歷年高考數(shù)學圓錐曲線試題匯總

1、圓錐曲線解答題解答題1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知橢圓g的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓g上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.(1)求橢圓g的方程(2)求的面積(3)問是否存在圓包圍橢圓g?請說明理由.【解析】（1）設橢圓g的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓g的方程為：. (2 )點的坐標為 （3）若，由可知點（6，0）在圓外， 若，由可知點（-6，0）在圓外； 不論k為何值圓都不能包圍橢圓g.2.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個點。 （i）求得

2、取值范圍； （ii）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標分析：（i）這一問學生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得（）拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以（ii）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點 設四個交點的坐標分別為、。則由（i）根據(jù)韋達定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二

3、次均值類似。 當且僅當，即時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。方法二：利用求導處理，這是命題人的意圖。具體解法略。下面來處理點的坐標。設點的坐標為：由三點共線，則得。以下略。3.（2009浙江理）（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為 （i）求橢圓的方程； （ii）設點在拋物線：上，在點處的切線與交于點當線段的中點與的中點的橫坐標相等時，求的最小值解析：（i）由題意得所求的橢圓方程為， （ii）不妨設則拋物線在點p處的切線斜率為，直線mn的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線mn與橢圓有兩個不同的交點，所以有，設線段mn的中點的橫坐標是，則， 設線段pa的中

4、點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；當時有，因此不等式不成立；因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為14.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點到其焦點的距離為 （i）求與的值； （ii）設拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點若是的切線，求的最小值解析（）由拋物線方程得其準線方程：，根據(jù)拋物線定義點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為。則，當 則。聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為 ，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得

5、：，或，而拋物線在點n處切線斜率：mn是拋物線的切線， 整理得，解得（舍去），或，5.（2009北京文）（本小題共14分） 已知雙曲線的離心率為，右準線方程為。（）求雙曲線c的方程；（）已知直線與雙曲線c交于不同的兩點a，b，且線段ab的中點在圓上，求m的值. 【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）設a、b兩點的坐標分別為，線段ab的中點為， 由得（判別式）, ,點在圓上，.6.（2009北京理）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（）求雙曲

6、線的方程；（）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得，切線與雙曲線c交于不同的兩點a、b，且，且，設a、b兩點的坐標分別為，則，且，. 的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線c交于不同的兩點a、b，且，設a、b兩點的坐標分別為，則， 的大小為.（且，從而當時，方程和方程的判別式均大于零

7、）.7.（2009江蘇卷）（本題滿分10分）在平面直角坐標系中，拋物線c的頂點在原點，經(jīng)過點a（2，2），其焦點f在軸上。（1）求拋物線c的標準方程；（2）求過點f，且與直線oa垂直的直線的方程；（3）設過點的直線交拋物線c于d、e兩點，me=2dm，記d和e兩點間的距離為，求關于的表達式?！窘馕觥?必做題本小題主要考查直線、拋物線及兩點間的距離公式等基本知識，考查運算求解能力。滿分10分。 8.(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設橢圓e: （a,b>0）過m（2，） ，n(,1)兩點，o為坐標原點，（i）求橢圓e的方程；（ii）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓

8、e恒有兩個交點a,b,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓e: （a,b>0）過m（2，） ，n(,1)兩點,所以解得所以橢圓e的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, 則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且.因為

9、,所以, 當時因為所以,所以,所以當且僅當時取”=”. 當時,. 當ab的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |ab |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系.9. (2009山東卷文)（本小題滿分14分）設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,動點的軌跡為e.（1）求軌跡e的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; （2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡e恒有兩個交點a,b,且(o為坐

10、標原點),并求出該圓的方程;(3)已知,設直線與圓c:(1<r<2)相切于a1,且與軌跡e只有一個公共點b1,當r為何值時,|a1b1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因為,所以, 即. 當m=0時,方程表示兩直線,方程為;當時, 方程表示的是圓當且時,方程表示的是橢圓; 當時,方程表示的是雙曲線.(2).當時, 軌跡e的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡e恒有兩個交點a,b, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當切線的斜率不存在時,切線為,與

11、交于點或也滿足.綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a,b,且.(3)當時,軌跡e的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓c:(1<r<2)相切于a1, 由（2）知, 即 ,因為與軌跡e只有一個公共點b1,由（2）知得,即有唯一解則=, 即, 由得, 此時a,b重合為b1(x1,y1)點, 由 中,所以, b1(x1,y1)點在橢圓上,所以,所以,在直角三角形oa1b1中,因為當且僅當時取等號,所以,即當時|a1b1|取得最大值,最大值為1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關系,以及直線與橢圓的位置關系,可以通過解方程組法研究有沒有交

12、點問題,有幾個交點的問題.10.（2009江蘇卷）（本小題滿分16分） 在平面直角坐標系中，已知圓和圓.（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設p為平面上的點，滿足：存在過點p的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點p的坐標?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數(shù)學運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。(1)設直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點到直線距離公式，得： 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設點p坐標為，直線、的方程分別為：

13、，即：因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。 故有：，化簡得：關于的方程有無窮多解，有： 解之得：點p坐標為或。11.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓c: 的離心率為 ，過右焦點f的直線l與c相交于a、b 兩點，當l的斜率為1時，坐標原點o到l的距離為（）求a,b的值；（）c上是否存在點p，使得當l繞f轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的p的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關關系式計算，第二問利用向量坐標關系及

14、方程的思想，借助根與系數(shù)關系解決問題，注意特殊情況的處理。解：（）設 當?shù)男甭蕿?時，其方程為到的距離為 故 ， 由 得 ，=（）c上存在點，使得當繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立。由 （）知c的方程為+=6. 設 () c 成立的充要條件是， 且整理得 故 將 于是 , =, 代入解得，此時 于是=， 即 因此， 當時， ； 當時， 。（）當垂直于軸時，由知，c上不存在點p使成立。綜上，c上存在點使成立，此時的方程為.12.（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）已知曲線與直線交于兩點和，且記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設點是上的任一點，且點與點和點均不重合（1）若點是線

15、段的中點，試求線段的中點的軌跡方程； （2）若曲線與有公共點，試求的最小值解：（1）聯(lián)立與得，則中點，設線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，中點的軌跡方程為（）.xaxbd （2）曲線，即圓：，其圓心坐標為，半徑由圖可知，當時，曲線與點有公共點；當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.13.（2009安徽卷理）（本小題滿分13分） 點在橢圓上，直線與直線垂直，o為坐標原點，直線op的傾斜角為，直線的傾斜角為.（i）證明: 點是橢圓與直線的唯一交點； （ii）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解：本小題主要考查直線和橢圓的標

16、準方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎知識?？疾榫C合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。解：（i）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點p. (方法二)顯然p是橢圓與的交點，若q是橢圓與的交點，代入的方程，得即故p與q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點p處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點p處的切線。 根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，p是橢圓與直線的唯一交點。（ii）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。14.（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓（ab0）的離心率為，以原點為圓心。橢圓短半軸長半

17、徑的圓與直線y=x+2相切，（）求a與b； （）設該橢圓的左，右焦點分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交與點p.求線段p垂直平分線與的交點m的軌跡方程，并指明曲線類型?！舅悸贰浚?）由橢圓建立a、b等量關系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出a、b.（2）依據(jù)幾何關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了?！窘馕觥浚?）由于 又 b2=2,a2=3因此，. （2）由（1）知f1，f2兩點分別為（-1，0），（1,0），由題意可設p（1，t）.（t0）.那么線段pf1中點為，設m(x、y)是所求軌跡上的任意點.由于則消去參數(shù)t得,其軌跡為拋物線（除原點）15.（2009江西卷文）（本小

18、題滿分14分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點. （1）求圓的半徑;（2）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，g證明：直線與圓相切 解: （1）設，過圓心作于,交長軸于由得,即 (1) 而點在橢圓上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 設過點與圓相切的直線方程為: (3)則,即 (4)解得將(3)代入得,則異于零的解為設,，則則直線的斜率為：于是直線的方程為: 即則圓心到直線的距離 故結(jié)論成立.16.（2009江西卷理）（本小題滿分12分）已知點為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于. (1) 求線段的中點

19、的軌跡的方程;(2) 設軌跡與軸交于兩點,在上任取一點,直線分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點.解： (1) 由已知得,則直線的方程為:, 令得,即,設,則,即代入得:,即的軌跡的方程為. (2) 在中令得,則不妨設,于是直線的方程為:,直線的方程為:,則,則以為直徑的圓的方程為: ,令得:,而在上,則,于是,即以為直徑的圓過兩定點.17.（2009天津卷文）（本小題滿分14分）已知橢圓（）的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點a,b兩點，且（求橢圓的離心率（）直線ab的斜率；（）設點c與點a關于坐標原點對稱，直線上有一點h(m,n)()在的外接圓上，求的值?！敬鸢浮浚?）（2）（

20、3）【解析】 （1）解：由，得,從而，整理得，故離心率（2）解：由（1）知，所以橢圓的方程可以寫為設直線ab的方程為即由已知設則它們的坐標滿足方程組 消去y整理，得依題意，而，有題設知，點b為線段ae的中點，所以聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達定理中解得(3)由（2）知，當時，得a由已知得線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為直線的方程為，于是點滿足方程組由，解得，故當時，同理可得【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程，圓的方程等基礎知識?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力。18.(2009湖北

21、卷理)（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于m、n兩點，自m、n向直線作垂線，垂足分別為、。 （）當時，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。20題。本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力。（14分）解：依題意，可設直線mn的方程為，則有 由消去x可得 從而有 于是 又由，可得 （）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線此時 可得證法1： 證法2： ()存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：證法1：記直線與

22、x軸的交點為,則。于是有 將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意成立 證法2：如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過原點o，同理可證直線也經(jīng)過原點o又設則19.（2009四川卷文）（本小題滿分12分） 已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（i）求橢圓的標準方程；（ii）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程?！窘馕觥浚╥）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 4分（ii）由（i）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設直線直線的斜率為，則直線的方程為，設、，聯(lián)立，消元得 ， ， 又 化簡得解得 所求直線的方程為 12分20.（2

23、009全國卷理）（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，過右焦點f的直線與相交于、兩點，當?shù)男甭蕿?時，坐標原點到的距離為 （i）求，的值； （ii）上是否存在點p，使得當繞f轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的p的坐標與的方程；若不存在，說明理由。解:(i）設，直線，由坐標原點到的距離為 則，解得 .又.（ii）由(i）知橢圓的方程為.設、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設 代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達定理有：.假設存在點p，使成立，則其充要條件為：點，點p在橢圓上，即。整理得。 又在橢圓上，即.故將及代入解得,=,即.當;當.評析：處理解析幾何題，學生主要是在“算”上的功

24、夫不夠。所謂“算”，主要講的是算理和算法。算法是解決問題采用的計算的方法,而算理是采用這種算法的依據(jù)和原因,一個是表,一個是里,一個是現(xiàn)象,一個是本質(zhì)。有時候算理和算法并不是截然區(qū)分的。例如：三角形的面積是用底乘高的一半還是用兩邊與夾角的正弦的一半，還是分割成幾部分來算？在具體處理的時候，要根據(jù)具體問題及題意邊做邊調(diào)整，尋找合適的突破口和切入點。21.（2009湖南卷文）（本小題滿分13分） 已知橢圓c的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為q）.（）求橢圓c的方程;（）設點p是橢圓c的左準線與軸的交點，過點p的直線與橢圓c相交于m,n兩點

25、，當線段mn的中點落在正方形q內(nèi)（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。解: （）依題意，設橢圓c的方程為焦距為，由題設條件知， 所以 故橢圓c的方程為 .（）橢圓c的左準線方程為所以點p的坐標，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設點m，n的坐標分別為線段mn的中點為g， 由得. 由解得. 因為是方程的兩根，所以，于是 =， .因為，所以點g不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即 解得，此時也成立. 故直線斜率的取值范圍是22.（2009福建卷理）（本小題滿分13分）已知a,b 分別為曲線c： +=1（y0,a>0）與x軸的左、

26、右兩個交點，直線過點b,且與軸垂直，s為上異于點b的一點，連結(jié)as交曲線c于點t.(1)若曲線c為半圓，點t為圓弧的三等分點，試求出點s的坐標；（ii）如圖，點m是以sb為直徑的圓與線段tb的交點，試問：是否存在,使得o,m,s三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。 19.【解析】解法一：()當曲線c為半圓時，如圖，由點t為圓弧的三等分點得bot=60°或120°.(1)當bot=60°時, sae=30°.又ab=2,故在sae中,有 (2)當bot=120°時,同理可求得點s的坐標為,綜上, ()假設存在,使得o,m,s三點共

27、線.由于點m在以sb為直線的圓上,故.顯然,直線as的斜率k存在且k>0,可設直線as的方程為.由設點故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗,當時,o,m,s三點共線. 故存在,使得o,m,s三點共線.解法二:()同解法一.()假設存在a,使得o,m,s三點共線.由于點m在以so為直徑的圓上,故.顯然,直線as的斜率k存在且k>0,可設直線as的方程為由設點,則有故由所直線sm的方程為o,s,m三點共線當且僅當o在直線sm上,即.故存在,使得o,m,s三點共線.23.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）已知，橢圓c以過點a（1，），兩個焦點為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓c的

28、方程；（2） e,f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個定值。 (22)解：（）由題意，c1,可設橢圓方程為。 因為a在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 4分（）設直線方程：得，代入得 設（，），（，）因為點（1，）在橢圓上，所以， 。8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線ef的斜率。即直線ef的斜率為定值，其值為。 12分24.（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知，橢圓c過點a，兩個焦點為（1，0），（1，0）。（3） 求橢圓c的方程； （4） e,f是橢圓c上的兩個動

29、點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個定值。（20）解：（）由題意，c=1,可設橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設直線ae方程為：，代入得 設,因為點在橢圓上，所以 8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以k代k，可得所以直線ef的斜率即直線ef的斜率為定值，其值為。 12分25.（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分） 已知橢圓c的中心為直角坐標系xoy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.（）求橢圓c的方程；（）若p為橢圓c上的動點，m為過p且垂直于x軸的直線上的點，=，求點m的軌跡

30、方程，并說明軌跡是什么曲線。 解:()設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得， 所以橢圓的標準方程為 （）設，其中。由已知及點在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時?；喌?所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時，方程變形為，其中當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；26.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知雙曲線c的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。 （i） 求雙曲線c的方程；(ii)如圖，p是雙曲線c上一點，a，b兩點在雙曲線c的兩條漸近線上

31、，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。解析：解法1（）由題意知，雙曲線c的頂點（0，a）到漸近線，所以所以由所以曲線的方程是（）由（）知雙曲線c的兩條漸近線方程為設由將p點的坐標代入因為又所以記則由又s（1）=2，當時，面積取到最小值，當當時，面積取到最大值所以面積范圍是解答2（）由題意知，雙曲線c的頂點（0，a）到漸近線，由所以曲線的方程是.（）設直線ab的方程為由題意知由由將p點的坐標代入得設q為直線ab與y軸的交點，則q點的坐標為（0，m）=以下同解答127.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分）已知雙曲線c的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。（i）求雙曲線c的方程； (

32、ii)如圖，p是雙曲線c上一點，a，b兩點在雙曲線c的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。 28（本小題滿分14分）已知雙曲線c的方程為 離心率頂點到漸近線的距離為（）求雙曲線c的方程；（）如圖，p是雙曲線c上一點，a,b兩點在雙曲線c的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限.若求aob面積的取值范圍.解答一（）由題意知，雙曲線c的頂點到漸近線由 得 雙曲線c的方程為（）由（）知雙曲線c的兩條漸近線方程為設 由得p點的坐標為將p點坐標代入化簡得設aob又記由當時，aob的面積取得最小值2，當時，aob的面積取得最大值aob面積的取值范圍是解答二（）同解答一 （）設直線ab

33、的方程為由題意知 由 得a點的坐標為 由 得b點的坐標為 由得p點的坐標為 將p點坐標代入設q為直線ab與y軸的交點，則q點的坐標為（0，m）. = 以下同解答一.29.（2009四川卷文）（本小題滿分12分） 已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（i）求橢圓的標準方程；（ii）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程?！窘馕觥浚╥）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 4分（ii）由（i）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設直線直線的斜率為，則直線的方程為，設、，聯(lián)立，消元得 ， ， 又 化簡得解得 所求直線的方程為 12分

34、30.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于a、b、c、d四個點。（）求r的取值范圍（）當四邊形abcd的面積最大時，求對角線ac、bd的交點p的坐標。解：（）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得（1）拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根即。解這個方程組得.（ii） 設四個交點的坐標分別為、。則由（i）根據(jù)韋達定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 當且僅當，即時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。法2：設四個交點的坐標分別為、則直線ac、bd的方程分別為解得點p的坐標為。設，由及（）得 由于四

35、邊形abcd為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當時，；當時；當時，故當且僅當時，有最大值，即四邊形abcd的面積最大，故所求的點p的坐標為。 31.（2009湖北卷文）（本小題滿分13分）如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點f的直線與拋物線相交于m、n兩點，自m、n向準線l作垂線，垂足分別為m1、n1 ()求證：fm1fn1:()記fmm1、fm1n1、fn n1的面積分別為s1、s2、，s3，試判斷s224s1s3是否成立，并證明你的結(jié)論。 本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力（滿

36、分13分）（1） 證法1：由拋物線的定義得 2分如圖，設準線l與x的交點為 而即故證法2：依題意，焦點為準線l的方程為設點m,n的坐標分別為直線mn的方程為，則有由 得于是，故（）成立，證明如下：證法1：設，則由拋物線的定義得，于是 將與代入上式化簡可得 ，此式恒成立。故成立。證法2：如圖，設直線m的傾角為，則由拋物線的定義得于是在和中，由余弦定理可得由（i）的結(jié)論，得即，得證。32.（2009寧夏海南卷文）(本小題滿分12分)已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個項點到兩個焦點的距離分別是7和1（i） 求橢圓的方程（ii） 若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（e為橢

37、圓c的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（20）解：（）設橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 所以橢圓c的方程為 （）設m（x,y）,p(x,),其中由已知得而，故 由點p在橢圓c上得 代入式并化簡得所以點m的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段. 33.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）在平面直角坐標系xoy中，點p到點f（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當p點運動時，d恒等于點p的橫坐標與18之和 （）求點p的軌跡c； （）設過點f的直線i與軌跡c相交于m，n兩點，求線段mn長度的最大值。 解（）設點p的坐標為（x，y

38、），則3x-2由題設 當x>2時，由得 化簡得 當時 由得 化簡得 故點p的軌跡c是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是a（2，），b（2，），直線af，bf的斜率分別為=，=.當點p在上時，由知. 當點p在上時，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當k，或k，即k-2 時，直線i與軌跡c的兩個交點m（，），n（，）都在c 上，此時由知mf= 6 - nf= 6 - 從而mn= mf+ nf= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個方

39、程的兩根，所以+=*mn=12 - （+）=12 - 因為當 當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線l與軌跡c的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則知， 設直線af與橢圓的另一交點為e 所以。而點a，e都在上，且 有（1）知 若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段mn長度的最大值為35.（2009天津卷理）（本小題滿分14分） 以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。（1） 求橢圓的離心率； （2） 求直線ab的斜率； （3） 設點c與點a關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎知識，

40、考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力，滿分14分（i） 解：由/且，得，從而 整理，得，故離心率 （ii） 解：由（i）得，所以橢圓的方程可寫為 設直線ab的方程為，即. 由已知設，則它們的坐標滿足方程組消去y整理，得.依題意，而 由題設知，點b為線段ae的中點，所以 聯(lián)立解得， 將代入中，解得.(iii)解法一：由（ii）可知 當時，得，由已知得.線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點h（m，n）的坐標滿足方程組 ， 由解得故當時，同理可得. 解法二：由（ii）可知當時，得,由已知得 由橢圓的對

41、稱性可知b，c三點共線，因為點h（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形. 由直線的方程為,知點h的坐標為.因為，所以，解得m=c（舍），或.則，所以. 當時同理可得 36.（2009四川卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（i）求橢圓的標準方程；（ii）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理運算能力。 解：（）有條件有，解得。 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設

42、、， . ,與題設矛盾。 直線l的斜率存在。 設直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。設、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關系知，從而，又，。 ?；喌媒獾?37.（2009福建卷文）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點a和上頂點d，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。 （i）求橢圓的方程； （）求線段mn的長度的最小值； （）當線段mn的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由解法一：（i）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為（）直線as的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而由得0設則得，從而 即又由得故又 當且僅當，即時等號成立 時，線段的長度取最小值（）由（）可知，當取最小值時， 此時的方程為 要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線