狀態(tài)空間表達式

1、2.5 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式2.5 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式隨著科學技術的發(fā)展，被控制的對象越來越復雜，對自動控制的要求也越來越高。面對時變系統(tǒng)，多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)等被控量和對控制系統(tǒng)高精度、高性能的嚴格要求，傳統(tǒng)的控制理論已不能適用。同時，計算機技術的發(fā)展也要求控制系統(tǒng)地分析，設計中采用計算機技術并在控制系統(tǒng)的組成中使用計算機。因此，適用這些要求的控制系統(tǒng)的另一種數學描述方法-狀態(tài)空間就應運而生。 2.5.1  狀態(tài)變量在對系統(tǒng)動態(tài)特性描述中，足以表征系統(tǒng)全部運動狀態(tài)的最少一組變量，稱之為狀態(tài)變量。只要確定了這組變量在t= 時刻的值以及時的輸入函數，則系統(tǒng)在

2、任何時刻的運動狀態(tài)就會全部確定。狀態(tài)變量互相間是獨立的，但對同一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取并不是唯一的。一個用n 階微分方程描述的系統(tǒng)，有n個獨立變量，這n個獨立變量就是該系統(tǒng)的狀態(tài)變量。若用 表示這n個狀態(tài)變量，則可以把這n個狀態(tài)變量看作是向量x(t)的分量。我們稱x(t)為狀態(tài)變量，它是一個n維向量，記為分別以狀態(tài)變量作為坐標而構成的n維空間，稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài)，就是狀態(tài)空間的一點。系統(tǒng)在時刻的狀態(tài)稱為初始點，隨著時間的變化，x(t)從初始點出發(fā)在狀態(tài)空間描述出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌跡。狀態(tài)魁及表征了系統(tǒng)狀態(tài)的變化過程。2.5.2  狀態(tài)空間表達式1. 狀態(tài)方程

3、由系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入函數構成的一階微分方程組，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，可以寫成如下形式                       (2.59)        記為          &#

4、160;     (2.60)式中x(t)是n維列向量u(t)是r維輸入向量A是n*n維矩陣，稱為系數矩陣B是n*r矩陣，稱為輸入矩陣或控制矩陣若矩陣A和B的元素都是常數，則狀態(tài)方程是線性定常的。若A和B中有隨時間變化的元素，狀態(tài)方程就是線性時變的。狀態(tài)方程中不能含有x(t)的高于一階導數的項和輸入函數的導數項。對于非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程可以寫成如下形式                (2

5、.61)記為             (2.62)式中f為向量函數。2. 輸出方程描述系統(tǒng)的輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量關系的方程，稱為輸出方程。線性系統(tǒng)的輸出方程具有以下形式               (2.63)記為        &

6、#160;            (2.64)式中y(t)為m維列向量，稱輸出向量   C為m*n維矩陣，稱為輸出矩陣D為m*r維矩陣，稱為直接傳輸矩陣線性定常系統(tǒng)的輸出矩陣和直接傳遞矩陣的所有元素均為常量。非線性系統(tǒng)的輸出方程可表示為           (2.65)式中g稱為向量函數。輸出方程中不含有變量的任何導數項。3. 狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)的

7、狀態(tài)方程和輸出方程總稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式     (2.66)或             (2.67)傳遞函數是系統(tǒng)輸出與輸入之間關系的數學描述，它所描述的系統(tǒng)的動態(tài)特性并不涉及系統(tǒng)內部各種變量的問題，是從外部看到的系統(tǒng)的一種整體特性，我們稱其為外部特性。應該說，傳遞函數對系統(tǒng)特性的描述是不完全的。在狀態(tài)空間表達式中，狀態(tài)方程反映了輸入對系統(tǒng)內部狀態(tài)的影響，即輸入改變了系統(tǒng)的狀態(tài)，而輸出方程則反映了狀態(tài)變量對輸出變量的影響

8、，即狀態(tài)改變產生了輸出改變。狀態(tài)空間表達式包含了系統(tǒng)運動的內部信息（狀態(tài)）和外部信息（輸出），是對系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述。圖2.35是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的結構圖。圖中用雙線箭頭表示向量信號。圖2.35 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的結構圖2.5.3  狀態(tài)空間表達式的建立建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，可以根據系統(tǒng)運動的內在機理直接建立狀態(tài)方程和輸出方程，也可以根據系統(tǒng)的微分方程，傳遞函數或結構圖來建立。后者稱為模式轉換問題。1. 由微分方程建立狀態(tài)空間表達式（1）不含輸入函數倒數項的n階線性系統(tǒng)。設n階線性系統(tǒng)的微分方程具有如下形式    (2.68

9、)當  等初始值及在時的輸入函數已知時，系統(tǒng)在t時刻的行為就可以完全確定。所以，可以選取共n個變量為系統(tǒng)的狀態(tài)變量方程（2.68）可以寫成這就是n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程，記為          (2.69)式中         維矩陣    維矩陣       維矩陣輸出方程為記為

10、                   式中             維矩陣具有上面A矩陣形式的矩陣稱為友矩陣。友矩陣的特點是主對角線右上方的元素為1，最后一行的元素可取任何值，其余元素為零。（2）含有輸入導數項的n階線性系統(tǒng)設n階線性系統(tǒng)的微分方程具有如下形式 

11、0;   (2.71)對于這種情況，若仍按不含輸入導數項的微分方程的處理辦法，狀態(tài)方程就會出現輸入函數的導數項，這是不允許的。我們可以這樣來選取狀態(tài)變量式中狀態(tài)方程可寫為 (2.72)輸出方程為          (2.73)狀態(tài)空間表達式記為                  

12、        (2.74)式中系數矩陣仍為友矩陣        維矩陣控制矩陣為       維矩陣輸出矩陣為          維矩陣         而因為描述線性定常系統(tǒng)的

13、高階微分方程是單輸入單輸出系統(tǒng)，所以狀態(tài)方程中輸入函數只有一個，輸出方程中輸出變量也只有一個，與其相關的矩陣形式也較為簡單。例20  某線性定常系統(tǒng)的微分方程為寫出其狀態(tài)空間表達式。解  先把方程變?yōu)槭剑?.68）的形式設狀態(tài)變量為則狀態(tài)空間表達式為其中例21  控制系統(tǒng)的微分方程為寫出其狀態(tài)空間表達式。解  這是輸入函數具有導數項的微分方程。先計算：參照式（2.72），（2.73），可得到狀態(tài)方程輸出方程為狀態(tài)空間表達式為2.由傳遞函數建立狀態(tài)空間表達式已知控制系統(tǒng)的傳遞函數，可以求取其拉普拉斯的反變換，得到系統(tǒng)的微分方程，再根據微分方程寫出系統(tǒng)的狀態(tài)

14、空間表達式。例22  已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為寫出其狀態(tài)空間表達式。解  先寫出對上式進行拉普拉斯反變換，得到再計算狀態(tài)空間表達式為其中根據已知的傳遞函數，引入一個中間變量Z(s)，用下面的方法也可以建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。設已知的傳遞函數具有下面的形式             (2.75)引入中間變量z(s)，即令          

15、60;  (2.76)其中  (2.77)                              (2.78)因而有          (2.79)

16、0;         (2.80)選取中間變量z(t)及其各階導數為狀態(tài)變量：   由（2.79）式可得到狀態(tài)方程，由（2.80）式可得到輸出方程其中        維矩陣           維矩陣       

17、60;   維矩陣從式（2.80）可以看出，輸出變量只與m+1個狀態(tài)變量有關，通常情況下m<n，所以輸出矩陣C中有n-(m+1)個元素為零。例23  已知將其轉換為狀態(tài)空間表達式。解 設中間變量為Z(s)，則有由此寫出狀態(tài)空間表達式引入中間變量，畫出結構圖，根據結構圖也可以寫出狀態(tài)空間表達式。例24  設系統(tǒng)的傳遞函數為        (2.83)引入中間變量，得到       (2.84)

18、            (2.85)根據（2.84）式可以畫出系統(tǒng)的結構圖，如圖（2.36）所示。作圖的過程是：先畫出數目與傳遞函數階次相同的積分環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)按串聯(lián)連接。從最左端積分環(huán)節(jié)開始，每個積分環(huán)節(jié)的輸出取作狀態(tài)變量，式（2.84）的系數作為反饋回路的系數。根據結構圖可以寫出狀態(tài)空間表達式圖2.36 控制系統(tǒng)的結構圖               &