《平面向量》提高測(cè)試題(一)

1、提高測(cè)試（一）（一）選擇題（每題4分，共24分）1 .如圖，在 ABC4點(diǎn)D E、F分別為BC AC AB的中點(diǎn)，以圖中各點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段所表示的向量中，與EF的向量最多有（).(A) 3 個(gè) (B) 4 個(gè)(C) 6 個(gè)(D) 7 個(gè)【提示】據(jù)已知，與 EF共線的向量有FE, BD, DB, DC, CD, BC , CB .【答案】（D）.【提示】本題考查共線向量的概念.注意兩個(gè)共線向量的方向可以相同，也可以不同.2 .已知向量 &= (1, 2), 6= (3, 1), c= (11, 7).若 C=kW + l b,則 k、l 的值為().(A) 2, 3(B) -2, -3

2、(C) 2, -3(D) 2, 3【提示】據(jù)已知，有（11, 7) = k (1, 2) +l (3, 1),可得關(guān)于k, l的二元方程組k +3l =112k+l =7解之即可.【答案】（D）.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的基本定理，以及向量相等的充要條件.3 .已知四邊形 ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A （1, 2）, B （4, 0）, C （8, 6）, D （5, 8）,有下面四個(gè) 結(jié)論：四邊形ABC虛平行四邊形四邊形ABC虛矩形四邊形ABC虛菱形四邊形ABC虛正方形其中正確的結(jié)論是(A)(B)(C)(D)【提示】由aB= (3, 2), dC = (3, 2),即aB= dC ,

3、得四邊形 ABCD平行四邊形，結(jié)論正確；又 BC= (4, 6),得 BC AB = 1212=0,即 BCAB DABCDB巨形，結(jié)論正確；而 | AB | =、13 , | BC | = 2 &3 ,即| AB | w | BC| ,故結(jié)論、均不正確.【答案】(A).【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積，向量垂直的充要條件，兩點(diǎn)間的距離公式.即利用向量的有關(guān) 知識(shí)，判定平面圖形的幾何特征.通常情況下，對(duì)于任意四邊形，利用向量共線，判斷是否為梯形；利 用向量相等，判斷是否為平行四邊形.對(duì)于平行四邊形，再利用數(shù)量積為零，判斷是否為矩形，利用相 鄰兩邊所表示向量的模的大小.判斷是否為菱

4、形.4 .已知 ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(1, 4), B (5, 2), C (3, 4),則角B等于().(A) 90°(B) 60°(C) 45°(D) 30°【提示一】可由已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離求出三條邊長(zhǎng)，再用余弦定理求角B.由已知，可得AB= J5(1)2 +2(Y)2 =6 尤, BC = J(3-5)2 +(4-2)2 = 2 <2 ,AC= J3(1)2 +4(Y)2 =4j5. 由余弦定理，得cosB=AB2+BC2-AC22 AB BC=72 8-802 6.2 2 2 =0./ B =90° .【提示二

5、】利用向量知識(shí)，求角B,就是求向量BA與BC的夾角.由三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，得BA= (6, 6), BC =(2, 2). | BA| =672 , | BC | = 2 <2 .cosc BA BCB =|BA| |BC|6 (-2)6 26<,22v''2'得 Z B =90° .實(shí)際上，由 BA BC =6X ( 2) + 6X 2=0,便可知 BA± BC ,于是/ B =90°【答案】(A).【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量知識(shí)的靈活應(yīng)用，以及解斜三角形的有關(guān)知識(shí).考查運(yùn)算能力，本題運(yùn)用向量垂直的充要條件，由平面向量的坐標(biāo)表布.求得角

6、B等于90 ,最為簡(jiǎn)捷.5.將函數(shù)y =f (x)的圖象按a= ( 2, 3)平移后，得到的是函數(shù) y =4x2,x44的圖象，則y =f(x)的表達(dá)式為().2(A) y = 4x+3(C) y = 4，石卡3【提示】2(B) y = 4x -x412 +3(D) y = 4x2-x49x' = x+h即, y'= y + kx' = x-2y r = y + 3 .利用平移公式，設(shè) P (x, y)為y =f (x)圖象上任一點(diǎn)，按 a= (2, 3)平移后的坐標(biāo)為 P' (x' , y'),則據(jù)已知，點(diǎn)P'滿足y' = 4

7、x' 2-2 x' +4,y +3=4(-化簡(jiǎn)，得 y = 4x2小書(shū)2 3.【答案】(C).【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移公式，應(yīng)明確圖象的平移實(shí)質(zhì)上是圖象上點(diǎn)的平移.6.在 ABC中，若A：B： C =1 ： 1 ： 4,則 a ： b ： c等于().(A) 1 ： 1 ： 2(B) 1 ： 1 ： 4(C) 1 ： 1 ： .3(D)1 ： 1 ： 16將邊之比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)角的正弦函數(shù)之比，再由正弦定理可得.在 ABC, A +B +C =180 ,由 A ： B ： C= 1 ：1 : 4,可得= 120° .sin A = sinC = 32由正弦定理，可知a ： b

8、 ： c =sin A： sin B - sin【答案】(C).【點(diǎn)評(píng)】本題根據(jù)已知條件，把求邊的比的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的問(wèn)題，考查了正弦定理的應(yīng)用.(二)填空題(每題4分，共20分)1.化簡(jiǎn) a b(a c)-c(a b)的結(jié)果是.【提示】*> - ff * a b(a c) c(a b)= a b(ac) a c(a b)= (ac)(ab) (ab)(ac)=0.0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，注意數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果為一個(gè)數(shù).2.已知 A (2, 3), B (1, 5),且 AC = 1 AB , AD= 1 則 CD中點(diǎn)的坐標(biāo)是34要求CD中點(diǎn)的坐標(biāo)，必先求得點(diǎn) C D

9、的坐標(biāo).A (2, 3), B ( 1, 5). AB= ( 3, 2),AC = AB = (- 1 ). 33則點(diǎn)c的坐標(biāo)為(1, 11). 3又 AD = AB =(,) 442由點(diǎn)D的坐標(biāo)為(U, 5) 42代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得1 1111 5(一2),即(竺，豆).22812【點(diǎn)評(píng)】本題考查共線向量，向量的坐標(biāo)運(yùn)算及線段的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式.本題也可代入線段的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式.由 AC=1AB,得AC = 1CB,即點(diǎn)c分ab所成的比為-,可得點(diǎn)c的坐標(biāo); 322由AD = 1 Ab,得AD=1DB,即點(diǎn)d分AB所成的比為一1,可得點(diǎn)d的坐標(biāo). 4553 .在ABC4已知B = 1

10、35 , C =15° , a = 5這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)為 由已知B = 135為三角形中的最大角，其對(duì)邊b為所求的最大邊.先由已知的B = 135 , C =15° ,求得A = 180° ( B + C) =30°再由正弦定理，得. a sin Bb =sin A_ 5 sin135sin30=5 J2 . ABC勺最大邊長(zhǎng)為5 22 .【答案】5 <2 .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查應(yīng)用正弦定理解決三角形的有關(guān)問(wèn)題.4 .把函數(shù)y =2 x2+x +3的圖象C按a= (3, 1)平移到C',則C'的函數(shù)解析式為 .【提示】利用平移公

11、式，設(shè) P (x, V)為函數(shù)y =2 x2 + x +3圖象C上的任一點(diǎn)，經(jīng) £平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn) P'(x' , y')在 C'上，則'x x+hx =x*-h =x*-3)即，y = y + k y = y*-k = yH + 1.代入C的方程，得v' + 1 = 2 ( X, 3)2+(x， 3) + 3.即 y' = 2 x' 2-13 x' + 17.【答案】y' = 2 x213 x +17.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移公式，注意移圖是在確定的坐標(biāo)系xOy內(nèi)進(jìn)行的，習(xí)慣上將 x' , y'

12、;仍寫(xiě)成x,V,于是C'的函數(shù)解析式為 x, y的關(guān)系式.5 .在 ABC中，B =30° , AB =2 <3,Saabc= J3 ,則 AC的長(zhǎng)等于.【提示】由已知，及abc= 1AB BC -sin B = 1 x 2 < 3 x BC sin 30 。，得上3 BC = J3,于222是 BC=2.代入余弦定理，得AC 2=A+BC2 AB - BC cos B =4.AC =2.【答案】2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，在ABO,先由面積求出 BC問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知兩邊及一夾角.求第三邊，應(yīng)用余弦定理.(三)解答題(每小題14分，共56分)1.已知 P 為

13、AB6J一點(diǎn)，且 3AP+4BP + 5CP = 0.延長(zhǎng) AP交 BC 于點(diǎn) D,若 AB = Z , AC = b ,用a、b表示向量AP、AD .【提示】注意到 BP=AP AB, CP=AP AC,由已知 3 AP + 4 BP + 5CP = 0 ,可以得到 AP 關(guān) 于a、b的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可.對(duì)于 AD,可利用AP與AD共線予以解決.【答案】. BP = AP - AB = AP - a ,CP=AP-AC = AP-b,又 3 AP+ 4BP + 5CP= 0,3 AP +4 ( AP- a) + 5(AP-b) = 0,化簡(jiǎn)，得 ap=1 a+ b. 312設(shè) AD =t A

14、P (t e R),則AD = 1t a+ tb.312又設(shè) BD = k BC (ke R),由 BC=ACAB = b a,得1-T-b-BD =k ( b a).而 aD = aB+ bD = a+ bD, , * »AD = a+k(ba)= (1 k) a + kb 由、，得1-t =1-k3 解得t5 + .t = k. 2代入，有AD=4a+5b.99主要考查了向量的加法.AD時(shí)，利用了以a、b為本題是以a、b為一組基底，尋求AP、AD關(guān)于a、b的線性分解式, 數(shù)與向量的積及運(yùn)算律，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量基本定理，求 基底的AD的分解式是唯一確定的，這是求線性分解式常用的方法.2.在 AB8, a + b =10,而cos C是方程2 x23 x 2=0的一個(gè)根，求 ABQW長(zhǎng)的最小值.【提示】三角形周長(zhǎng)為a +b + c,而a + b =10已知，故求 ABCW長(zhǎng)的最小值.就是求 C的最小值，由 方程的根可解得cos C的值，借助余弦定理得 c與a (或b)的關(guān)系，再確定 C的最小值.【答案】解方程2 x23 x 2=0,得x =2 或 x =.2.1 |cos C W 1 ,cos C =.2由余弦定理，得c2 = a2+b22 ab cos C= a2 - b2+ ab=(a + b) 2-ab,而 a + b =