高等數(shù)學(xué)下復(fù)習(xí)第七章

1、第七章第七章 微微 分分 方方 程程微分方程微分方程: :含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt一、微分方程的概念一、微分方程的概念微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù). .微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù). . (1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有獨(dú)立任意常數(shù)微分方程的解中含有獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .(2)(2)特解特解

2、: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解二、一階微分方程二、一階微分方程dxxfdyyg)()( 可化成形如：可化成形如：解法：解法： dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法1. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xCey ，cosxsinydycos ysinxdx 40 xy例例2 求微分方程的滿足初始條件的特解求微分方程的滿足初始條件的特

3、解 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案2.2.齊次方程齊次方程()dyyfdxx 解法：解法：,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程形如：形如：例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解22dyydxxyx 2,1yxyx ,xyu 令

4、令,udxxdudy 則則2,1uuxuu 22+.dydyyxxydxdx 例例 2 2 解方程解方程解解lnln,uuxC 微分方程的解為微分方程的解為lnyyCx1(1),dxduux練習(xí)：解微分方程練習(xí)：解微分方程 2201. 2 sin3 cos3 cos02.320,|1xyyyxydxxdyxxxyxdyxydxy 答案：答案：233221.sin2.yxCxyyx )()(xQyxPdxdy 標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)稱(chēng)為稱(chēng)為齊次的齊次的.稱(chēng)為稱(chēng)為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)3、線性微分方程、線性微分方程例如例如,2xydxdy , 32 xyyy, 1c

5、os yy線性的線性的;非線性的非線性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（1） 線性齊次方程線性齊次方程解法解法常數(shù)變易法常數(shù)變易法(使用分離變量法使用分離變量法)（2）( )( )dyP x yQ xdx ( )P x dxyu x e 令令的解，則有的解，則有),()()(xQexudxxP 為方程為方程,)()()(CdxexQxudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQ

6、eCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 2 如圖所示，平行于如圖所示，平行于 y 軸的動(dòng)直線被曲軸的動(dòng)直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊

7、求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 練習(xí)：解微分方程練習(xí)：解微分方程 201.12cos02.tansec ,|0 xxyxyxdyyxx ydx 答案：答案：2sin1.12.cosxCyxxyx ( n )yfx 1、 型型方法：兩邊積分方法：兩邊積分121ysin x.x 求求方方程程的的通通解解例例 1三、可降階的微分方程三、可降階的微分方程 yp x , yp , 代代入入原原方方程程得得

8、特點(diǎn)：特點(diǎn)：右端不顯含因變量右端不顯含因變量y解法：解法： yfx, y 2、 型型則則 pfx, p 20 xyyx.求求方方程程的的通通解解例例 2練習(xí)：求微分方程的解練習(xí)：求微分方程的解 11210 xyyyey)(ypy 設(shè)設(shè),dydPpdxdydydpy 則則代代入入原原方方程程得得特點(diǎn)：特點(diǎn)：右端不顯含自變量右端不顯含自變量 x解法：解法： yfy, y 3、 型型 dppfy, pdy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可

9、得可得.12xceCy 原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 3練習(xí)：求微分方程的解練習(xí)：求微分方程的解 002131220 xxyy, y|, y |yyy四、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)四、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個(gè)個(gè)解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常數(shù)數(shù)）問(wèn)題問(wèn)題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy說(shuō)明說(shuō)明:定理定理 2 2：

10、如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)線的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解性無(wú)關(guān)的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :定理定理 3 3 設(shè)設(shè)*y是二階非齊次線性方程是二階非齊次線性方程)2()()()(xfyxQyxPy 的一個(gè)特解的一個(gè)特解, , Y是與是與(2)(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yYy 是二階

11、非齊次線性微分方程是二階非齊次線性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個(gè)函是幾個(gè)函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理五、二階常系數(shù)線性微分方程五、二階常系數(shù)線性微分方程,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有

12、02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy1.齊次線性微分方程齊次線性微分方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrup

13、ru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根1,ri2,ri()1,ixye ()2,ixye )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為4-50yyy.求求方方程程的的通通解解解解特征方程為特征方程為24 -50rr,解得解得1215rr ，故所求通解為故所求通解為512xxyC eC e 例例1 1.044的通解的通解求方程求方程 y

14、yy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見(jiàn)下表見(jiàn)下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情

15、況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案)(xfqyypy 2. 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*,yYy(1)( )( )xmf xePx 設(shè)非齊次方程特解為設(shè)非齊次方程特解為*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp

16、 ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設(shè)可設(shè)*( );xmyQx e *( );xmyxQx e 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設(shè)設(shè)綜上討論綜上討論*( ),kxmyx eQx 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k2*( ).xmyx Qx e .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY

17、是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1(1)(2)*( )cos( )sin,kxmmyx eRxxRxx 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 01ik,i ，不不是是特特征征方方程程的的根根，是是特特征征方方程程的的根根( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx (2)型(2)型.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4jxeyy ,是是單單根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21x