平面及其方程PPT課件

1、6.4 平面及其方程平面及其方程 6.4.1 1 平面方程平面方程6.4.2 兩平面間的夾角兩平面間的夾角6.4.3 點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離 一個(gè)平面的法向量有無窮一個(gè)平面的法向量有無窮多個(gè)多個(gè), 它們之間都是相互平行它們之間都是相互平行的的6.4.1 平面方程平面方程 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量該平面的法線向量設(shè)平面設(shè)平面 的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量),(cban 且平面過點(diǎn)且平面過點(diǎn)m0(x0, y0, z0).下面建立平面有下面建立平面有 的方程的方程xyzo0mmn1 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 0000(

2、,)m mxxyyzz000()()()0a xxb yyc zz平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面平面 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)m (x, y, z)的坐標(biāo)都滿足上面的的坐標(biāo)都滿足上面的方程方程, 而當(dāng)點(diǎn)而當(dāng)點(diǎn)m (x, y, z) 不不在平面在平面 上時(shí)上時(shí), 點(diǎn)點(diǎn)m (x, y, z)的坐標(biāo)不滿足該的坐標(biāo)不滿足該方程方程設(shè)設(shè)m (x, y, z)是平面是平面 上的任一點(diǎn)上的任一點(diǎn)nmm 000 nmm(6.15)xyzo0mmn 例例1 設(shè)一平面過點(diǎn)設(shè)一平面過點(diǎn)m0(1, 0, 2)平面的法向量為平面的法向量為求此平面方程求此平面方程.解解 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面方程為根據(jù)平面的點(diǎn)

3、法式方程，得所求平面方程為(1)2(0)3(2)0,xyz即即2350.xyz(1,2,3),n2 平面的一般方程平面的一般方程 由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyax0 dczbyax反之，三元一次方程反之，三元一次方程0 dczbyax 表示一平面。表示一平面。這是因?yàn)椋哼@是因?yàn)椋阂陨蟽墒较鄿p以上兩式相減 , , 得平面的點(diǎn)法式方程得平面的點(diǎn)法式方程為為平面的一般平面的一般方程方程.任取一組滿足上述方程的數(shù)任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則則0)()()(000zzcyybxxa0000dzcybxa顯然方程

4、顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià)與此點(diǎn)法式方程等價(jià), , ),(cban 的平面的平面, ,此方程稱此方程稱因此方程因此方程的的圖形是圖形是法向量為法向量為 平面方程的幾種特殊情況：平面方程的幾種特殊情況：(1) d = 0, 平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2) a = 0, 平面平行于平面平行于x 軸；軸；(3) a = b = 0, 平面平行于平面平行于xoy 面或垂面或垂直于直于z 軸；軸；(4) a = d = 0, 平面通過平面通過x 軸軸.oxyzax+by+cz = 0oxyzoby+cz+d = 0oxyzcz +d = 0oxyzby+cz = 0解解12(1,1,3)，m

5、 m所求平面方程為所求平面方程為化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得例例2求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)1(1,0, 1),m2(2,1,2)和m3( 1,1, 4)m的平面方程的平面方程.取取( 6, 3,3)，-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=02x+ 3y- 3z- 3=0.13( 2,1, 3) ，m m1213nm mm m例例3 一平面一平面過兩個(gè)點(diǎn)過兩個(gè)點(diǎn)m1(1,-5,1)及及m2(3,2,-2),),且平行于且平行于y 軸軸, ,求其方程求其方程. .52dc ,53da 解解由于所求平面由于所求平面與與y 軸平行軸平行, ,故其方程的故其方程的形式形式設(shè)為設(shè)為ax+cz+d=0, , 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)m1

6、 和和m2 都在都在上上, , 其坐標(biāo)其坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)當(dāng)滿足的方程的方程, ,將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入到這個(gè)方將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入到這個(gè)方方程中方程中, ,得到得到, ,a+c+d=0,=0,3a-2c+d=0,=0,解這個(gè)方程組解這個(gè)方程組, ,得得將這個(gè)結(jié)果代入到平面方程中將這個(gè)結(jié)果代入到平面方程中, ,得得3x+2z- - 5 = 0.= 0.3 平面的截距式方程平面的截距式方程設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc ,ada ,bdb ,cdc 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax

7、xyzo（通常取銳角）（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa),(1111cban ),(2222cban 6.4.2 兩平面間的夾角兩平面間的夾角1 1n2 2n 設(shè)設(shè)由兩向量夾角余弦公式有由兩向量夾角余弦公式有121212222222111222|cosa ab bc cabcabc 特殊的：特殊的：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 例例4 解解 由兩平面夾角的余弦公式得由兩平面夾角的余弦公式得222222|1 2(

8、4)211 |2cos21( 4)1221 （）（）（） （）.4 因此，所求角因此，所求角求兩平面求兩平面x-4-4y+ +z-2=0-2=0與與2 2x-2-2y- -z-5=0-5=0的夾角的夾角.6.4.3 點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離|pr|01ppjdn nn0p ),(10101001zzyyxxpp 1p 設(shè)設(shè)p0(x0, y0, z0)是平面是平面 ax+by+cz+d = 0外一點(diǎn)外一點(diǎn), 求求p0到平面的距離到平面的距離.在平面上任取在平面上任取p1(x1, y1, z1), 則則 p| |cos|ndprj pp |.|p np npp nn 000222|.axbyc

9、zddabc 于是得到點(diǎn)到平面距離公式于是得到點(diǎn)到平面距離公式由于由于p1(x1, y1, z1)在平面上在平面上, 故故 ax1+by1+cz1+d = 0p n a(x1 x0)+b(y1 y0) +c(z1 z0)= ax1 + by1 + cz1 a x0 by0 cz0= a x0 by0 cz0 d例例5 求點(diǎn)求點(diǎn)p0 (- -1,2,3)到平面到平面x+2y- -2z- -6= 0的距離的距離. .解解由點(diǎn)到平面的距離公式得由點(diǎn)到平面的距離公式得 d222)2(21|63222) 1(1 | = 3求 過 點(diǎn)求 過 點(diǎn))1 , 1 , 1(， 且 垂 直 于 平 面， 且 垂 直

10、 于 平 面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程. 練習(xí)練習(xí)1練習(xí)練習(xí)2 求通過求通過 x軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)) 1, 3, 4(的平面方程的平面方程. 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn))2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. 練習(xí)練習(xí)3練習(xí)練習(xí)4121110 110.mmxyz一一平平面面通通過過兩兩點(diǎn)點(diǎn)（ ， ， ）和和（ ， ， ）且且垂垂直直于于平平面面，求求它它的的方方程程練習(xí)練習(xí)5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個(gè)坐而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面

11、方程. .求 過 點(diǎn)求 過 點(diǎn))1 , 1 , 1(， 且 垂 直 于 平 面， 且 垂 直 于 平 面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程. ),1 , 1, 1 (1n)12, 2, 3(2n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10(, 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解練習(xí)練習(xí)1練習(xí)練習(xí)2 求通過求通過x軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)) 1, 3, 4(的平面方程的平面方程.解解 由于平面通過由于平面通過x軸，從而它的法線向量垂直軸，從而它的法線向量垂直軸，軸，于于x于是法線向量在于是法線向量在x軸上的投影為零，軸

12、上的投影為零，；即即0a又由平面通過又由平面通過x軸，它必須通過原點(diǎn)，軸，它必須通過原點(diǎn)，. 0d于是于是因此可設(shè)這平面的方程為因此可設(shè)這平面的方程為. 0czby，得，得代入點(diǎn)代入點(diǎn)) 1, 3, 4(.3bc代入所設(shè)方程并除以代入所設(shè)方程并除以）（0bb得所求方程為得所求方程為. 03 zy由平面過點(diǎn)由平面過點(diǎn)(6, 3, 2)知知 設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)平面過原點(diǎn)及點(diǎn))2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. 練習(xí)練習(xí)3設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知 d =00236 cba(4, 1,2),n420abc

13、2,3abc . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解于是于是 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個(gè)坐而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程. 練習(xí)練習(xí)4設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyax1,v 1 11,3 2abc得得 由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba 解解oxyzabc,61161cba 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得令令tcba 611611,6at,1tb ,61tc 11 1 116 66t tt 1,6t 1,6,1,abc. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為代入體積代入體積于是于是.011011121，求求它它的的方方程程且且垂垂直直于于平平面面），（）和和，（一一平平面面通通過過兩兩點(diǎn)點(diǎn)zyxmm練習(xí)練習(xí)5 解解設(shè)所求平面得一個(gè)法線向量為設(shè)所求平面得一個(gè)法線向量為).,(cban 20.(1)ac又因所求的平面垂直于已知平面又因所求的平面垂直于已知平面, 0zyx所以有所以有0(2)abc，12( 1,0, 2)m mn因因在