浙江專用高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案新人教A版必修20502136

1、1第三章第三章 直線與方程直線與方程章末復(fù)習(xí)課1.直線的傾斜角與斜率(1)傾斜角與斜率從“形”和“數(shù)”兩方面刻畫了直線的傾斜程度，但傾斜角是角度(0180)， 是傾斜度的直接體現(xiàn)； 斜率k是實數(shù)(k(， )， 是傾斜程度的間接反映.在解題的過程中，用斜率往往比用傾斜角更方便.(2)傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系：當90時，直線的斜率不存在；當90時，斜率ktan，且經(jīng)過兩點a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率kaby2y1x2x1.(3)當由 090180(不含 180)變化時，k由 0(含 0)逐漸增大到(不存在)，然后由(不存在)逐漸增大到 0(不含 0).2.直線的五種方程

2、及比較名稱方程常數(shù)的幾何意義適用條件點斜式y(tǒng)y0k(xx0)(x0，y0)是直線上的一個定點，k是斜率直線不垂直于x軸斜截式y(tǒng)kxbk是斜率，b是直線在y軸上的截距直線不垂直于x軸2兩點式y(tǒng)y1y2y1xx1x2x1(x1，y1)，(x2，y2)是直線上的兩個定點直線不垂直于x軸和y軸截距式xayb1a，b分別是直線在x軸，y軸上的非零截距直線不垂直于x軸和y軸，且不過原點一般式axbyc0(a，b不同時為 0)a，b，c為系數(shù)任何情況特殊直線xa(y軸：x0)垂直于x軸且過點(a，0)斜率不存在yb(x軸：y0)垂直于y軸且過點(0，b)斜率k0解題時要根據(jù)題目條件靈活選擇，注意其適用條件：

3、點斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直線，兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直和過原點的直線，一般式雖然可以表示任何直線，但要注意a2b20，必要時要對特殊情況進行討論.3.兩直線的平行與垂直直線方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行的等價條件l1l2k1k2且b1b2l1l2a1b2a2b10，且b1c2b2c10(或a1c2a2c10)垂直的等價條件l1l2k1k21l1l2a1a2b2b10由兩直線的方程判斷兩條直線是否平行或垂直時，要注意條件的限制；同時已知平行或垂直關(guān)系求直線的方程或確定方程的系數(shù)關(guān)系時，

4、要根據(jù)題目條件設(shè)出合理的直線方程.4.距離問題類型已知條件公式兩點間的距離a(x1，y1)，b(x2，y2)d （x2x1）2（y2y1）2點到直線的距離p(x0，y0)l：axbyc0d|ax0by0c|a2b2兩條平行直線間的距離l1：axbyc10，l2：axbyc20 (a，b不同時為 0)d|c2c1|a2b2學(xué)習(xí)時要注意特殊情況下的距離公式，并注意利用它的幾何意義，解題時往往將代數(shù)運算與幾何圖形直觀分析相結(jié)合.5.直線系方程直線系方程是解析幾何中直線方程的基本內(nèi)容之一， 它把具有某一共同性質(zhì)的直線族表示成一個含參數(shù)的方程，然后根據(jù)直線所滿足的其他條件確定出參數(shù)的值，進而求出直線方程

5、.直線系方程的常見類型有：(1)過定點p(x0，y0)的直線系方程是：yy0k(xx0)(k是參數(shù)， 直線系中未包括直線xx0)，3也就是平常所提到的直線的點斜式方程；(2)平行于已知直線axbyc0 的直線系方程是：axby0(是參數(shù)，c)；(3)垂直于已知直線axbyc0 的直線系方程是：bxay0(是參數(shù))；(4)過兩條已知直線l1：a1xb1yc10 和l2：a2xb2yc20 的交點的直線系方程是：a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(是參數(shù)，當0 時，方程變?yōu)閍1xb1yc10，恰好表示直線l1；當0 時，方程表示過直線l1和l2的交點，但不含直線l2).6.“對稱”問題的解題策

6、略對稱問題主要有兩大類：一類是中心對稱，一類是軸對稱.(1)中心對稱兩點關(guān)于點對稱，設(shè)p1(x1，y1)，p(a，b)，則p1(x1，y1)關(guān)于p(a，b)對稱的點為p2(2ax1，2by1)，即p為線段p1p2的中點.特別地，p(x，y)關(guān)于原點對稱的點為p(x，y).兩直線關(guān)于點對稱，設(shè)直線l1，l2關(guān)于點p對稱，這時其中一條直線上任一點關(guān)于點p對稱的點在另一條直線上，并且l1l2，p到l1，l2的距離相等.(2)軸對稱兩點關(guān)于直線對稱，設(shè)p1，p2關(guān)于直線l對稱，則直線p1p2與l垂直，且線段p1p2的中點在l上，這類問題的關(guān)鍵是由“垂直”和“平分”列方程.兩直線關(guān)于直線對稱，設(shè)l1，l

7、2關(guān)于直線l對稱.當三條直線l1，l2，l共點時，l上任意一點到l1，l2的距離相等，并且l1，l2中一條直線上任意一點關(guān)于l對稱的點在另外一條直線上；當l1l2l時，l1與l間的距離等于l2與l間的距離.方法一分類討論思想分類討論思想其實質(zhì)就是將整體問題化為部分問題來解決.在解題過程中，需選定一個標準，根據(jù)這個標準劃分成幾個能用不同形式解決的小問題，從而使問題得到解決.在本章中涉及到分類討論的問題主要是由直線的斜率是否存在及直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式的局限性引起的分類討論問題.【例 1】 設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(ar r)在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程.解當 2

8、a0，即a2 時，直線經(jīng)過原點，滿足條件，此時直線的方程為：3xy0.當a1 時，直線在x軸上無截距，不符合題意，故當a1 且a2 時，由題意得：a2a1a2，解得：a0.4此時直線的方程為：xy20.綜上，所求直線方程為 3xy0 或xy20.【訓(xùn)練 1】 直線l經(jīng)過點p(2，3)，且在x，y軸上的截距互為相反數(shù)，試求該直線的方程.解當截距都為 0 時，直線過原點，此時k32，所以直線方程為y32x.當截距都不為 0 時，根據(jù)題意，設(shè)所求直線的方程為xaya1.直線過點p(2，3)，2a3a1，得a1.直線方程xy10.綜上，所求直線方程為xy10 或y32x.方法二數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)形結(jié)合”

9、是把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何上的“形”結(jié)合起來認識問題、 理解問題并解決問題的思維方法，是人們一種普遍思維習(xí)慣在數(shù)學(xué)上的具體表現(xiàn).數(shù)形結(jié)合一般包括兩個方面，即以“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”解“形”.數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何的靈魂， 兩點間的距離公式和點到直線的距離公式是數(shù)形結(jié)合常見的結(jié)合點，常用這兩個公式把抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，也能把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.用數(shù)形結(jié)合思想解題，主要通過三種途徑：坐標系；轉(zhuǎn)化；構(gòu)造圖形，構(gòu)造函數(shù).【例 2】 已知f(x)|x22x3x24x10|，求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值.解由題意，得f(x)|x22x3x24x10| （x1）2（0 2）2（x

10、2）2（0 6）2|.如圖所示，在直角坐標平面內(nèi)，設(shè)點p(x，0)，a(1， 2)，b(2， 6).f(x)|pa|pb|ab|，當p，a，b三點共線時，等號成立，此時21x6 221，x62 26 21 32.故當x1 32時，f(x)max 94 3.【訓(xùn)練 2】 過點m(0，3)的直線l與以點a(3，0)、b(4，1)為端點的線段ab有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍.5解如圖， 直線l過點a(3， 0)時， 就是直線ma， 傾斜角1為最小， 此時有 tan10（3）301，14.直線l過點b(4，1)時，就是直線mb，傾斜角2為最大，此時有 tan21（3）401，234.故直線l過

11、點m，并繞m轉(zhuǎn)動時，傾斜角的取值范圍是4，34.當2時，直線l無斜率；當4，2 時，直線l的斜率ktan1，)；當2，34時，直線l的斜率ktan(，1.直線l的斜率k的取值范圍是(，11，).方法三轉(zhuǎn)化與化歸思想把代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化，可使較繁問題直觀化、具體化、簡單化，從而使問題快速得到解決.【例 3】 在直線 2x3y6 上求一點p(x，y)，使sxy的值最大.解點p(x，y)在 2x3y60 上，y62x3.sxyx（62x）313(2x26x)23x32232.當x32時，s取最大值，此時y1，即點p為32，1.【訓(xùn)練 3】 已知在abc中，a(1，1)，b(m，m)，c(

12、4，2)，其中 1m4，求m為何值時，abc的面積s最大？解a(1，1)，c(4，2)，|ac| （41）2（21）2 10.又直線ac的方程為x3y20，6點b(m，m)到直線ac的距離d|m3m2|10.s12|ac|d12|m3m2|12|m32214|.1m4，1m2，12m3212，0m32214.0s18，當m320，即m94時s取得最大值.方法四待定系數(shù)法(1)求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化，能根據(jù)條件靈活選用方程，當不能確定某種方程條件具備時要另行討論條件不滿足的情況.(2)運用直線系方程的主要作用在于能使計算簡單.【例 4】 過點

13、p(1，0)，q(0，2)分別作兩條互相平行的直線，使它們在x軸上截距之差的絕對值為 1，求這兩條直線的方程.解(1)當兩條直線的斜率不存在時，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們在x軸上截距之差的絕對值為 1，滿足題意；(2)當直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，ykx2.令y0，分別得x1，x2k.由題意得|12k|1，即k1.則直線的方程為yx1，yx2，即xy10，xy20.綜上可知，所求的直線方程為x1，x0，或xy10，xy20.【訓(xùn)練 4】 求經(jīng)過兩直線l1：3x4y20 和l2：2xy20 的交點且過坐標原點的直線l的方程.解l2不過原點，可設(shè)l

14、的方程為 3x4y2(2xy2)0(r r)，即(32)x(4)y220.將原點坐標(0，0)代入上式，得1，直線l的方程為 5x5y0，即xy0.1.(2013安徽高考)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間a，b上可找到n(n2)個不同的7數(shù)x1，x2，xn，使得f（x1）x1f（x2）x2f（xn）xn，則n的取值范圍為()a.3，4b.2，3，4c.3，4，5d.2，3解析由題意，函數(shù)yf(x)上的任一點坐標為(x，f(x)，故f（x）x表示曲線上任一點與坐標原點連線的斜率.若f（x1）x1f（x2）x2f（xn）xn，則曲線上存在n個點與原點連線的斜率相等，即過原點的直線與曲線yf(x)有n個交點.如圖，數(shù)形結(jié)合可得n的取值可為 2，3，4.答案b2.(2013四川高考)在平面直角坐標