平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

1、第二節(jié) 平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架是工程中常見(jiàn)的一種桿系結(jié)構(gòu)，它是由若干直桿在其兩端用鉸鏈連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桁架中各桿件的連接處稱為節(jié)點(diǎn)。由于桁架結(jié)構(gòu)受力合理，使用材料比較經(jīng)濟(jì)，因而在工程實(shí)際中被廣泛采用。房屋的屋架（見(jiàn)圖310）、橋梁的拱架、高壓輸電塔、電視塔、修建高層建筑用的塔吊等便是例子。圖310房屋屋架桿件軸線都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架（如一些屋架、橋梁桁架等），否則稱為空間桁架（如輸電鐵塔、電視發(fā)射塔等）。本節(jié)只討論平面桁架的基本概念和初步計(jì)算，有關(guān)桁架的詳細(xì)理論可參考“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課本。在平面桁架計(jì)算中，通常引用如下假定：）組成桁架的各桿均為直桿；）所有外力（載荷和

2、支座反力）都作用在桁架所處的平面內(nèi)，且都作用于節(jié)點(diǎn)處；）組成桁架的各桿件彼此都用光滑鉸鏈連接，桿件自重不計(jì)，桁架的每根桿件都是二力桿。滿足上述假定的桁架稱為理想桁架，實(shí)際的桁架與上述假定是有差別的，如鋼桁架結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)為鉚接（見(jiàn)圖311）或焊接，鋼筋混凝土桁架結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)是有一定剛性的整體節(jié)點(diǎn)，圖311 鋼桁架結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)它們都有一定的彈性變形，桿件的中心線也不可能是絕對(duì)直的，但上述三點(diǎn)假定已反映了實(shí)際桁架的主要受力特征，其計(jì)算結(jié)果可滿足工程實(shí)際的需要。分析靜定平面桁架內(nèi)力的基本方法有節(jié)點(diǎn)法和截面法，下面分別予以介紹。一、節(jié)點(diǎn)法因?yàn)殍旒苤懈鳁U都是二力桿，所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)都受到平面匯交力系的作用，為計(jì)算各

3、桿內(nèi)力，可以逐個(gè)地取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，分別列出平衡方程，即可由已知力求出全部桿件的內(nèi)力，這就是節(jié)點(diǎn)法。由于平面匯交力系只能列出兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，所以應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法往往從只含兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算。例38 平面桁架的受力及尺寸如圖312所示， 試求桁架各桿的內(nèi)力。圖312 例38圖解：（1）求桁架的支座反力以整體桁架為研究對(duì)象，桁架受主動(dòng)力2f以及約束反力、作用，列平衡方程并求解：， ， ×， ， ， 2=（2）求各桿件的內(nèi)力設(shè)各桿均承受拉力，若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，表示桿實(shí)際受壓力。設(shè)想將桿件截?cái)?，取出各?jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，作a、d、c節(jié)點(diǎn)受力圖（圖312），其中，=，=。 平面匯交力系的平衡方程只

4、能求解兩個(gè)未知力，故首先從只含兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)a開(kāi)始，逐次列出各節(jié)點(diǎn)的平衡方程，求出各桿內(nèi)力。節(jié)點(diǎn)：， sin300, 2=f（壓）， cos300, 0.866=1.73f（拉）節(jié)點(diǎn)：， , =1.73f（拉）， f, f（拉）節(jié)點(diǎn)：， sin600sin600， f（壓）至此已經(jīng)求出各桿內(nèi)力，節(jié)點(diǎn)的另一個(gè)平衡方程可用來(lái)校核計(jì)算結(jié)果：， cos600cos600將各桿內(nèi)力計(jì)算結(jié)果列于表3-2：表32 例38計(jì)算結(jié)果桿號(hào)12345內(nèi)力2f1.73f2f2f1.73f例39 試求圖313a所示的平面桁架中各桿件的內(nèi)力，已知，g=20kn。(a) (b)圖313 例39圖解 （1）畫(huà)出各節(jié)點(diǎn)受力圖

5、，如圖313b所示，其中fi(i=1,2,6)。各點(diǎn)未知力個(gè)數(shù)、平衡方程數(shù)如表33。由于a點(diǎn)的平衡方程數(shù)與未知力個(gè)數(shù)相等，所以首先討論a點(diǎn)。表33 未知力個(gè)數(shù)、平衡方程數(shù)節(jié)點(diǎn)abcde未知力個(gè)數(shù)23442獨(dú)立方程數(shù)22221（2）逐個(gè)取節(jié)點(diǎn)，列平衡方程并求解節(jié)點(diǎn)：， f1sin300g=, （拉）， f1cos300f2=, f2=f1cos300=34.6kn（壓）節(jié)點(diǎn)b：， , 34.6kn（壓）， fg, f=g20kn（拉）節(jié)點(diǎn)c：， f5cos300f3cos300=, f5=f3=20kn （壓）， cos600f5cos600=, f4=cos600f5cos600=40+20c

6、os600(20)cos600 kn =60kn（拉）將各桿內(nèi)力計(jì)算結(jié)果列于表3-4：表34 各桿內(nèi)力計(jì)算結(jié)果桿號(hào)123456內(nèi)力/kn4034.620602034.6二、截面法節(jié)點(diǎn)法適用于求桁架全部桿件內(nèi)力的場(chǎng)合。如果只要求計(jì)算桁架內(nèi)某幾個(gè)桿件所受的內(nèi)力，則可用截面法。這種方法是適當(dāng)?shù)剡x擇一截面，在需要求解其內(nèi)力的桿件處假想地把桁架截開(kāi)為兩部分，然后考慮其中任一部分的平衡，應(yīng)用平面任意力系平衡方程求出這些被截?cái)鄺U件的內(nèi)力。例310 如圖314所示的平面桁架，各桿件的長(zhǎng)度都等于1.0，在節(jié)點(diǎn)上作用荷載f21k，在節(jié)點(diǎn)上作用荷載f15k，試計(jì)算桿、和的內(nèi)力。圖314 例310圖 解：（1）求支座

7、反力以整體桁架為研究對(duì)象，受力圖如圖314所示，列平衡方程：， ， ×3.0f1×1.0f2×2.00 ， ff 解得：=17k， k（2）求桿、和的內(nèi)力作截面假想將此三桿截?cái)?，并取桁架的左半部分為研究?duì)象，設(shè)所截三桿都受拉力，這部分桁架的受力圖如圖314所示。列平衡方程：, ×1.0×sin600×1.0=0 , f1×0.5×1.0×sin600×1.5 ， ×sin600f1 解得：=21.9k（壓）k=20.8k（拉）k=2.3k（拉）如果選取桁架的右半部分為研究對(duì)象，可得到相

8、同的計(jì)算結(jié)果。例311 平面桁架結(jié)構(gòu)尺寸如圖315所示，試計(jì)算桿、和的內(nèi)力。圖315 例311圖解：（1）求支座反力以整體桁架為研究對(duì)象，受力圖如圖315b所示，列平衡方程：， ， fb×8af1×af1×2af1×3af1×4af2×5af2×6af2×7a0 ， fb 4 f13 f2 解得： ， =fb+4 f1+3 f2=（2）求桿、和的內(nèi)力作截面ii假想將桿1、2、3截?cái)?，并取桁架的左半部分為研究?duì)象，設(shè)所截三桿都受拉力，這部分桁架的受力圖如圖315c所示。列平衡方程：, , ， 解得：（壓），(拉)，(

9、拉)由上面的二個(gè)例子可見(jiàn)，采用截面法求內(nèi)力時(shí)，如果矩心取得恰當(dāng)，力矩平衡方程中往往僅含一個(gè)未知力，求解方便。另外，由于平面任意力系只有三個(gè)獨(dú)立平衡方程，因此作假想截面時(shí)，一般每次最多只能截?cái)嗳鶙U件，如果截?cái)嗟臈U件多于根時(shí)，它們的內(nèi)力一般不能全部求出。習(xí)題31 圖316所示的6種情形中哪些是靜定問(wèn)題？哪些是靜不定問(wèn)題？圖316 題31 圖32 試求圖317所示靜定梁在支座a和c處的全部約束反力。其中尺寸d、載荷集度q、力偶m已知。圖317 題32圖33 靜定多跨梁的荷載及尺寸如圖318所示，長(zhǎng)度單位為，求支座反力和中間鉸處的壓力。 圖318 題33圖34 靜定剛架所受荷載及尺寸如圖319所示，

10、長(zhǎng)度單位為，求支座反力和中間鉸處壓力。圖319 題34圖35 如圖320所示，桿ab重g、長(zhǎng)度為，a端置于水平面上，b端置于斜面上并系一繩子，繩子繞過(guò)滑輪c吊起重物fq。各處摩擦均不計(jì)，求ab桿平衡時(shí)的g值及a、b兩處的約束力。（、均為已知）圖320 題35圖36 如圖321所示，在曲柄壓力機(jī)中，已知曲柄oa=r=0.23m，設(shè)計(jì)要求：當(dāng)200,=3.20時(shí)達(dá)到最大沖力f=315kn。求在最大沖壓力f作用時(shí)，導(dǎo)軌對(duì)滑塊的側(cè)壓力和曲柄上所加的轉(zhuǎn)矩，并求此時(shí)軸承的約束反力。 圖321題36圖37 在圖322所示架構(gòu)中，a、c、d、e處為鉸鏈連接，bd桿上的銷釘b置于ac桿的光滑槽內(nèi)，力f=200n

11、，力偶矩m=100n·m，不計(jì)各桿件重量，求a、b、c處的約束反力。圖322 題37圖38 如圖323所示，折梯由兩個(gè)相同的部分和構(gòu)成，這兩部分各重0.k，在點(diǎn)用鉸鏈連接，并用繩子在、點(diǎn)互相聯(lián)結(jié)，梯子放在光滑的水平地板上，今在銷釘上懸掛g0.k的重物，已知，°，求繩子的拉力和作用于銷釘?shù)牧?。圖323題38圖39 三腳架如圖324所示，fp=4.0kn，試求支座a、b的約束反力。圖324題39圖310如圖325所示，起重機(jī)停在水平組合梁板上，載有重g=10kn的重物，起重機(jī)自身重k，其重心位于垂線上，如不計(jì)梁板自重。求、兩處的約束反力。 圖325 題310圖311 平面桁架的結(jié)構(gòu)尺寸如圖326所示，荷載f已知，求各桿的內(nèi)力。圖326 題311圖312 平面桁架的荷載及結(jié)構(gòu)尺寸如圖327所示，求各桿的內(nèi)力。 a) b)圖327 題312圖313 如需求圖328所示桁架中3、5、7各桿的內(nèi)