(完整word版)空間向量與立體幾何知識點(diǎn),推薦文檔

1、1立體幾何空間向量知識點(diǎn)總結(jié)知識網(wǎng)絡(luò)：知識點(diǎn)撥：1、空間向量的概念及其運(yùn)算與平面向量類似，向量加、減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關(guān)的運(yùn)算律仍然成立 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算、 共線向量定理、 共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣r rr rrr2、當(dāng) a 、 b 為非零向量時a b 0ab 是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，這是運(yùn)用空間向量研究線線、線面、 面面垂直的關(guān)鍵，通?？梢耘c向量的運(yùn)算法則、有關(guān)運(yùn)算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題r rrra bcos a, brr3、公式ab 是應(yīng)用空間向量求空間中各種角的基礎(chǔ)，用這個公式可以求兩異面直線所成的角（但要

2、注意兩異面直線所成角與兩向量的夾角在取值范圍上的區(qū)別），再結(jié)合平面的法向量，可以求直線與平面所成的角和二面角等4、直線的方向向量與平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對位置的重要概念，通過研究方向向量與法向量之間的關(guān)系， 可以確定直線與直線、 直線與平面、 平面與平面等的位置關(guān)系以及有關(guān)的計(jì)算問題5、用空間向量判斷空間中的位置關(guān)系的常用方法（ 1）線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量（ 2）線線垂直r rrr證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直，即a b 0ab 2（ 3）線面平行用向量證明線面平行的方法主要有：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

3、證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性表示直線的方向向量（ 4）線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有：證明直線方向向量與平面法向量平行；利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題（ 5）面面平行證明兩個平面的法向量平行（即是共線向量）；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題（ 6）面面垂直證明兩個平面的法向量互相垂直；轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題6、運(yùn)用空間向量求空間角（ 1）求兩異面直線所成角r rrra bcos a, brrab利用公式，但務(wù)必注意兩異面直線所成角的范圍是cosr rcos a, b故實(shí)質(zhì)上應(yīng)有：（ 2）求線面角

4、0,2 ，求直線與平面所成角時， 一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量， 通過數(shù)量積求出直線與平面所成角； 另一種方法是借助平面的法向量， 先求出直線方向向量與平面法向量的夾角，即可求出直線與平面所成的角，其關(guān)系是sin | cos |（ 3）求二面角用向量法求二面角也有兩種方法： 一種方法是利用平面角的定義， 在兩個面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對應(yīng)的方向向量， 然后求出這兩個方向向量的夾角， 由此可求出二面角的大?。涣硪环N方法是轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個面的法向量的夾角， 它與二面角的大小相等或互補(bǔ)7、運(yùn)用空間向量求空間距離空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面的距離（ 1）

5、點(diǎn)與點(diǎn)的距離點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是這兩點(diǎn)間線段的長度，因此也就是這兩點(diǎn)對應(yīng)向量的模（ 2）點(diǎn)與面的距離點(diǎn)面距離的求解步驟是：求出該平面的一個法向量；求出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即得要求的點(diǎn)面距3離備考建議：1、空間向量的引入，把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間，運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題， 應(yīng)體會向量方法在研究幾何圖形中的作用， 進(jìn)一步發(fā)展空間想像能力和幾何直觀能力2、靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題3、在解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題時，直線的方向向量與平面的法向量有

6、著舉足輕重的地位和作用，它的特點(diǎn)是用代數(shù)方法解決立體幾何問題，無需進(jìn)行繁、難的幾何作圖和推理論證，起著從抽象到具體、化難為易的作用 因此，應(yīng)熟練掌握平面法向量的求法和用法4、加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性第一講空間向量及運(yùn)算一、空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的定義在空間中， 既有大小又有方向的量叫做空間向量 注意空間向量和數(shù)量的區(qū)別 數(shù)量是只有大小而沒有方向的量2、空間向量的表示方法空間向量與平面向量一樣，也可以用有向線段來表示，用有向線段的長度表示向量的大r小，用有向線段的方向表示向量的方向若向量a 對應(yīng)的有向線段的起點(diǎn)是A ，終點(diǎn)是 B，ruuurruuura 或 AB 則向量

7、 a 可以記為 AB ，其模長為3、零向量r長度為零的向量稱為零向量，記為0 零向量的方向不確定，是任意的由于零向量的這一特殊性，在解題中一定要看清題目中所指向量是“零向量”還是“非零向量”4、單位向量模長為 1 的向量叫做單位向量 單位向量是一種常用的、 重要的空間向量， 在以后的學(xué)習(xí)中還要經(jīng)常用到5、相等向量rrr r長度相等且方向相同的空間向量叫做相等向量若向量a 與向量 b 相等，記為a = b .零向量與零向量相等， 任意兩個相等的非零向量都可以用空間中的同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)6、相反向量rr長度相等但方向相反的兩個向量叫做相反向量a 的相反向量記為 a二、共

8、面向量1、定義平行于同一平面的向量叫做共面向量2、共面向量定理urrrrr若兩個向量 a、 b 不共線，則向量p 與向量 a 、b 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、 y,4ur rr使得 p = xayb 。3、空間平面的表達(dá)式uuuruuuruuur空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y 使 MPxMAyMB或?qū)臻g任一定點(diǎn) O,有或uuuruuuruuuruuuurOPxOAyOBzOM（其中 x yz 1）這幾個式子是M,A,B,P 四點(diǎn)共面的充要條件三、空間向量基本定理1、定理rr rur如果三個向量 a 、 b 、 c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在唯

9、一的有序?qū)崝?shù)組x、ur rrry、 z，使 p = xaybzc2、注意以下問題（ 1）空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底r（ 2）由于 0 可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以，三個r向量不共面，就隱含著它們都不是0 。（ 3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，兩者是相關(guān)聯(lián)的不同概念rrr由空間向量的基本定理知，若三個向量a 、 b 、 c 不共面。那么所有空間向量所組成的ururrrrr rrp | pxaybzc, x, y, zR集合就是,這個集合可看做是由向量a 、 b 、 c 生成的， 所rr rrrra, b, c以

10、我們把稱為空間的一個基底。a 、 b 、 c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底3、向量的坐標(biāo)表示（ 1）單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基rr r底，常用i,j, k表示（ 2）空間直角坐標(biāo)系r rrrr r在空間選定一點(diǎn) O 和一個單位正交基底i, j , k 以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以 i、 j 、 k 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:x 軸、 y 軸、 z 軸，它們都叫坐標(biāo)軸則建立了一個空間直角坐標(biāo)rrr系 O xyz,點(diǎn) O 叫原點(diǎn)，向量 i 、 j 、 k 都叫坐標(biāo)向量（ 3）空間向量的坐標(biāo)給定一個空間直角坐標(biāo)

11、系和向量ra ,且設(shè)ri 、rrj 、 k 為坐標(biāo)向量，存在唯一有序數(shù)組（x，5rrrrry， z）使 axiy jzk ，有序數(shù)組（ x， y， z）叫做 a 在空間直角坐標(biāo)系O xyz 中的坐rx, y, z標(biāo)，記為 a =。uuuruuur rrrr對坐標(biāo)系中任一點(diǎn)A ，對應(yīng)一個向量 OA ，則 OA = axiy jzk 。在單位正交基底r r ruuuri 、 j 、 k 中與向量 OA 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（ x，y， z），叫做點(diǎn) A 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為 A （x， y，z） .四、空間向量的運(yùn)算1、空間向量的加法三角形法則（注意首尾相連）、平行四邊形法則，rrrr加法

12、的運(yùn)算律：交換律abbarrrrrrabcabc結(jié)合律2、空間向量的減法及幾何作法uuurr uuurruuurrrr幾何作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 OAa, OBb ，則 BAab ，即從 b 的終點(diǎn)r指向 a 的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義3、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（ 1）定義rr實(shí)數(shù)與 a 的積是一個向量，記為a ，它的模與方向規(guī)定如下：rraar r0 時，rrrr當(dāng)0 時， a 與 a 同向；當(dāng)a 與 a 異向；當(dāng)0 時 a0注意：rr關(guān)于實(shí)數(shù)與空間向量的積a 的理解：我們可以把a(bǔ) 的模擴(kuò)大（當(dāng)>1 時），也可r以縮小（< 1時），同時，我們可以不改變向量a 的方向

13、（當(dāng)0 時），也可以改變向r0時）。 .量 a 的方向（當(dāng)0 時，rrrr注意實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況，當(dāng)a0；當(dāng)0 ，若 a0 時，rr有 a0。rr注意實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算比如a ，a 無法運(yùn)算。（ 2）實(shí)數(shù)與空間向量的積滿足的運(yùn)算律6設(shè)、是實(shí)數(shù)，則有rraa（結(jié)合律）rrraaa（第一分配律）rrrrabab（第二分配律）實(shí)數(shù)與向量的積也叫數(shù)乘向量4、共線向量（ 1）共線向量定義若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量，也rrr r叫做平行向量。若 a 與 b 是共線向量，則記為a / b 。注意：零向量和空間任一向量是共線向量（ 2）

14、共線向量定理rrr rr rrr對空間任意兩個向量a 、 b （ b 0）， a / b 的充要條件是存在實(shí)數(shù)使a b（ 3）空間直線的向量表示式r如果直線 l 是經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a 的直線， 那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn) Puuuruuurrr在直線 l 上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式 OPOAta ，其中向量 a 叫做直線l 的方向向量注意：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrOPOAt AB,OPOAt OBOA(1t)OAtOB若在 l 上取 ABa ，則有ur uuuruuuruuurB OA(1 t)OAtOB上式可解決三點(diǎn)P

15、、 A 、 B 共線問題的表示或判定1uuur1uuur1 uuurtOP2OAOB當(dāng)2時，2，點(diǎn) P 為 AB 的中點(diǎn)，這是中點(diǎn)公式的向量表達(dá)式uuuruuur1uuuruuurOP1OAOB 若 P分 AB所成比為，則15、空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中， 三條坐標(biāo)軸兩兩互相垂直，軸的方向通常這樣選擇：從 z 軸的正方向看， x 軸正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)900 能與 y 軸的正半軸重合。讓右手拇指指向x 軸正方向 食指指向 y 軸的正方向， 如果中指指向z 軸的正方向， 那么稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。一般情況下，建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系在平面上畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz 時，一般使

16、 xOy=135 °， yOz=90 °?？臻g兩點(diǎn)間的距離公式是平面上兩點(diǎn)間距離公式的推廣，是空間向量模長公式的推廣，如果知道兒何體上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)我們就可直接套用7設(shè) P1 (x1, y1, z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 )PP( xx )2( yy ) 2( z z )2，則 12212121特別地， P1（ x,y,z ）到原點(diǎn)的距離 | OP |x 2y 2z 26、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算a b| a | | b | cos a, b其中a, b 為 a 與 b 的夾角，范圍是 0， ，注意數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律。1. 性質(zhì)若 a 、b 是非零向量，e

17、是與 b 方向相同的單位向量，是a 與 e 的夾角，則（ 1） e aa e| a | cos（ 2） a bab0（ 3）若 a 與 b 同向，則 ab| a | | b | ；若 a 與 b 反向，則 ab| a | | b | ；特別地： aa | a |2 或 | a |a aa ba 、b的夾角，則 cos（ 4）若為| a | | b |（ 5） | a b | | a | b |2. 運(yùn)算律（ 1）結(jié)合律 ( a )b( ab)（ 2）交換律 a b b a（ 3）分配律 a ( b c) a b a c不滿足消去律和結(jié)合律即：a bb cac ，(a b) c 不一定等于 a(

18、 b c )【典型例題】例 1. 已知 P 是平面四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA 、 PB、 PC、 PD，點(diǎn) E、 F、G、 H 分別為 PAB 、 PBC 、 PCD、 PDA 的重心。求證：E、 F、 G、H 四點(diǎn)共面。證明： 分別延長 PE、 PF、 PG、 PH 交對邊于M 、 N、 Q、 R E、 F、 G、 H 分別是所在三角形的重心 M 、 N、 Q、 R 為所在邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)MNQR所得四邊形為平行四邊形，且有8PE2 PM ，PF2 PN ，PG2 PQ，PH2 PR3333 MNQR 為平行四邊形，則EGPG PE2 PQ2 PM2 MQ3332( MNMR

19、 )2( PNPM )2 (PR PM)3332(3PF3 PE)2(3PH 3PE)322322EFEH由共面向量定理得E、 F、 G、 H 四點(diǎn)共面。例 2. 如圖所示，在平行六面體ABCDA ' B' C' D' 中， ABa ， ADb ， AAc ，P是 CA' 的中點(diǎn)， M 是 CD' 的中點(diǎn)， N 是 C'D' 的中點(diǎn)，點(diǎn) Q 是 CA' 上的點(diǎn)，且 CQ：QA'=4 ：1，用基底 a ，b ，c 表示以下向量：（ 1） AP；（ 2） AM ；（3）AN ；（4） AQ 。解： 連結(jié) AC 、 AD

20、'AP1 (ACAA ')1 (ABADAA ')1 ( abc )（ 1）222；AM1 (ACAD )1 (AB2 ADAA ')1ab1c（ 2）2222；AN1 (ACAD ')（ 3）291(AB ADAA ') (ADAA ')21(AB 2AD2AA')21abc2AQ ACCQAC4(AA 'AC )（ 4）51 AB1 AD4AA '5551a14c5b55點(diǎn)評：本例是空間向量基本定理的推論的應(yīng)用此推論意在用分解定理確定點(diǎn)的位置，它對于以后用向量方法解幾何問題很有用， 選定空間不共面的三個向量作基

21、向量 并用它們表示出指定的向量，是用向量解決幾何問題的一項(xiàng)基本功例 3. 已知空間四邊形 OABC 中， AOB= BOC= AOC ，且 OA=OB=OC 。M 、N 分別是 OA 、 BC 的中點(diǎn)， G 是 MN 的中點(diǎn)。求證： OG BC 。證明： 連結(jié) ON，設(shè) AOB= BOC= AOC= 又設(shè) OAa ， OBb ， OCc ，則 | a | | b | | c | 。OG1 (OMON )又2111OA(OB OC)2221 ( a bc )4BCcb10OG BC1 ( a4bc )( cb )1( ac41 (| a |24abbc2cos| a | cosb2c2| a |

22、 2bc )| a |2 )0 OG BC例 4. 已知空間三點(diǎn) A （0， 2， 3）， B（ 2， 1，6）， C（ 1， 1， 5）。（ 1）求以 AB 和 AC 為鄰邊的平行四邊形面積；（ 2）若 | a |3 ，且 a 分別與 AB 、AC 垂直，求向量a 的坐標(biāo)。解： （ 1）由題中條件可知AB （2， 1，3），AC （1， 3，2）cosAB AC23 61AB ，AC14142|AB | |AC |sin3AB ，AC2以 AB 、AC 為鄰邊的平行四邊形面積：3S | AB | | AC | sinAB ，AC147 32（ 2）設(shè) a （ x，y， z）由題意得x 2y

23、2z 232xy3z0x3y2z0x1x1y或y11解得 z1z1 a （1，1，1）或 a （ 1， 1， 1）第二講 直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用一、直線的方向向量及其應(yīng)用111、直線的方向向量直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行 （或共線） 的向量， 顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個2、直線方向向量的應(yīng)用利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面ruuurr（ 1）若有直線l, 點(diǎn) A 是直線 l 上一點(diǎn)，向量 a 是 l 的方向向量， 在直線 l 上取 ABa ，uuuruuurr則對于直線l 上任意一點(diǎn)P，一定存在實(shí)數(shù)t，使得 APt AB ，這樣，點(diǎn)A 和向量

24、 a 不僅可以確定l 的位置，還可具體表示出l 上的任意點(diǎn)（ 2）空間中平面的位置可以由上兩條相交直線確定，若設(shè)這兩條直線交于點(diǎn)O,rr它們的方向向量分別是a 和 b ，P 為平面上任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在有uuurrrrr序?qū)崝?shù)對（ x， y），使得 OPxayb ，這樣，點(diǎn) O 與方向向量 a 、 b 不僅可以確定平面的位置，還可以具體表示出上的任意點(diǎn)二、平面的法向量1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，它們是共線向量rr2、在空間中，給定一個點(diǎn)A 和一個向量 a ，那么以向量a 為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A 的平面是唯一確定的三、直線

25、方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用uruururuur112的方向向量分別是u1 、 u2 ，則有 l 1/ l2u1/u2， l12、若兩直線 l、l luruururuur2、若兩平面、的法向量分別是v1、v2，則有 /v1/v2，rrrr若直線 l 的方向向量是 u ，平面的法向量是v ，則有 l/u v ， luruuru1 u2 uruurv1 v2 r r u / v四、平面法向量的求法若要求出一個平面的法向量的坐標(biāo)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：r1、設(shè)出平面的法向量為 n(x, y, z) rr2、找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線

26、的向量的坐標(biāo)a (a1 ,b1, c1 ), b (a2 , b2 , c2 )rr0n arr03、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x， y， z 的方程組n b4、解方程組，取其中一個解，即得法向量12五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系（一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行1、線線平行r rrr設(shè)直線1、 l2的方向向量分別是a 、 b ，則要證明 l12，只需證明a/b ，即l/lrr(kR)akb2、線面平行rrrr（ 1）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 n ，則要證明l / ，只需證明 an ，r r即 a n 0

27、 .（ 2）根據(jù)線面平行的判定定理：“如果直線（平面外）與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行” ，要證明一條直線和一個平面平行， 也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可（ 3）根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可3、面面平行（ 1）由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可r rrr（ 2）若能求出平面、的法向量u 、 v ，則要證明 /，只需證明 u

28、/v（二）用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直1、線線垂直rrr rrr12的方向向量分別是a 、 b ，則要證明 l 12a b ，即 a b0設(shè)直線 l 、l l ，只需證明2、線面垂直rrrr（ 1）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是u ，則要證 l ，只需證明a /u（ 2）根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直3、面面垂直（ 1）根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直（ 2）證明兩個平面的法向量互相垂直六、用向量方法求空間的角（一）兩條異面直線所成的角1、定義：設(shè) a、 b 是兩條異面直

29、線，過空間任一點(diǎn)O 作直線 a/ / a,b/ / b ，則 a/與 b/所夾的銳角或直角叫做a 與 b 所成的角02、范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是213rra br rcos | cos | rrab3、向量求法： 設(shè)直線 a、b 的方向向量為a 、b ，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角（二）直線與平面所成的角1、定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角02、范圍：直線和平面所成角的取值范圍是2rr3、向量求法：設(shè)直線l 的方向向量為

30、a ，平面的法向量為 u ，直線與平面所成的角為，rrsina ur r| cos | rr 或 cossinaua 與 u 的夾角為，則有（三）二面角1、二面角的取值范圍：0,2、二面角的向量求法（ 1）若 AB 、CD 分別是二面角l 的兩個面內(nèi)與棱 l 垂直的異面直線，則二面角uuuruuur的大小就是向量AB 與 CD 的夾角（如圖（a）所示）uruururuur（ 2）設(shè) n1 、n2 是二面角l的兩個角、 的法向量， 則向量 n1 與 n2 的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大?。ㄈ鐖D（b）所示）七、用向量的方法求空間的距離（一）點(diǎn)面距離的求法如圖（ a）所示，BO平面， 垂足

31、為 O，則點(diǎn) B 到平面的距離就是線段BO 的長度若uuuruuurBOBAAB 是平面的任一條斜線段，則在Rt BOA 中，cos ABO=14uuuruuurBABO cos ABOcos ABOuuurrBO。如果令平面的法向量為 n ，考慮到法向量的方向，可以得到BuuuruuurrABnBOr點(diǎn)到平面的距離為n。因此要求一個點(diǎn)到平面的距離，可以分以下幾步完成：1、求出該平面的一個法向量2、找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量3、求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離ruurnrn0n可以視為平面的單位法向量，所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平

32、面的單位由于uuuruur法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的絕對值，即dAB n0 另外，等積法也是點(diǎn)到面距離的常用求法（二）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。（三）兩異面直線距離的求法r如圖（ b）所示，設(shè) l1、 l2 是兩條異面直線， n 是 l 1 與 l 2 的公垂線段AB 的方向向量，uuuruuurrdCDnABr又 C、D 分別是 l 1、 l 2 上的任意兩點(diǎn)，則 l1 與 l2 的距離是n。15【典型例題】例 1. 設(shè) a 、b 分別是直線l 1、 l2 的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng) 1 與 l 2 的位置關(guān)系。（ 1） a =（ 2， 3，

33、 1）， b =（ 6， 9， 3）；（ 2） a =（ 5， 0，2）， b =（0， 4， 0）；（ 3） a =（ 2，1， 4）， b =（ 6， 3，3）解： （ 1）a （2，3， 1）， b =（ 6， 9， 3）1a b 3 ， a/ b ， l1 /l 2（ 2） a =（ 5，0， 2）， b =（ 0， 4，0）a b 0， ab ， l12 l（ 3） a（ 2，1， 4，）， b =（ 6，3， 3） a 與 b 不共線，也不垂直 l1 與 l2 的位置關(guān)系是相交或異面例 2. 設(shè) u 、v 分別是平面、的法向量，根據(jù)下列條件判斷、的位置關(guān)系：1（ 1） u =（ 1

34、， 1， 2）， v =（ 3， 2，2 ）；（ 2） u =（ 0， 3，0）， v =（0， 5，0）；（ 3） u =（ 2， 3， 4）， v =（ 4， 2， 1）。1解： （ 1） u =（ 1， 1， 2）， v =（ 3， 2，2 ）16 u v0uv（ 2） u =（ 0，3， 0）， v =（ 0， 5， 0）u3u/ v/v 5（ 3） u =（ 2， 3， 4）， v =（ 4， 2， 1） u 與 v 既不共線、也不垂直，與相交點(diǎn)評：應(yīng)熟練掌握利用向量共線、垂直的條件。例 3. 已知點(diǎn) A （ 3，0，0）， B（ 0，4， 0）， C（ 0， 0， 5），求平面 A

35、BC 的一個單位法向量。解：由于 A（ 3，0， 0），B（ 0，4，0）， C（ 0，0，5）， AB =（ 3，4，0）， AC =（ 3， 0，5）設(shè)平面 ABC 的法向量為n （x， y， z）則有 nAB且n AC003x4y0x553x5z0y4即取 z=1，得3 ，55| n |769， ，于是 n =（ 31124），又n (20 ，15，12 )平面的單位法向量是769769769例 4. 若直線 l 的方向向量是a =（ 1， 2， 2），平面的法向量是n =（ 1， 3， 0），試求直線 l 與平面所成角的余弦值。分析： 如圖所示，直線l 與平面所成的角就是直線l 與它在

36、平面內(nèi)的射影所成的角，即 ABO ，而在 Rt ABO 中， ABO=2 BAO ，又 BAO 可以看作是直線l 與平面的垂線所成的銳角，這樣 BAO 了聯(lián)系，故可借助向量的運(yùn)算求出就與直線l 的方向向量BAO ，從而求出a 與平面的法向量 n 的夾角建立 ABO ，得到直線與平面所成的角。17解： a =（ 1， 2，2，）， n =（ 1，3， 0） | a | 3 ， | n |10 ， a n 5cosa, na n106| a | | n |若設(shè)直線 l 與平面所成的角是則有 cossina , ncosa, n106sin a, n266cos26266，即直線 l與平面所成角的余弦值等于6 。因此例 5. 如圖（ a）所示，在正方體ABCDA 1B1C1D1中， M 、 N 分別是 C1C 、 B1C1 的中點(diǎn)。求證：（ 1） MN/ 平面 A 1BD ；（2）平面A 1BD / 平面 B1D