應(yīng)用多元統(tǒng)計分析課后習題答案高惠璇(第三章部分習題解答)

1、應(yīng)用多元統(tǒng)計分析應(yīng)用多元統(tǒng)計分析第三章習題解答第三章習題解答2第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗 3-1 3-1 設(shè)設(shè)XNn( (,2 2In), ), A為對稱冪等為對稱冪等陣陣, ,且且rk(rk(A)=)=r(rn), ,證明證明 證明證明 因因A為對稱冪等陣，而對稱冪等陣的為對稱冪等陣，而對稱冪等陣的特征值非特征值非0 0即即1,1,且只有且只有r個非個非0 0特征值，即存在正特征值，即存在正交陣交陣(其列向量其列向量ri為相應(yīng)特征向量為相應(yīng)特征向量) )，使，使3第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗4其中非中心參數(shù)為其中非中心參數(shù)

2、為第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗53-2 3-2 設(shè)設(shè)XN Nn n( (,2In),), A，B為為n階對稱陣階對稱陣. .若若AB 0 ,0 ,證明證明XAX與與XBX相互獨立相互獨立. . 證明的思路：證明的思路：記記rk(rk(A)=)=r. . 因因A為為n階對稱陣階對稱陣, ,存在正交陣存在正交陣,使得使得 A=diag(=diag(1,1,r 0,.,0)0,.,0) 令令YX，則，則YNn( (,2In),), 第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗且且riiiYAYAYAXX12)(6 又因為又因為 XBX= =YB Y= =

3、YHY其中其中H=B 。如果能夠證明。如果能夠證明XBX可表示為可表示為Yr+1+1，,Yn的函數(shù)，即的函數(shù)，即H只是右只是右下子塊為非下子塊為非0的矩陣。的矩陣。則則XAX 與與XBX相互獨立。相互獨立。第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗7 證明證明 記記rk(rk(A)=)=r. . 若若r=n, ,由由ABO, ,知知B Onn, ,于是于是XAX與與XBX獨立；獨立； 若若r=0=0時時, ,則則A0,0,則兩個二次型也是獨則兩個二次型也是獨立的立的. . 以下設(shè)以下設(shè)0 0rn.因因A為為n階對稱陣階對稱陣, ,存在正存在正交陣交陣,使得使得第三章第三章 多元

4、正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗8 其中其中i00為為A的特征值的特征值( (i=1,=1,r).).于是于是令令r第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 由由ABO可得可得DrH1111O ， DrH1212O . .因因Dr為滿秩陣為滿秩陣, ,故有故有H1111Orr，H1212Or(n-r) . . 由于由于H為對稱陣，所以為對稱陣，所以H2121O(n-r)r . .于是于是9 由于由于Y1 1，,Yr , ,Yr+1 ,Yn相互獨立，故相互獨立，故XAX與與XBX相互獨立相互獨立. .第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗令令YX，則

5、，則Y N Nn( (,2In),), 且且riiiYAYAYAXX12)(nrnrYYHYYHYYBYBXX1221),(BH10 設(shè)設(shè)XN Np( (,),0,0,A和和B為為p階對稱陣階對稱陣, ,試證明試證明 ( (X- -)A( (X- -)與與( (X- -)B(X-)相互相互獨立獨立 AB0 0pp. .第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗3-3)(記1212111由由“1.1.結(jié)論結(jié)論6”6”知知與與相互獨立相互獨立 第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗OBAOBAOCD2121212112 性質(zhì)性質(zhì)4 4 分塊分塊Wishart矩陣

6、的分布矩陣的分布:設(shè)設(shè)X() Np(0,) (1,n)相互獨立，其中相互獨立，其中又已知隨機矩陣又已知隨機矩陣則則rpr22211211),(W222112111)()(nrprWWWWXXWpn第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗試證明試證明Wishart分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)(4)和和T2分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)(5).3-413第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗證明證明: 設(shè)設(shè) )()2(| ) 1 (rpnrnijpnXXxX), 0(), 0(則,22)2()(11)1()()2()()1()()(rprNXNXrprXXX記記, 則則,)2(

7、)2() 1 ()2()2() 1 () 1 () 1 (22211211WWWWXXXXXXXXXXW)2()2(),1 () 1 (2211XXWXXW即即14第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗).,()()2()2(122)2()()2()(22nrpnWXXXXW當當12 =O 時時,對對1,2,n, 相互相互 獨立獨立.故有故有W11與與W22相互獨立相互獨立.)2()()1()(與XX);,()() 1 () 1 (111)1()()1()(11nrnWXXXXW由定義由定義3.1.4可知可知15 性質(zhì)性質(zhì)5 在非退化的線性變換下在非退化的線性變換下,T2統(tǒng)

8、計量保持不統(tǒng)計量保持不變變. 證明證明:設(shè)設(shè)X() (1,n) 是來自是來自p元總體元總體Np(,)的隨機樣本的隨機樣本, X和和Ax分別表示正態(tài)總體分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和離差陣的樣本均值向量和離差陣,則由性質(zhì)則由性質(zhì)1有有).1,()()(1(212npTXAXnnTxx第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗令令( )( )(1,., )iiYCXd in其中其中C是是p p非退化常數(shù)矩陣，非退化常數(shù)矩陣，d是是p 1常向量。常向量。則則),.,2 , 1(),()(niCCdCNYpi1622xyTT21112)()(1()()(1()()(1(xxxyyy

9、yTXAXnnXCCCACXnnYAYnnT第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗,dXCYCCACXXXXCYYYYAxiniiiniiy)( )()( )()(1)()(1)(所以所以dCy記17第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗3-5 對單個p維正態(tài)總體Np(,)均值向量的檢驗問題，試用似然比原理導出檢驗H0:=0(=0已知)的似然比統(tǒng)計量及分布. 解解:總體總體XN Np p(,(,0 0)()(0 00),0),設(shè)設(shè)X() )(=1,(=1,n) ) ( (np) )為來自為來自p維正態(tài)總體維正態(tài)總體X的樣本的樣本. .似然比統(tǒng)計量為似然比

10、統(tǒng)計量為),(max),(max0000LLnnXX10)(100)(2/0)()(21exp|2|1分子nnXX10)(0)(102/0)(tr21exp|2|1P66當當=0已知已知的檢驗的檢驗18第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗tr21exp|2|1分子0102/0An),(max),(分母00LXLnnXXXX1)(10)(2/0)()(21exp|2|1nnXXXX1)()(102/0)(tr21exp|2|1tr21exp|2|1102/0An19第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗),(max),(max0000LL21tr21tr

11、exp01010AA)(21tr21trexp001010XXnAA)()(tr2exp0100XXn)()(2exp0100XXn20第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗)()(2ln0100XXndef0100)()(ln2XXn), 0()(),1,(0下000下00pHpHNXnnNX).(ln22p因因所以由所以由3“一一2.的結(jié)論的結(jié)論1”可知可知21第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 3-6 ( (均值向量各分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗均值向量各分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗) ) 設(shè)總體設(shè)總體XN Np p(,)(,)(0),0),X() )(1,1

12、,n)()(np) )為為來自來自p維正態(tài)總體維正態(tài)總體X X的樣本，記的樣本，記(1 1,p).).C為為kp常數(shù)常數(shù)( (k p),rank(),rank(C)=)=k, ,r為已知為已知k維向量維向量. .試給出試給出檢驗檢驗H H0 0:C:Cr的檢驗統(tǒng)計量及分布的檢驗統(tǒng)計量及分布. .解：解：令令), 2 , 1()()(nCXY則則Y() )(1,1,n) 為來自為來自k維正態(tài)總體維正態(tài)總體Y的樣本，且的樣本，且.,記);,(y)(CCCCCCNYyk22第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗rHrCHy:00檢驗檢驗這是單個這是單個k維正態(tài)總體均值向量的檢驗問

13、維正態(tài)總體均值向量的檢驗問題題.利用利用3.2當當y = CC未知時均值向未知時均值向量的檢驗給出的結(jié)論量的檢驗給出的結(jié)論, ,取檢驗統(tǒng)計量取檢驗統(tǒng)計量: :),() 1(02knkFTknknFH下).()() 1().()() 1(其中112rXCCCArXCnnrYArYnnTy. )( )()(1)(XXXXAinii23第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 3-7 設(shè)總體設(shè)總體XNp(，) (0), X() ) (1,n)(np)為來自為來自p維正態(tài)總體維正態(tài)總體X的樣本，樣本均值為的樣本，樣本均值為X，樣本離差陣為，樣本離差陣為A.記記(1 1,p p).為檢

14、驗為檢驗H0 0:1 1=2 2=p p ,H1 1:1 1,2 2,p p至少有一對不至少有一對不相等相等.令令,100101010011)1(ppC則上面的假設(shè)等價于則上面的假設(shè)等價于H0 0：C=0p-1,H1 1：C 0p-1試求檢驗試求檢驗H0 的似然比統(tǒng)計量和分布的似然比統(tǒng)計量和分布.解：解：ppHH,:,:211210至少有一對不相等至少有一對不相等.24第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗利用利用3-6的結(jié)果知，檢驗的結(jié)果知，檢驗H0的似然比統(tǒng)計量及分的似然比統(tǒng)計量及分布為：布為：, 0:, 0:10CHCH下0) 1)(1() 1(2HTpnpnF),1

15、, 1(pnpF其中其中).(1, 1()() 1(0212下HpnTXCCCAXCnnT(注意注意:3-6中的中的k在這里為在這里為p-1)25第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗 3-8 假定人體尺寸有這樣的一般規(guī)律假定人體尺寸有這樣的一般規(guī)律:身高身高(X1),胸圍胸圍(X2)和上半臂圍和上半臂圍(X3)的平均尺寸比例是的平均尺寸比例是6 4 1.假設(shè)假設(shè)X ()(1,n)為來自總體為來自總體X=(X1,X2,X3)的隨機樣本的隨機樣本.并并設(shè)設(shè)XN3(,)，試利用表，試利用表3.5中男嬰這一組數(shù)據(jù)檢驗三中男嬰這一組數(shù)據(jù)檢驗三個尺寸個尺寸(變量變量)是否符合這一規(guī)律

16、是否符合這一規(guī)律(寫出假設(shè)寫出假設(shè)H0,并導出檢并導出檢驗統(tǒng)計量驗統(tǒng)計量). 解：解：檢驗三個尺寸檢驗三個尺寸(變量變量)是否符合這一規(guī)律的問題是否符合這一規(guī)律的問題可提成假設(shè)檢驗問題可提成假設(shè)檢驗問題.因為因為01:4:6:321C其中其中,41060132C.040614,1632313231且注意注意:26第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗, 0:, 0:10CHCH檢驗的假設(shè)檢驗的假設(shè)H0為為410032或,601032或CC 利用利用3-6的結(jié)論，取檢驗統(tǒng)計量為：的結(jié)論，取檢驗統(tǒng)計量為：)2, 2() 1(2202nFTnnFH 下.)() 1(12XCCXA

17、XCnnT由男嬰測量數(shù)據(jù)由男嬰測量數(shù)據(jù)(p=3,n=6)計算可得計算可得 T2=47.1434, F=18.8574, p值值=0.0091950未知未知.檢驗檢驗H0似然比統(tǒng)似然比統(tǒng)計量為計量為21)()()()(1)()()2 , 1()(nnniXXXXAiiiniii記記,1),2 , 1(1211)()(1)()()(ininiiiiiXnXiXnX記其中其中)()(iX31第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗為且最大 值,達最大,分子當nBAnTX222|)2()nnpnpTennTXL，（其中其中 A=A1+A2稱為組內(nèi)離差陣稱為組內(nèi)離差陣.B稱為組間離差陣

18、稱為組間離差陣. )( )()()(211)()(XXXXTijinjijkBAXXXXnAiiiiii21)()(21)(32第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗222)2()1(|)2(),nnpnpAennAXXL，（為母且最大 值,達最大,當分)2()2()1()1(nAXX2/2/2/2/|nnnnBAATA)()()2()1()2()1(2121)()(XXXXnnnAXXXXnABATiiii因為因為似然比統(tǒng)計量似然比統(tǒng)計量33第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗)()(1 |1)()(|)(|)2()1(1)2()1(21)2()1(

19、21)2()1(21)2()1()2()1(21XXAXXnnnAXXnnnXXnnnAXXXXnnnAT)()(11|)2()1(1)2()1(21XXAXXnnnTA所以所以34第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗), 0()(0)2()1(21pHNXXnnn下)(), 2(2121nnnnWAAAp由定義由定義3.1.5可知可知)2,()()()2(2)2()1(1)2()1(212npTXXAXXnnnnT,2111|2TnTA由由1212Tn或或由于由于35第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗可取檢驗統(tǒng)計量為可取檢驗統(tǒng)計量為) 1,(11

20、21)2(02pnpFppnnTppnFH 下檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0的否定域為的否定域為22FFTT36第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗3-11 表表3.5給出給出15名名2周歲嬰兒的身高周歲嬰兒的身高(X1)，胸圍，胸圍(X2)和和上半臂圍上半臂圍(X3)的測量數(shù)據(jù)的測量數(shù)據(jù).假設(shè)男嬰的測量數(shù)據(jù)假設(shè)男嬰的測量數(shù)據(jù)X()(1,6)為來自總體為來自總體N3( (1)，)的隨機樣本的隨機樣本.女嬰的測女嬰的測量數(shù)據(jù)量數(shù)據(jù)Y() (1,9)為來自總體為來自總體N3 (2)，)的隨機樣的隨機樣本本.試利用表試利用表3.5中的數(shù)據(jù)檢驗中的數(shù)據(jù)檢驗H0:(1) =(2) (=0.0

21、5). 解解:這是兩總體均值向量的檢驗問題這是兩總體均值向量的檢驗問題. 檢驗統(tǒng)檢驗統(tǒng)計量取為計量取為(p=3,n=6,m=9):) 1,()2(102pmnpFTpmnpmnFH 下37第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗其中其中)()()()2(1212YXAAYXmnnmmnT)()()(1121YXAAYXmnnmppmnF故檢驗統(tǒng)計量為故檢驗統(tǒng)計量為用觀測數(shù)據(jù)代入計算可得用觀測數(shù)據(jù)代入計算可得:05. 02693. 0,4982. 1,3117. 52pFT故故H0相容相容.顯著性概率值顯著性概率值38 第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗

22、 3-12 3-12 在地質(zhì)勘探中，在在地質(zhì)勘探中，在A A、B B、C C三個地區(qū)采集了一些巖石，三個地區(qū)采集了一些巖石，測其部分化學成分見表測其部分化學成分見表.假定這三個地區(qū)巖石的成分遵從假定這三個地區(qū)巖石的成分遵從N N3 3( ( (i i) )，i i)()(i1 1，2 2，3)(=0.05).3)(=0.05). (1) (1) 檢驗檢驗H0H0：1 12 23 3；H1H1：1 1,2 2,3 3不全等不全等; ; (2) (2) 檢驗檢驗H0H0：(1)(1)(2)(2),H1,H1：(1)(1)(2)(2); ; (3) (3) 檢驗檢驗H0:H0:(1)

23、(1) (2)(2)(3)(3),H1:,H1:存在存在ij,ij,使使(i)(i)(j)(j); ; (4) (4) 檢驗三種化學成分相互獨立檢驗三種化學成分相互獨立. . 解解:(4)設(shè)來自三個總體的樣本為設(shè)來自三個總體的樣本為(p=3,k=3), 1;, 1(),()()()(ttptiniktNX.,:H, 0:檢驗H23131212313120不全相等檢驗檢驗H0的似然比統(tǒng)計量為的似然比統(tǒng)計量為),(max),(max)(,)(,)()(iiiiLLiiii39第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗似然比統(tǒng)計量的分子為似然比統(tǒng)計量的分子為),diag(000000

24、332211D記)(tr21exp)2();(max),(122)()(ADDDLDXLnnptt40第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗),(diag1000000332211AnnananaD其中ktnittittiktttXXXXAA11)()()()()()(1)(稱為合并組內(nèi)離差陣稱為合并組內(nèi)離差陣.,000000,113312211111aaanDanDpiiip41第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗2122122122)(e22exp1)2()(tr21exp)2(),(npiiinpnpiiinpnpnnptannpanADDDXLnpaanADiipiii111)(tr42第三章第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗似然比統(tǒng)計量的分母為似然比統(tǒng)計量的分母為)1(tr