多元函數(shù)取得極值的條件學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件第一頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。第1頁/共21頁第二頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。必要條件若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，且 P(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)，則駐點(diǎn)充分條件若函數(shù)z= f(x,y) 在點(diǎn)P(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且存在一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又0),( 0),(0000yxfyxfyx與令則0) 1 (2 BAC時(shí)具有極值，且當(dāng)A0時(shí)有極小值。2)2(BAC 0），x是否是局部最優(yōu)解與這些非起作用約束無關(guān)。序列可行方向：第8頁/共21頁第九頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。序列可行方向的性質(zhì)

2、設(shè)ci(x)在x處可微，則證明性質(zhì)1同樣可證性質(zhì)2設(shè)fi(x)在x*處可微，且取得局部極小值，則第9頁/共21頁第十頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。必要條件說明1x2xLagrane函數(shù)KT條件等價(jià)于i稱為Lagrange乘子Lagrange乘子法x*稱為KT點(diǎn)一階條件第10頁/共21頁第十一頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。證明首先證明集合非空由于該方程組的系數(shù)矩陣的行向量組線性無關(guān)，所以該方程組有解考察方程組是SFD(x*,X)的子集第11頁/共21頁第十二頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。而SFD(x*,X)是閉集，所以S*的閉包c(diǎn)l(S*) SFD(x*,X)，即下面證明),(*);(,*

3、),()/,)(,11112211emnTTTTddDxcxcNddDNNNJdDNJ其中，第12頁/共21頁第十三頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。下面證明dcl(S*)于是 , 0*)(, 0*)(*)( 1Iixcxcxfiiiiimii且使得必存在所以定理得證第13頁/共21頁第十四頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。一階充分條件證明第14頁/共21頁第十五頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。二階條件線性化零約束方向集設(shè)x*是KT點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子，dRn。如果則稱d是在x*處的線性化零約束方向。在x*處的所有線性化零約束方向的集合記為G(x*,)序列零約束方向集設(shè)x*是KT點(diǎn)，是

4、相應(yīng)的Lagrange乘子。如果存在序列dkRn和k0(k=1,2, )使得則稱d是在x*處的序列零約束方向。在x*處的所有序列零約束方向的集合記為S(x*,)。 可證S(x*,) G(x*,)第15頁/共21頁第十六頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。二階必要條件設(shè)x*是問題（1）的局部極小點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子。則必有證明則存在序列dkRn和k0(k=1,2, )使得因此由于x*是問題（1）的局部極小點(diǎn)，對(duì)充分大的k有第16頁/共21頁第十七頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。充分條件設(shè)x*是KT點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子。如果則x*是問題（1）的局部嚴(yán)格極小點(diǎn)。證明. *,*)()(*xxxxxfxfXxxkkkk，且有使得則存在不是局部嚴(yán)格極小點(diǎn)，如果222*,*/*)(.*/*)(xxxxxxddxxxxkkkkkkk令假設(shè)第17頁/共21頁第十八頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。，由于)()*(*)()(kkkTkkkodxfdxfxf定理成立推論設(shè)x*是KT點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子。如果第18頁/共21頁第十九頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。解 作輔助函數(shù) 得唯一解 KT點(diǎn)x*=(0,0