浙江專用高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案新人教A版必修20502136

1、1第三章第三章 直線與方程直線與方程章末復(fù)習(xí)課1.直線的傾斜角與斜率(1)傾斜角與斜率從“形”和“數(shù)”兩方面刻畫了直線的傾斜程度，但傾斜角是角度(0180)， 是傾斜度的直接體現(xiàn)； 斜率k是實(shí)數(shù)(k(， )， 是傾斜程度的間接反映.在解題的過(guò)程中，用斜率往往比用傾斜角更方便.(2)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)90時(shí)，直線的斜率不存在；當(dāng)90時(shí)，斜率ktan，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率kaby2y1x2x1.(3)當(dāng)由 090180(不含 180)變化時(shí)，k由 0(含 0)逐漸增大到(不存在)，然后由(不存在)逐漸增大到 0(不含 0).2.直線的五種方程

2、及比較名稱方程常數(shù)的幾何意義適用條件點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)(x0，y0)是直線上的一個(gè)定點(diǎn)，k是斜率直線不垂直于x軸斜截式y(tǒng)kxbk是斜率，b是直線在y軸上的截距直線不垂直于x軸2兩點(diǎn)式y(tǒng)y1y2y1xx1x2x1(x1，y1)，(x2，y2)是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)直線不垂直于x軸和y軸截距式xayb1a，b分別是直線在x軸，y軸上的非零截距直線不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式axbyc0(a，b不同時(shí)為 0)a，b，c為系數(shù)任何情況特殊直線xa(y軸：x0)垂直于x軸且過(guò)點(diǎn)(a，0)斜率不存在yb(x軸：y0)垂直于y軸且過(guò)點(diǎn)(0，b)斜率k0解題時(shí)要根據(jù)題目條件靈活選擇，注意其適用條件：

3、點(diǎn)斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直線，兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直和過(guò)原點(diǎn)的直線，一般式雖然可以表示任何直線，但要注意a2b20，必要時(shí)要對(duì)特殊情況進(jìn)行討論.3.兩直線的平行與垂直直線方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行的等價(jià)條件l1l2k1k2且b1b2l1l2a1b2a2b10，且b1c2b2c10(或a1c2a2c10)垂直的等價(jià)條件l1l2k1k21l1l2a1a2b2b10由兩直線的方程判斷兩條直線是否平行或垂直時(shí)，要注意條件的限制；同時(shí)已知平行或垂直關(guān)系求直線的方程或確定方程的系數(shù)關(guān)系時(shí)，

4、要根據(jù)題目條件設(shè)出合理的直線方程.4.距離問(wèn)題類型已知條件公式兩點(diǎn)間的距離a(x1，y1)，b(x2，y2)d （x2x1）2（y2y1）2點(diǎn)到直線的距離p(x0，y0)l：axbyc0d|ax0by0c|a2b2兩條平行直線間的距離l1：axbyc10，l2：axbyc20 (a，b不同時(shí)為 0)d|c2c1|a2b2學(xué)習(xí)時(shí)要注意特殊情況下的距離公式，并注意利用它的幾何意義，解題時(shí)往往將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形直觀分析相結(jié)合.5.直線系方程直線系方程是解析幾何中直線方程的基本內(nèi)容之一， 它把具有某一共同性質(zhì)的直線族表示成一個(gè)含參數(shù)的方程，然后根據(jù)直線所滿足的其他條件確定出參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線方程

5、.直線系方程的常見(jiàn)類型有：(1)過(guò)定點(diǎn)p(x0，y0)的直線系方程是：yy0k(xx0)(k是參數(shù)， 直線系中未包括直線xx0)，3也就是平常所提到的直線的點(diǎn)斜式方程；(2)平行于已知直線axbyc0 的直線系方程是：axby0(是參數(shù)，c)；(3)垂直于已知直線axbyc0 的直線系方程是：bxay0(是參數(shù))；(4)過(guò)兩條已知直線l1：a1xb1yc10 和l2：a2xb2yc20 的交點(diǎn)的直線系方程是：a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(是參數(shù)，當(dāng)0 時(shí)，方程變?yōu)閍1xb1yc10，恰好表示直線l1；當(dāng)0 時(shí)，方程表示過(guò)直線l1和l2的交點(diǎn)，但不含直線l2).6.“對(duì)稱”問(wèn)題的解題策

6、略對(duì)稱問(wèn)題主要有兩大類：一類是中心對(duì)稱，一類是軸對(duì)稱.(1)中心對(duì)稱兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)p1(x1，y1)，p(a，b)，則p1(x1，y1)關(guān)于p(a，b)對(duì)稱的點(diǎn)為p2(2ax1，2by1)，即p為線段p1p2的中點(diǎn).特別地，p(x，y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為p(x，y).兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線l1，l2關(guān)于點(diǎn)p對(duì)稱，這時(shí)其中一條直線上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)p對(duì)稱的點(diǎn)在另一條直線上，并且l1l2，p到l1，l2的距離相等.(2)軸對(duì)稱兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)p1，p2關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線p1p2與l垂直，且線段p1p2的中點(diǎn)在l上，這類問(wèn)題的關(guān)鍵是由“垂直”和“平分”列方程.兩直線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)l1，l

7、2關(guān)于直線l對(duì)稱.當(dāng)三條直線l1，l2，l共點(diǎn)時(shí)，l上任意一點(diǎn)到l1，l2的距離相等，并且l1，l2中一條直線上任意一點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)在另外一條直線上；當(dāng)l1l2l時(shí)，l1與l間的距離等于l2與l間的距離.方法一分類討論思想分類討論思想其實(shí)質(zhì)就是將整體問(wèn)題化為部分問(wèn)題來(lái)解決.在解題過(guò)程中，需選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分成幾個(gè)能用不同形式解決的小問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決.在本章中涉及到分類討論的問(wèn)題主要是由直線的斜率是否存在及直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的局限性引起的分類討論問(wèn)題.【例 1】 設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(ar r)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.解當(dāng) 2

8、a0，即a2 時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，滿足條件，此時(shí)直線的方程為：3xy0.當(dāng)a1 時(shí)，直線在x軸上無(wú)截距，不符合題意，故當(dāng)a1 且a2 時(shí)，由題意得：a2a1a2，解得：a0.4此時(shí)直線的方程為：xy20.綜上，所求直線方程為 3xy0 或xy20.【訓(xùn)練 1】 直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(2，3)，且在x，y軸上的截距互為相反數(shù)，試求該直線的方程.解當(dāng)截距都為 0 時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)k32，所以直線方程為y32x.當(dāng)截距都不為 0 時(shí)，根據(jù)題意，設(shè)所求直線的方程為xaya1.直線過(guò)點(diǎn)p(2，3)，2a3a1，得a1.直線方程xy10.綜上，所求直線方程為xy10 或y32x.方法二數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)形結(jié)合”

9、是把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何上的“形”結(jié)合起來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題、 理解問(wèn)題并解決問(wèn)題的思維方法，是人們一種普遍思維習(xí)慣在數(shù)學(xué)上的具體表現(xiàn).數(shù)形結(jié)合一般包括兩個(gè)方面，即以“形”助“數(shù)”和以“數(shù)”解“形”.數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何的靈魂， 兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式是數(shù)形結(jié)合常見(jiàn)的結(jié)合點(diǎn)，常用這兩個(gè)公式把抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決，也能把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.用數(shù)形結(jié)合思想解題，主要通過(guò)三種途徑：坐標(biāo)系；轉(zhuǎn)化；構(gòu)造圖形，構(gòu)造函數(shù).【例 2】 已知f(x)|x22x3x24x10|，求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值.解由題意，得f(x)|x22x3x24x10| （x1）2（0 2）2（x

10、2）2（0 6）2|.如圖所示，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)p(x，0)，a(1， 2)，b(2， 6).f(x)|pa|pb|ab|，當(dāng)p，a，b三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)21x6 221，x62 26 21 32.故當(dāng)x1 32時(shí)，f(x)max 94 3.【訓(xùn)練 2】 過(guò)點(diǎn)m(0，3)的直線l與以點(diǎn)a(3，0)、b(4，1)為端點(diǎn)的線段ab有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.5解如圖， 直線l過(guò)點(diǎn)a(3， 0)時(shí)， 就是直線ma， 傾斜角1為最小， 此時(shí)有 tan10（3）301，14.直線l過(guò)點(diǎn)b(4，1)時(shí)，就是直線mb，傾斜角2為最大，此時(shí)有 tan21（3）401，234.故直線l過(guò)

11、點(diǎn)m，并繞m轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傾斜角的取值范圍是4，34.當(dāng)2時(shí)，直線l無(wú)斜率；當(dāng)4，2 時(shí)，直線l的斜率ktan1，)；當(dāng)2，34時(shí)，直線l的斜率ktan(，1.直線l的斜率k的取值范圍是(，11，).方法三轉(zhuǎn)化與化歸思想把代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化，可使較繁問(wèn)題直觀化、具體化、簡(jiǎn)單化，從而使問(wèn)題快速得到解決.【例 3】 在直線 2x3y6 上求一點(diǎn)p(x，y)，使sxy的值最大.解點(diǎn)p(x，y)在 2x3y60 上，y62x3.sxyx（62x）313(2x26x)23x32232.當(dāng)x32時(shí)，s取最大值，此時(shí)y1，即點(diǎn)p為32，1.【訓(xùn)練 3】 已知在abc中，a(1，1)，b(m，m)，c(

12、4，2)，其中 1m4，求m為何值時(shí)，abc的面積s最大？解a(1，1)，c(4，2)，|ac| （41）2（21）2 10.又直線ac的方程為x3y20，6點(diǎn)b(m，m)到直線ac的距離d|m3m2|10.s12|ac|d12|m3m2|12|m32214|.1m4，1m2，12m3212，0m32214.0s18，當(dāng)m320，即m94時(shí)s取得最大值.方法四待定系數(shù)法(1)求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化，能根據(jù)條件靈活選用方程，當(dāng)不能確定某種方程條件具備時(shí)要另行討論條件不滿足的情況.(2)運(yùn)用直線系方程的主要作用在于能使計(jì)算簡(jiǎn)單.【例 4】 過(guò)點(diǎn)

13、p(1，0)，q(0，2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為 1，求這兩條直線的方程.解(1)當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別為x1，x0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為 1，滿足題意；(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x1)，ykx2.令y0，分別得x1，x2k.由題意得|12k|1，即k1.則直線的方程為yx1，yx2，即xy10，xy20.綜上可知，所求的直線方程為x1，x0，或xy10，xy20.【訓(xùn)練 4】 求經(jīng)過(guò)兩直線l1：3x4y20 和l2：2xy20 的交點(diǎn)且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l的方程.解l2不過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)l

14、的方程為 3x4y2(2xy2)0(r r)，即(32)x(4)y220.將原點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)代入上式，得1，直線l的方程為 5x5y0，即xy0.1.(2013安徽高考)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間a，b上可找到n(n2)個(gè)不同的7數(shù)x1，x2，xn，使得f（x1）x1f（x2）x2f（xn）xn，則n的取值范圍為()a.3，4b.2，3，4c.3，4，5d.2，3解析由題意，函數(shù)yf(x)上的任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，f(x)，故f（x）x表示曲線上任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.若f（x1）x1f（x2）x2f（xn）xn，則曲線上存在n個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率相等，即過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線yf(x)有n個(gè)交點(diǎn).如圖，數(shù)形結(jié)合可得n的取值可為 2，3，4.答案b2.(2013四川高考)在平面直角坐標(biāo)