數(shù)學(xué)建模微分方程模型ppt課件

1、2 2 傳染病模型傳染病模型 3 3 戰(zhàn)爭模型戰(zhàn)爭模型 4 4 最優(yōu)捕魚問題最優(yōu)捕魚問題 1 1 微分方程模型微分方程模型 微微 分分 方方 程程 模模 型型1 1 微分方程模型微分方程模型 一、微分方程模型的建模步驟微分方程模型的建模步驟 在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、社會(huì)等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時(shí)很難找到該系統(tǒng)有關(guān)社會(huì)等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時(shí)很難找到該系統(tǒng)有關(guān)變量之間的直接關(guān)系變量之間的直接關(guān)系函數(shù)表達(dá)式，但卻容易找到函數(shù)表達(dá)式，但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這

2、時(shí)往往采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng)這時(shí)往往采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng)即建立微即建立微分方程模型分方程模型 。我們以一個(gè)例子來說明建立微分方程模我們以一個(gè)例子來說明建立微分方程模型的基本步驟。型的基本步驟。例例1 1 某人的食量是某人的食量是1046710467（焦（焦/ /天），其中天），其中5038 5038 （焦（焦/ /天）用于基本的新陳代謝（即自動(dòng)消耗）。天）用于基本的新陳代謝（即自動(dòng)消耗）。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69 69 （焦（焦/ /公斤公斤 天）乘以他的體重（公斤）。假設(shè)天）乘以他的體重（公斤）。假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量以脂肪形式貯藏

3、的熱量100%100%地有效，而地有效，而1 1公斤脂公斤脂肪含熱量肪含熱量4186841868（焦）。（焦）。試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。 模型分析模型分析 在問題中并未出現(xiàn)在問題中并未出現(xiàn)“變化率變化率”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)”這樣的關(guān)鍵這樣的關(guān)鍵詞，但要尋找的是體重（記為詞，但要尋找的是體重（記為ww）關(guān)于時(shí)間）關(guān)于時(shí)間t t的的函數(shù)。如果我們把體重函數(shù)。如果我們把體重ww看作是時(shí)間看作是時(shí)間t t的連續(xù)可的連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個(gè)含有微函數(shù)，我們就能找到一個(gè)含有 的微分方程。的微分方程。dtdw模型假設(shè)模型假設(shè) 1. 1.以以w(t)w(t)表示表示

4、t t時(shí)刻某人的體重，并設(shè)一天開始時(shí)時(shí)刻某人的體重，并設(shè)一天開始時(shí)人的體重為人的體重為ww0 0。2 2體重的變化是一個(gè)漸變的過程。因此可認(rèn)為體重的變化是一個(gè)漸變的過程。因此可認(rèn)為w(t)w(t)是關(guān)于連續(xù)是關(guān)于連續(xù)t t而且充分光滑的。而且充分光滑的。3 3體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出就是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗。輸出就是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗。模型建立模型建立 問題中所涉及的時(shí)間僅僅是問題中所涉及的時(shí)間僅僅是“每天每天”，由此，由此，對(duì)于對(duì)于“每天每天”體重的變化體

5、重的變化= =輸入輸入- -輸出。由于考輸出。由于考慮的是體重隨時(shí)間的變化情況，因此，可得慮的是體重隨時(shí)間的變化情況，因此，可得體重的變化體重的變化/ /天天= =輸入輸入/ /天天輸出輸出/ /天。代入具天。代入具體的數(shù)值，得體的數(shù)值，得 輸入輸入/ /天天 = 10467= 10467（焦（焦/ /天）天）50385038（焦（焦/ /天）天）=5429=5429（焦（焦/ /天），天）， 輸出輸出/ /天天 = 69= 69（焦（焦/ /公斤公斤 天）天）（公斤）（公斤）= 69= 69（焦（焦/ /天）。天）。 體重的變化體重的變化/ /天天= =w/w/t t（公斤（公斤/ /天），

6、天），當(dāng)當(dāng)t t0 0時(shí)，它等于時(shí)，它等于dw/dtdw/dt?？紤]單位的匹配，考慮單位的匹配，利用利用 “公斤公斤/ /天天= =（焦（焦/ /每天）每天）/41868/41868（焦（焦/ /公斤）公斤）”, , 可建立如下微分方程模型可建立如下微分方程模型00|1000016129641868695429wwwwdtdwt模型求解模型求解 用變量分離法求解，模型方程等價(jià)于用變量分離法求解，模型方程等價(jià)于積分得積分得010000161296wwdtwdwot10000160)161296(161296teww10000160)161296(161296teww從而求得模型解從而求得模型解就

7、描述了此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。就描述了此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。10000160)16161296(161296teww 現(xiàn)在我們?cè)賮砜紤]一下：此人的體重會(huì)達(dá)到平衡嗎現(xiàn)在我們?cè)賮砜紤]一下：此人的體重會(huì)達(dá)到平衡嗎? ?顯然由顯然由ww的表達(dá)式，當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，當(dāng)t t時(shí)，體重有穩(wěn)定值時(shí)，體重有穩(wěn)定值w w 81 81 。我們也可以直接由模型方程來回答這個(gè)問題。我們也可以直接由模型方程來回答這個(gè)問題。 在平衡狀態(tài)下，在平衡狀態(tài)下， ww是不發(fā)生變化的。所以是不發(fā)生變化的。所以 這就非常直接地給出了這就非常直接地給出了ww平衡平衡=81=81。 所以，如果我們需要知道的僅僅是這個(gè)平所以，如果我們需

8、要知道的僅僅是這個(gè)平衡值，就不必去求解微分方程了！衡值，就不必去求解微分方程了！0dtdw至此，問題已基本上得以解決。至此，問題已基本上得以解決。一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為：一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為：(1) (1) 根據(jù)規(guī)律列方程。利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、根據(jù)規(guī)律列方程。利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)檢化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律和定律，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、物質(zhì)放射驗(yàn)的規(guī)律和定律，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、物質(zhì)放射性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分方程模型。方程模型。(3) (3) 模

9、擬近似法。在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，模擬近似法。在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，常常用模擬近似的方法來建立微分方程模型、復(fù)雜的，常常用模擬近似的方法來建立微分方程模型、建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，這個(gè)過程建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，這個(gè)過程是近似的，用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上是近似的，用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，看這去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，看這個(gè)微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實(shí)際現(xiàn)象。個(gè)

10、微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實(shí)際現(xiàn)象。本章將結(jié)合例子討論幾個(gè)不同領(lǐng)域中微分方程模型的本章將結(jié)合例子討論幾個(gè)不同領(lǐng)域中微分方程模型的建模方法。建模方法。2 2 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為

11、 模型模型1 1假設(shè)假設(shè)ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)n不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模

12、ttnitstittin)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率si 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時(shí)刻傳染病高潮到來時(shí)刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itlogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無免疫性傳染病無免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)sis 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttnittitnsti

13、ttin)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個(gè)感染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長按sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的健有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)康者人數(shù)不超過病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(si模型模型)如何看作模型如何看作模型3(sis模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt

14、 0模型模型4傳染病有免疫性傳染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者移出者sir模型模型假設(shè)假設(shè) 1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)n不變，病人、健康人和移不變，病人、健康人和移出者的比例分別為出者的比例分別為)(),(),(trtsti2）病人的日接觸率）病人的日接觸率 , 日日治愈率治愈率 , 接觸數(shù)接觸數(shù) = / 建模建模1)()()(trtits需建立需建立 的兩個(gè)方程的兩個(gè)方程)(),(),(trtstittnittitnstittin)()()()()(模型模型4sir模型模型很?。┩ǔ?00)0(1rrsi無法求出無法求出 的解析解的解析解)(),(tsti在

15、相平面在相平面 上上研究解的性質(zhì)研究解的性質(zhì)is ttitnststtsn)()()()(00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去消去dtsir模型模型1,0,0),(isisisd相軌線相軌線 的定義域的定義域)(si相軌線相軌線11si0d在在d內(nèi)作相軌線內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析的圖形，進(jìn)行分析)(sisi101d模型模型4sir模型模型相軌線相軌線 及其分析及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdi

16、ss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss滿足miis,/1傳染病蔓延傳染病蔓延傳染病不蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減單調(diào)減相軌線的方向相軌線的方向0, itp1s0/1imsp1: s01/ i(t)先升后降至先升后降至0p2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾值閾值p3p4p2s0ssss00lnln模型模型4sir模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高

17、r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4sir模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1p10ssi0 0, s0 1 小小, s0 1提高閾值提高閾值1/降低降低被傳染人數(shù)比例被傳染人數(shù)比例 xs0 - 1/ = 戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而

18、增加兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型3 3 戰(zhàn)爭模型戰(zhàn)爭模型 0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙方的增援率為

19、甲乙雙方的增援率為u(t), v(t)f, g 取決于戰(zhàn)爭類型取決于戰(zhàn)爭類型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假設(shè)假設(shè)模型模型)()(tvybxytuxayx正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)xxprbbxg, 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=ry py, ry 射擊率，射擊率， py 命中率命中率)(ty)(tx0ak0

20、k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論而在相平面上討論 x 與與 y 的關(guān)系的關(guān)系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時(shí)平方律平方律 模型模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝乙方勝游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)

21、0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率c = ry pyry射擊率射擊率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活動(dòng)面積甲方活動(dòng)面積sry 乙方射擊有效面積乙方射擊有效面積)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時(shí)000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線線性性律律 模模型型甲方勝 0m平局 0mcddxdy)(ty)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合戰(zhàn)爭

22、模型混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力設(shè)設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2) 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開發(fā)再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題問題及及 分析分析 在在捕撈量穩(wěn)定捕

23、撈量穩(wěn)定的條件下，如何控的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，如果使捕撈量等于自然增長量，漁漁場魚量將保持不變場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。，則捕撈量穩(wěn)定。背景背景4 最優(yōu)捕魚問題 exnxrxxftx)1()()()1()()(nxrxxftx)()()(xhxfxf記產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型假設(shè)假設(shè) 無捕撈時(shí)魚的自然增長服從無捕撈時(shí)魚的自然增長服從 logistic規(guī)律規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比建模建模 捕撈情況下捕撈情況下漁場魚量滿足漁場魚量滿足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需

24、知道x(t)穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件r固有增長率固有增長率, n最大魚量最大魚量h(x)=ex, e捕撈強(qiáng)度捕撈強(qiáng)度x(t) 漁場魚量漁場魚量一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性) 1 ()(xfx 一階非線性（自治）方程一階非線性（自治）方程f(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)000 xxxxx設(shè)設(shè)x(t)是方程的解，若從是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，某鄰域的任一初值出發(fā)，都有都有,)(lim0 xtxt稱稱x0是方程是方程(1)的的穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求不求x(t), 判斷判斷x0穩(wěn)定性的方法穩(wěn)定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxfx(1)的近似線性方程的近似線性方程)1 (),2(0)(00對(duì)穩(wěn)定xxf)1 (),2(0)(00對(duì)不穩(wěn)定xxf0)(xf0),1 (10 xrenxerxfrexf)(,)(10產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型exnxrxxftx)1 ()()( 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷0)(