高等數(shù)學(xué)之空間曲線(xiàn)及其方程

1、空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線(xiàn)的一般方程空間曲線(xiàn)的一般方程 曲線(xiàn)上的點(diǎn)都滿(mǎn)足曲線(xiàn)上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，不在曲線(xiàn)上的點(diǎn)曲線(xiàn)上，不在曲線(xiàn)上的點(diǎn)不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程.xozy1S2SC空間曲線(xiàn)空間曲線(xiàn)C可看作空間兩曲面的交線(xiàn)可看作空間兩曲面的交線(xiàn).特點(diǎn)特點(diǎn)：一、空間曲線(xiàn)的一般方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線(xiàn)？表示怎樣的曲線(xiàn)？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線(xiàn)為橢圓交

2、線(xiàn)為橢圓.例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線(xiàn)？表示怎樣的曲線(xiàn)？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線(xiàn)如圖交線(xiàn)如圖. )()()(tzztyytxx 當(dāng)給定當(dāng)給定1tt 時(shí)，就得到曲線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)時(shí)，就得到曲線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)),(111zyx，隨著參數(shù)的變化可得到曲線(xiàn)上的全，隨著參數(shù)的變化可得到曲線(xiàn)上的全部點(diǎn)部點(diǎn).空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn) 例例 3 3 如果空間一點(diǎn)如果空間一點(diǎn)M在圓柱面在圓

3、柱面222ayx 上以上以角速度角速度 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線(xiàn)速度軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線(xiàn)速度v沿平行于沿平行于z軸的正方向上升（其中軸的正方向上升（其中 、v都是常數(shù)），那么點(diǎn)都是常數(shù)），那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做構(gòu)成的圖形叫做螺旋線(xiàn)螺旋線(xiàn)試建立其參數(shù)方程試建立其參數(shù)方程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線(xiàn)的重要螺旋線(xiàn)的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz

4、上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線(xiàn)關(guān)于曲線(xiàn)關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程：設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程：以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影如圖如圖:投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程.空間曲線(xiàn)空間曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)投影柱面投影柱面類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在其他坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在

5、其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn),yoz面上的面上的投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn),xoz 00),(zyxH空間曲線(xiàn)在空間曲線(xiàn)在 面上的面上的投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)xoy例例4 4 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線(xiàn)段面上的投影為線(xiàn)段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線(xiàn)段面上的投影也為線(xiàn)段.yoz.23|,021 yxz（2）因?yàn)榍€(xiàn)在平面）因?yàn)榍€(xiàn)在平

6、面 上，上，21 z例例5 5 求求拋拋物物面面xzy 22與與平平面面 02 zyx 的的截截線(xiàn)線(xiàn)在在三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的投投影影曲曲線(xiàn)線(xiàn)方方程程.截線(xiàn)方程為截線(xiàn)方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影 ,004522 zxxyyx補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個(gè)立

7、體設(shè)一個(gè)立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線(xiàn)為半球面和錐面的交線(xiàn)為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影為面上的投影為在在則交線(xiàn)則交線(xiàn)xoyC . 0, 122zyx一個(gè)圓一個(gè)圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程四、小結(jié)四、小結(jié)空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT思考題思考題 求橢圓拋物面求橢圓拋物面zxy 222與拋物柱面與拋物柱面zx 22的交線(xiàn)關(guān)于的交線(xiàn)關(guān)于xoy面的投影柱面和面的