考查線性規(guī)劃問題，是一道較為簡單的送分題例2在約束條件下，當時，目標函數(shù)的最大值的變化范圍是（）a. b. c. d. 【解答】：由交點為，（1） 當時可行域是四邊形oabc，此時，（2） 當時可行域是oa此時，故選d【評注】由于有字母參數(shù)，所以解答時，要分類討論二兩點間的距離型如果目標函數(shù)為：，其中，為常數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點與定點之間的距離平方的最值問題例3已知，則的最小值是_. 【解答】：由已知條件，畫出可行域，如圖3，得交點a(1，2)，b(3，4)，表示可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方由圖可知的最小值是三、點與直線間的

3、距離型如果目標函數(shù)形如，可以轉(zhuǎn)化為形式，將問題化歸為求可行域內(nèi)的點到直線的距離的倍的最大(小)值或范圍例4已知實數(shù)滿足，則的最大值是_.【解答】：根據(jù)已知條件，在坐標系中畫出可行域，得三個交點為a(3，0)、b(5，0)、c(1，2)，因為，觀察知點b(5，0)到直線的距離的最大，最大值是四、直線的斜率型：如果目標函數(shù)形如（），則可以變形為的形式，將問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)點與定點連線的斜率的倍的最大(小)值或取值范圍例5已知x和y是正實數(shù)，且滿足約束條件求的最小值是 【解答】：表示可行域內(nèi)的點與定點的斜率畫出可行域，如圖所示，易得點坐標為（3.5，6.5），b點坐標為（6，4），點c的坐標為（3

4、.5，1.5），直線c的斜率取得最小值，故所求的最小值為1例6已知變量滿足約束條件，若目標函數(shù)（其中）僅在點處取得最大值，則的取值范圍為 【解答】： 在坐標系中畫出可行域，如圖5為四邊形abcd，其中a(3，1)，目標函數(shù)（其中）中的z表示斜率為a的直線系中的截距的大小，若僅在點處取得最大值，則斜率應(yīng)小于，即，所以的取值范圍為(1，+)五、求平面區(qū)域的面積關(guān)鍵在于正確作出線性規(guī)劃的可行域的圖形例7在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）(a) (b) (c) (d)【解答】：由題設(shè)畫出可行域如圖6所示為， ，故選擇b【評注】本題考查簡單的線性規(guī)劃的可行域、三角形的面積六、其它例

5、8某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料a和原料b分別為千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料a和原料b分別為千克甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元月初一次性購進本月用原料a、b各千克要計劃本月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克、千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（）（a）（b）（c）（d）【解答】：解答的關(guān)鍵在于理解題意，注意使用原料a和原料b的總量不能分別超過千克且千克和千克都是非負數(shù)故選c例9.雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是(a) (b) (c) (d) 【解答】：雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個三角形區(qū)域時有【點評】：本題考查了雙曲線的漸近線方程以及線性規(guī)劃問題近年來線性規(guī)劃問題已經(jīng)成為高考數(shù)學(xué)考試的一個新熱點，解決這類問題所使用數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一,它是連接代數(shù)和幾何的 “橋梁” 線性規(guī)劃問題的出