概率論數(shù)字特征

1、第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望第二節(jié)：方差第二節(jié)：方差第三節(jié)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)第三節(jié)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量布，如果知道了隨機(jī)變量X的的概率分布概率分布，那么，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只

2、要知道它的某些數(shù)字特征數(shù)字特征就夠了就夠了.例：例： 在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的 是是平均產(chǎn)量平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度；度的偏離程度； 考察南寧市居民的家庭收入情況，我們既知考察南寧市居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年家庭的年平均收入平均收入，又要研究，又要研究貧富之間的差貧富之間的差異程度；異程度； 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的

3、字特征是重要的 .而而所謂的數(shù)字特征就是用數(shù)字表所謂的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)小結(jié)小結(jié)引例引例：某：某7人的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)槿说臄?shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0，85，85，80，80， 75，60，則他們的平均成績(jī)?yōu)?，則他們的平均成績(jī)?yōu)?085 280 27560

4、71221190858075607777779.3以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義定義1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,請(qǐng)注意請(qǐng)注意 :離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望期望，又稱為，又稱為均值均值。1kkkEXx p若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1kkkpx絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 1kkkpxEX即的和為的和為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 ,記為記

5、為 ,例例1、（0-10-1）分布的數(shù)學(xué)期望）分布的數(shù)學(xué)期望X服從服從0-1分布分布，其概率分布為，其概率分布為XP0 11-p p若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的0-1分布，分布， 則則EX= p0 (1)1EXppp ( , ),.XB n pEX設(shè)求例例2 2(1),0,1,2,kkn knXP XkC ppkn解的分布率為11111111!(1)(1)!()!(1)!()!(1)!(1)(1)(1)!()!nnkn kkn kkknnkn kllnlnklXnnEXkppppk n kkn knnpppnpCppkn knp 的數(shù)學(xué)期望為0(1)(1)nnkkn knkppC p

6、p( ),.XPEX設(shè)求例例3 30, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的的分分布布率率為為解解101!(1)!kkkkXeEXkee ekkEX的數(shù)學(xué)期望為即例例4 4,21XX所得分?jǐn)?shù)分別記為所得分?jǐn)?shù)分別記為甲、乙二人進(jìn)行打靶，甲、乙二人進(jìn)行打靶，它們的分布率分別為它們的分布率分別為 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望，和和解解：我我們們先先來來算算21XX120 0 1 0.22 0.81.8(0 0.6 1 0.32 0.10.5(EXEX 分）分）試比較甲、乙兩人的技術(shù)那個(gè)好試比較甲、乙兩人的技術(shù)那個(gè)好例例5 (P

7、92) 5 (P92) 一批零件中9件合格品和3件廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一件。如果取出的廢品不再放回去，求取出合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解解設(shè)X表示取出合格品以前取出的廢品數(shù)，則X所有可能取值為0,1,2,3。于是93990,1,1212114432992,1211 102203219131211 109220P XP XP XP X則X的期望為399130123.44422022010EX 定義定義2 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 p(x),如果積分如果積分( )xp x dx絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,則稱此積分值為則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期

8、望的數(shù)學(xué)期望, 即即( )EXxp x dx請(qǐng)注意請(qǐng)注意 : : 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分的積分. .二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望( , ),.XU a bEX設(shè)求例例7 71( )0Xaxbp xba解的概率密度為其它( )2baXxabEXxp x dxdxba的數(shù)學(xué)期望為.),(的的中中點(diǎn)點(diǎn)即即數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望位位于于區(qū)區(qū)間間ba( ),.XEEX設(shè)求例例8 8-0-000-0( ).-+1-xxxxxXEXxp x dxxedxxdexeedxe解的數(shù)學(xué)期望為1.即指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為參數(shù) 分之 例例

9、9 9,100010001200 .XX設(shè)某型號(hào)電子管的壽命 服從指數(shù)分布 其平均壽命為小時(shí)，計(jì)算P100010,( )100000,xexp xx解解 由題意知由題意知 ，則，則 ，于是，于是120011.2100010001200( )0.0667.PXp x dxee于是11000EX11000 例例1010其其概概率率密密度度為為服服從從同同一一指指數(shù)數(shù)分分布布它它們們的的壽壽命命裝裝置置個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立工工作作的的電電子子有有,)2 , 1(,2 kXk10,( )000,xexp xx若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)求整機(jī)壽命壽命(以

10、小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì)) N 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解12min(,)NXX 0001)(11)(22minxxexFxFx 2min20( )00 xNexpxx于是 的概率密度為2min02( )2xxENxpx dxedx的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)

11、算呢？那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間 g( (X X) )也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X X的分布求出來的分布求出來. . 一旦一旦我們知道了我們知道了g g( (X X) )的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把E E g g( (X X) )計(jì)算出來計(jì)算出來. . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用

12、這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的的分布，一般是比較復(fù)雜的分布，一般是比較復(fù)雜的 .(1) 當(dāng)當(dāng)X為離散型時(shí)為離散型時(shí),它的分布率為它的分布率為PX= xk=pk ;絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk1 ()()kkkEYE g Xg xp(2) 當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)為連續(xù)型時(shí),它它的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為p(x).若若( ) ( )g x p x dx絕對(duì)收斂，則有 ()( ) ( )EYE g Xg x p x dx定理定理 設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù):Y=g (X) (g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))1(), ()( ) ( ),kkkg x

13、pXEYE g Xg x p x dxX離散型連續(xù)型 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.)(,(,是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量設(shè)設(shè)gYXgZYXZ 則則是一維隨機(jī)變量是一維隨機(jī)變量,Z(1)(, ),( , ),X Yx y若是二維連續(xù)型 概率密度為p則有 (, )( , ) ( , )EZE g X Yg x y p x y dxdy 則則有有概概率率分分布布為為

14、是是二二維維離離散散型型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji11 (, )( ,)ijijjiEZE g X Yg x yp.積分或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂積分或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂這里假定上兩式右邊的這里假定上兩式右邊的密密度度即即具具有有概概率率上上服服從從均均勻勻分分布布在在設(shè)設(shè)風(fēng)風(fēng)速速,), 0(aV10( )0vap va其它.), 0(:2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望求求常數(shù)常數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是是壓力壓力又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正WkkVWVW 222011( )3aEWkv p v dvkvdvkaa解：由上面的公式解：由上面的公式3()3()aXaYg XXaX

15、Xa400020002611( )( )(4)320002000170004 10,1000aXaEYg x px dxxadxadxaa 設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X（噸）它在2000,4000上服從均勻分布，每售出這種商品1噸，可為企業(yè)掙得3萬元，但假如銷售不出而囤積于倉庫，則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬元，問：需要組織多少貨源，才能使企業(yè)效益最大？解設(shè)需要組織的貨源為 噸，則 ，Y表示2000,4000aa企業(yè)的收益（萬元），則由題得因此，對(duì)EY求導(dǎo)，得12700001000EXa 于是 ，EY達(dá)到最大值8250，因此組織3500噸3500a 此種商品是最佳的決策。例例1313E(-

16、3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdx2,( , )( , )0,x yAp x y其它；解：0 xy01 yx 設(shè)設(shè)(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域A上服從均勻分布，其中上服從均勻分布，其中A為為x軸，軸，y軸和直線軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY。 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);11:nniiiiEXEX

17、推廣11:nniiiiEXEX推廣（諸（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意請(qǐng)注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立。和和來證性質(zhì)來證性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們，性質(zhì)性質(zhì)4321,( , ).( ),( ),XYX Yp x ypxpy證：設(shè)二維隨機(jī)變量（）的概率密度其邊緣概率密度為于是有()() ( , )( , )( , )3E XYxy p x y dxdyxp x y dxdyyp x y dxdyEXEY 性質(zhì) 得證。, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立又若又若YX()( , )( )( )4.XyE XYxyp x y dxdyxypx p

18、y dxdy EX EY 性質(zhì) 得證五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例例8 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望若若 XB(n,p)，則則X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中的重貝努里試驗(yàn)中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù).現(xiàn)在我們來求現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 . 可見，服從參數(shù)為可見，服從參數(shù)為n和和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 n p. XB(n,p), 若設(shè)若設(shè)則則 X= X1+X2+Xn= np10iiXi如第 次試驗(yàn)成功如第 次試驗(yàn)失敗i=1,2，n因?yàn)橐驗(yàn)?P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p1niiEX所以所以 E(X

19、)=則則X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中的重貝努里試驗(yàn)中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù).E(Xi)= )1 (01pp= p例、例、 解解 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量則則 X= X1+X2+XM10iiXi若第 個(gè)盒子中有球若第 個(gè)盒子中無球，i=1,2,，M所以所以 EX=將將n個(gè)球放入個(gè)球放入M個(gè)盒子中，設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)個(gè)盒子中，設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。EXi = -11-nMM=1-1=1-.nMiiMEXMM六、小結(jié)六、小結(jié) 這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的

20、平均水平，是隨機(jī)變量它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個(gè)重要的數(shù)字特征：量另一個(gè)重要的數(shù)字特征：方差方差第二節(jié)第二節(jié) 方差方差方差的定義方差的定義方差的計(jì)算方差的計(jì)算方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)小結(jié)小結(jié) 上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平平均水平，是隨機(jī)變，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是

21、不夠的.：的射擊水平由下表給出甲、乙兩人射擊，他們：甲擊中的環(huán)數(shù)；X：乙擊中的環(huán)數(shù)；YX 8 9 10 P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 平較高？試問哪一個(gè)人的射擊水比較兩個(gè)人的平均環(huán)數(shù)91 . 0108 . 091 . 08EX94 . 0102 . 094 . 08EY。，而乙射手則較為分散環(huán)分集中在均值甲射手射擊大部是有差異的的，但兩個(gè)人射擊技術(shù)是一樣，甲乙兩人的射擊水平因此，從平均環(huán)數(shù)上看9 由此可見由此可見,研究研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十是十分必要的分必要的.那么那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢用怎樣的量去

22、度量這個(gè)偏離程度呢?容易容易看到看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的方差方差E XEX 能度量隨機(jī)變量與其均值能度量隨機(jī)變量與其均值EX的偏離程度的偏離程度. 但由于但由于上式帶有絕對(duì)值上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便運(yùn)算不方便,通常用量通常用量2 EXEX來度量隨機(jī)變量來度量隨機(jī)變量X與其均值與其均值EX的偏離程度的偏離程度.一、方差的定義一、方差的定義 設(shè)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若是一個(gè)隨機(jī)變量，若EX-EX2存在存在 , 稱稱EX-EX2為為 X 的方差的方差. 記為記為DX或或Var(X)，即，即()DXXXX方差的算術(shù)平方根稱為 的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差記為，它與

23、具有相同的量綱。DX=Var(X)=EX-EX2若若X的取值比較分散，則方差的取值比較分散，則方差DX較大較大. 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度離散程度 .若若X的取值比較集中，則方差的取值比較集中，則方差DX較小；較??；因此，因此，DX是刻畫是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量量X取值分散程度的一個(gè)尺度。取值分散程度的一個(gè)尺度。X為離散型，為離散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量由定義知，方差是隨機(jī)變量 X 的函數(shù)的函數(shù) g(X)=X-EX2 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 .212,( )

24、,kkkxEXpDXxEXp x dx二、方差的計(jì)算二、方差的計(jì)算X為連續(xù)型，為連續(xù)型，X概率密度概率密度p(x)計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式 DX=EX2-EX2 展開展開證：證：DX=EX-EX2=EX2-2XEX+EX2=EX2-2EX2+EX2=EX2-EX2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)例例1設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有具有(01）分布，其分布率為）分布，其分布率為pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解0 (1)1EXppp 2220(1) 1EXppp由公式由公式222(1)DXEXEXpppp因此因此,0-1分布分布,(1)EXp DXpp例例2( ).XPDX設(shè)，

25、求解解X的分布率為的分布率為0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上節(jié)已算得上節(jié)已算得,EX而2(1)EXE X XX(1)E X XEX 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee.,泊松分布就被確定了泊松分布就被確定了只要知道只要知道分布率中只含一個(gè)參數(shù)分布率中只含一個(gè)參數(shù)。泊松分布的。泊松分布的等于等于數(shù)學(xué)期望與方差相等，數(shù)學(xué)期望與方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 22DXEXEX因此因此,泊松分布泊松分布,EXDX例例3( , )XU a bDX設(shè)，求。解解 的概率密度為的概率密度為X1( )0axbp xba其它2abEX上節(jié)已求得。方差為222

26、221212baDXEXEXbaabxdxba因此因此,均勻分布均勻分布2,212baabEXDX例例4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為0( )00 xexp xx0EXDX其中，求，解解01( )xEXxp x dxx edx222202( )xEXx p x dxxedx21DX因此由此可知由此可知,指數(shù)分布指數(shù)分布211EXDX，三、方差的性質(zhì)三、方差的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 DC=0 ; 2. 若若 C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 D(CX)=C2 DX ; 3. 設(shè)設(shè) X 與與 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則是兩個(gè)隨機(jī)變量，則 D(X+Y)

27、= D(X)+D(Y)+2EX-EXY-EY 4. DX=0 PX= C=1 ,這里這里C=EX下面我們證明性質(zhì)下面我們證明性質(zhì)3證明證明2222()()() ()() 2 2 D XYEXYE XYEXEXYEYEXEXE YEYEXEX YEYDXDYEXEX YEY若若 X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得得()D XYDXDY此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況的情況.例例5 設(shè)設(shè)XB(n,p)，求，求EX和和DX.若設(shè)若設(shè)次試驗(yàn)失敗如第次試驗(yàn)成功如第iiXi01i=1,2，n 則則 是是n次試驗(yàn)

28、中次試驗(yàn)中“成功成功” 的次數(shù)的次數(shù)niiXX1下面我們舉例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用下面我們舉例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用 .解解XB(n,p),“成功成功” 次數(shù)次數(shù) . 則則X表示表示n重努里試驗(yàn)中的重努里試驗(yàn)中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互獨(dú)立獨(dú)立1niiDXDX= np(1- p)EXi= p,DXi= p(1- p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iX1niiEXEXnp則則若若),(pnBX,(1)EXnp DXnpp例例6(0,1),.XNEXDX設(shè)求和解解的概率密度為的概率密度為X xexx2221)( 于是于是221( )02xEXxx dxxed

29、x22221()( )12xDXxEXx dxx edx則則若若),1 , 0( NX0,1EXDX），（，則則若若10),(2NXZNX 0,1EZDZ質(zhì)質(zhì)得得由由數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差的的性性而而, ZX()EXEZEZE22()DXDZDZD，則則若若),(2 NX2,EXDX差所確定。差所確定?？捎伤臄?shù)學(xué)期望和方可由它的數(shù)學(xué)期望和方布完全布完全望和方差，因而正態(tài)分望和方差，因而正態(tài)分分別是該分布的數(shù)學(xué)期分別是該分布的數(shù)學(xué)期和和概率密度中的兩個(gè)參數(shù)概率密度中的兩個(gè)參數(shù)這就是說，正態(tài)分布的這就是說，正態(tài)分布的2 例如例如,),4 , 2(),3 , 1(相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和且且若若

30、YXNYNX234,48,4 48ZXYEZDZZN 則也服從正態(tài)分布，而故有（， ）且它們相互獨(dú)立，則且它們相互獨(dú)立，則若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,(:212211仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布的常數(shù)的常數(shù)是不全為是不全為它們的線性組合它們的線性組合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且例例7氣缸的計(jì)以設(shè)活塞的直徑),03. 0 ,40.22()(2NXcm,.),04. 0 ,50.22(2任取一支活塞相互獨(dú)立和直徑Y(jié)XNY.,率求活塞能裝入氣缸的概任取一只氣缸解解.0,YXPYXP即求按題意需求由于由于)00

31、25. 0 ,10. 0(NYX故有故有9772. 0)2()05. 010. 0(0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(0YXPYXPYXP例例8、 解解 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量則則 X= X1+X2+Xki=1,2,，k袋中有袋中有n張卡片，號(hào)為張卡片，號(hào)為1,2,n,從中有放回地抽取從中有放回地抽取k張，令張，令X表示所抽的表示所抽的k張卡片的號(hào)碼和，求張卡片的號(hào)碼和，求EX和和DX。EXi 表示第表示第i次抽到的卡片的號(hào)碼，次抽到的卡片的號(hào)碼，Xi111121(1)122nnnnn nnn =1=(n+1).2kiikEXEX所以所以2222111121(1)

32、(21)(1)(21)66iEXnnnnn nnnnn2222()(1)(21)(1)1(1)6412iiiDXEXEXnnnn2=1=(n -1).12kiikDXDXX若0,1EYDY2( ,)XN 特別地，若，則(0,1)XYN10這就是說，不光正態(tài)隨機(jī)變量可以標(biāo)準(zhǔn)化，任意隨機(jī)變量都可以，而且期望為 ，方差為 .XEXYDX任意隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：任意隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：的期望和方差均存在，則它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為六、小結(jié)六、小結(jié)這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差. 它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程度的一個(gè)數(shù)字特征度的一

33、個(gè)數(shù)字特征 .下一講，我們將介紹刻劃兩下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間間線性相關(guān)程度線性相關(guān)程度的一的一個(gè)重要的數(shù)字特征：個(gè)重要的數(shù)字特征：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)表1 幾種常見分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望 方差 分布率或 密度函數(shù) 分布01分布分布 p p(1-p)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布U(a,b)指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbp x其它a+b22(b-a)12( )E

34、,0( )0,xexp x其它1212( ,)N 22()21( )2xp xex 2第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)小結(jié)小結(jié) 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于二維隨機(jī)變量（對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論），我們除了討論X與與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和和Y之間之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 量量E X-EXY-EY 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X和和Y的協(xié)方差的協(xié)方差,記為記

35、為Cov(X,Y) ，即即 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)一、協(xié)方差一、協(xié)方差2.簡(jiǎn)單性質(zhì)簡(jiǎn)單性質(zhì) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常數(shù)是常數(shù)Cov(X,Y)=E X-EXY-EY 1.定義定義 Cov(X,Y)=E(XY) -EXEY 可見，若可見，若X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立， Cov(X,Y)= 0 . 3、計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式、計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E X-EXY-EY =E(XY)-EXEY-EY

36、EX+EXEY =E(XY)-EXEY即即特別地特別地22(,)()Cov X XE XEXDXD(X+Y)= DX+DY+ 2Cov(X,Y)4. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系和的方差與協(xié)方差的關(guān)系二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 和和 Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) .定義定義: 設(shè)設(shè)DX0, DY0,(,)XYCov X YDXDY稱稱在不致引起混淆時(shí)在不致引起混淆時(shí)，記記 為為 .XY 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：11 | . 證證: 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) b, 有有0D(Y-bX)= b2DX+DY-2b Cov(X,Y )(, )Cov X YbDX令令，則上式為，則上式為 D(Y- bX)= 2(, )Cov X YDYDX22(, )1=(1-)Cov X YDYDYDXDY由于方差由于方差DY是正的是正的,故必有故必有1- ,所以所以 | 。21-012. X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于當(dāng)由于當(dāng)X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov