解析幾何經(jīng)典例題集

1、l教學(xué)計劃與策略教學(xué)計劃與策略 熟悉：熟悉：1、數(shù)學(xué)課程標準、教材內(nèi)容、數(shù)學(xué)課程標準、教材內(nèi)容2、學(xué)科指導(dǎo)意見、學(xué)科指導(dǎo)意見3、 考試說明、樣卷（抽測卷）考試說明、樣卷（抽測卷） 4、高考試卷、高考試卷 破解：破解：1、教學(xué)時段的安排（如何處理內(nèi)容分散問題）、教學(xué)時段的安排（如何處理內(nèi)容分散問題） 重點中學(xué)考慮重點中學(xué)考慮IB：坐標系與參數(shù)方程教學(xué)：坐標系與參數(shù)方程教學(xué) 2、建立知識體系、建立知識體系知識系統(tǒng)化知識系統(tǒng)化 3、如何落實教學(xué)中的雙基、如何落實教學(xué)中的雙基 4、如何把握以下幾塊內(nèi)容的教學(xué)要求和教學(xué)目標、如何把握以下幾塊內(nèi)容的教學(xué)要求和教學(xué)目標 求軌跡：難易標準；求軌跡：難易標準；

2、圓錐曲線第二定義圓錐曲線第二定義 文理中對直線與圓錐曲線內(nèi)容的不同要求文理中對直線與圓錐曲線內(nèi)容的不同要求5、關(guān)注與圓錐曲線相聯(lián)系的綜合問題（問題的方向性）、關(guān)注與圓錐曲線相聯(lián)系的綜合問題（問題的方向性） l教學(xué)的實施和形式教學(xué)的實施和形式 1、學(xué)情分析、學(xué)情分析 ，策略教學(xué)（一步到位，逐步推進），策略教學(xué)（一步到位，逐步推進）2、課堂教學(xué)形式是否可以有多種？、課堂教學(xué)形式是否可以有多種？3、如何評價課堂教學(xué)的有效性？、如何評價課堂教學(xué)的有效性？4、如何減輕學(xué)生的作業(yè)負擔？（精講精練，作業(yè)布置的有效性）、如何減輕學(xué)生的作業(yè)負擔？（精講精練，作業(yè)布置的有效性）5、全面提高解幾解題能力、全面提高解

3、幾解題能力l解幾教學(xué)的研究與創(chuàng)新解幾教學(xué)的研究與創(chuàng)新 1、挖掘解幾內(nèi)容中的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題和一般規(guī)律、挖掘解幾內(nèi)容中的數(shù)學(xué)本質(zhì)問題和一般規(guī)律2、解題指導(dǎo)中的如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法、解題指導(dǎo)中的如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法3、教材教法研究：問題鏈（情景教學(xué)，變式教學(xué)，設(shè)計與評價）、教材教法研究：問題鏈（情景教學(xué)，變式教學(xué)，設(shè)計與評價）4、探究性問題，開放題、探究性問題，開放題5、高考研究：欣賞，改編，重組，本源創(chuàng)作、高考研究：欣賞，改編，重組，本源創(chuàng)作6、解幾中的數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新、解幾中的數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新附：一個問題的探究實例附：一個問題的探究實例數(shù)學(xué)第二冊數(shù)學(xué)第二冊(上上)(人民教育出版社人民教育出版社)中關(guān)于拋物

4、線過焦點的弦有這樣兩個結(jié)果中關(guān)于拋物線過焦點的弦有這樣兩個結(jié)果:經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y2= 2px的焦點的焦點F，作一條直線垂直于它的對稱軸，和拋物線，作一條直線垂直于它的對稱軸，和拋物線相交于相交于P1,P2兩點，線段兩點，線段P1P2叫做拋物線的通徑，則通徑的長是叫做拋物線的通徑，則通徑的長是2p. 過拋物線過拋物線y2=2px的焦點一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為的焦點一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為yA , yB，求證，求證. yA yB=p2. 1.1題精心設(shè)計情境，幫助學(xué)生感知和發(fā)現(xiàn)問題題精心設(shè)計情境，幫助學(xué)生感知和發(fā)現(xiàn)問題教師教師:同學(xué)們，題同學(xué)們，題、題、題

5、分別是關(guān)于通徑的長度分別是關(guān)于通徑的長度;過焦點的弦過焦點的弦(稱之為焦點稱之為焦點弦弦)兩端點坐標與參數(shù)兩端點坐標與參數(shù)p之間的關(guān)系之間的關(guān)系.現(xiàn)在請你們思考哪些元素可確定一條焦現(xiàn)在請你們思考哪些元素可確定一條焦點弦點弦? 教師呈現(xiàn)上述兩個結(jié)果作為探究情境，把學(xué)生引入情景，增強學(xué)生的探究欲望。教師呈現(xiàn)上述兩個結(jié)果作為探究情境，把學(xué)生引入情景，增強學(xué)生的探究欲望。學(xué)生眾學(xué)生眾:焦點弦兩個端點的坐標焦點弦兩個端點的坐標(xA,yA),(xB ,yB);或焦點弦或焦點弦|AB|的長度的長度及它與及它與x軸所成的傾斜角軸所成的傾斜角.教師教師:在這些量中，能建立一些什么關(guān)系呢在這些量中，能建立一些什

6、么關(guān)系呢?學(xué)生學(xué)生A : tan，|AB|都能用坐標表達。都能用坐標表達。教師教師:既然兩者都與坐標有關(guān)，那么既然兩者都與坐標有關(guān)，那么|AB|與與能否建立直接的關(guān)系能否建立直接的關(guān)系呢呢?你能從題你能從題的結(jié)論中受到啟示嗎的結(jié)論中受到啟示嗎?請大家分組討論請大家分組討論. 教師向?qū)W生布置任務(wù)，在情景中催發(fā)思想。教師向?qū)W生布置任務(wù)，在情景中催發(fā)思想。1.2緊緊圍繞目標，激勵學(xué)生大膽猜想和假設(shè)緊緊圍繞目標，激勵學(xué)生大膽猜想和假設(shè)教師引導(dǎo)學(xué)生善于運用直覺思維，大膽猜測，積極假設(shè)。教師引導(dǎo)學(xué)生善于運用直覺思維，大膽猜測，積極假設(shè)。學(xué)生學(xué)生B:當當AB在通徑的位置時，由于在通徑的位置時，由于= 900

7、 , |AB|=2P,pAB2ABp2因此猜測因此猜測:sin=(1)或者或者sin= (2)教師在邊上作適時引導(dǎo)：兩式右邊具備什么特征，兩式會同時成立嗎？教師在邊上作適時引導(dǎo)：兩式右邊具備什么特征，兩式會同時成立嗎？對此，有一部分同學(xué)發(fā)表了看法對此，有一部分同學(xué)發(fā)表了看法.認為結(jié)論認為結(jié)論(1是錯誤的，因為對于是錯誤的，因為對于(1),隨著焦點弦隨著焦點弦繞著焦點向右旋轉(zhuǎn)，觀察到繞著焦點向右旋轉(zhuǎn)，觀察到越來越小，而越來越小，而|AB|越來越大，特別當越來越大，特別當=00時，時，|AB|的長為無限長，看來情形的長為無限長，看來情形(2)可能是正確的可能是正確的. 教師教師:很好，同學(xué)們根據(jù)特

8、殊情形猜出了一個結(jié)論很好，同學(xué)們根據(jù)特殊情形猜出了一個結(jié)論,而猜想不一定正確而猜想不一定正確.接接下去請同學(xué)們著手尋找證實下去請同學(xué)們著手尋找證實(或證偽或證偽)的依據(jù)，從哪些角度人手呢的依據(jù)，從哪些角度人手呢?同學(xué)們繼續(xù)討論同學(xué)們繼續(xù)討論教師激勵同學(xué)大膽嘗試教師激勵同學(xué)大膽嘗試1.3引導(dǎo)方案設(shè)計，鼓勵學(xué)生參與分析和討論引導(dǎo)方案設(shè)計，鼓勵學(xué)生參與分析和討論教師讓學(xué)生自由討論。（需教師讓學(xué)生自由討論。（需5分鐘時間）分鐘時間） 某小組的一位學(xué)生某小組的一位學(xué)生C代表小組表達了他們思考的結(jié)果。代表小組表達了他們思考的結(jié)果。學(xué)生學(xué)生C:從拋物線的定義出發(fā)，由于從拋物線的定義出發(fā)，由于|AB|=|AF

9、|+|BF|= xA,+xB+p直線方程和拋物線方程聯(lián)立，由韋達定理得到直線方程和拋物線方程聯(lián)立，由韋達定理得到 21k2sin2p|AB|=xA+xB+p=2(1+)p=當然，在上述的推導(dǎo)過程中，要注意當然，在上述的推導(dǎo)過程中，要注意k0，并且，并且k要存在。要存在。特別當特別當k不存在，即不存在，即=00,AB恰為通徑，此時，恰為通徑，此時，|AB|=2p,上述公上述公式仍然成立式仍然成立.教師教師:同學(xué)們從特殊情況人手，猜想了公式，并經(jīng)過修正得出了正確結(jié)論，充同學(xué)們從特殊情況人手，猜想了公式，并經(jīng)過修正得出了正確結(jié)論，充分體驗了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程分體驗了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程.你們剛才所經(jīng)歷的也就是

10、數(shù)學(xué)家們探究問題所經(jīng)歷你們剛才所經(jīng)歷的也就是數(shù)學(xué)家們探究問題所經(jīng)歷的的.希望大家平時要多注意一些看似簡單的問題，以培養(yǎng)自己的觀察、思考能希望大家平時要多注意一些看似簡單的問題，以培養(yǎng)自己的觀察、思考能力力.受到了老師的鼓勵，學(xué)生受到了老師的鼓勵，學(xué)生D D也爭著把自己在探索中碰到的障礙向大家反映了也爭著把自己在探索中碰到的障礙向大家反映了出來出來: :對于剛才的問題，由于有角度對于剛才的問題，由于有角度，我想到了面積，從而作，我想到了面積，從而作AOB，而，而且求得且求得SAOB|OF|AF|sin 若能求出面積，則若能求出面積，則|AB|與與的關(guān)系也解決了的關(guān)系也解決了21。21k21k而而

11、SAOB|OF|(| yA|+| yB|) (3) 到了這里以后，就繼續(xù)不下去了到了這里以后，就繼續(xù)不下去了.因為我不知道該怎樣轉(zhuǎn)換掉因為我不知道該怎樣轉(zhuǎn)換掉對對(3)式兩邊平方得式兩邊平方得（yA|+|yB|）2=(y2A+2 yA yB+y2B)=2p(xA+xB)-2p2下面同他們的解法相同，利用韋達定理可得：下面同他們的解法相同，利用韋達定理可得：（yA|+|yB|）2=4p2此時教師沒有回避學(xué)生的質(zhì)疑，先在態(tài)度上給予鼓勵，也沒有直接指出此時教師沒有回避學(xué)生的質(zhì)疑，先在態(tài)度上給予鼓勵，也沒有直接指出學(xué)生的錯誤。而是用贊賞的語氣說：顯然你引用了學(xué)生的錯誤。而是用贊賞的語氣說：顯然你引用了

12、yAyB=p2這個結(jié)論這個結(jié)論很好，這個結(jié)論還說明一個什么問題呢很好，這個結(jié)論還說明一個什么問題呢?學(xué)生學(xué)生D終于想到：終于想到：yAyBp20。 21k2122sin4psin22p2sin2sin|2pOFSAOB于是大家動手求得于是大家動手求得（yA|+|yB|）2=(y2A2yAyB+y2B)=2p(xA+xB)2p2=4p2（ 1）SAOB|OF|(| yA|+| yB|)，從而，從而AB|1.4構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，促進能力內(nèi)化和提升構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，促進能力內(nèi)化和提升教師教師:很好，同學(xué)很好，同學(xué)D從另外的角度得到焦點弦長的計算公式，而且不經(jīng)意間還從另外的角度得到焦點弦長的計算公式，而且不經(jīng)

13、意間還求出了焦點弦與原點所構(gòu)成三角形面積的計算公式求出了焦點弦與原點所構(gòu)成三角形面積的計算公式.從上述兩個公式中大家還從上述兩個公式中大家還有其它可發(fā)現(xiàn)嗎有其它可發(fā)現(xiàn)嗎?教學(xué)進行到此時，問題似乎已圓滿解決。但是教師沒有讓教學(xué)活動停止，而是教學(xué)進行到此時，問題似乎已圓滿解決。但是教師沒有讓教學(xué)活動停止，而是適時提問引導(dǎo)，將探究活動引向高潮，學(xué)生的思維火花再一次被點燃，他們認適時提問引導(dǎo)，將探究活動引向高潮，學(xué)生的思維火花再一次被點燃，他們認真思考，深度剖析，用簡潔的語言概括出下列結(jié)論。真思考，深度剖析，用簡潔的語言概括出下列結(jié)論。學(xué)生學(xué)生E:說明說明|AB|和和的值隨的值隨變化而變化變化而變化.

14、顯然，當顯然，當90時時AB取到最取到最小值，此時小值，此時SAOB也取到最小值也取到最小值.因而有結(jié)論因而有結(jié)論:通徑是所有焦點弦中長為最短的通徑是所有焦點弦中長為最短的;通徑與原點所構(gòu)成的三角形是所有焦點弦與原點所構(gòu)成的三角形中面積最小的通徑與原點所構(gòu)成的三角形是所有焦點弦與原點所構(gòu)成的三角形中面積最小的.教師教師:同學(xué)們在剛才的探索過程中，不僅得到了一些數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是通過同學(xué)們在剛才的探索過程中，不僅得到了一些數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是通過探索掌握了數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習的能力，也享受到了成功的喜悅探索掌握了數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習的能力，也享受到了成功的喜悅.望望同學(xué)們多注意

15、這樣的例題、習題，它是你們進行再創(chuàng)造的好素材同學(xué)們多注意這樣的例題、習題，它是你們進行再創(chuàng)造的好素材. 縱向剖析，即分析例題涉及到哪些知識點？重點、難點和疑點在哪里？解題縱向剖析，即分析例題涉及到哪些知識點？重點、難點和疑點在哪里？解題所涉及的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是什么等等所涉及的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是什么等等一一.梳理解幾教學(xué)中本源性知識梳理解幾教學(xué)中本源性知識解幾特點：通過代數(shù)運算，解決幾何問題。解幾特點：通過代數(shù)運算，解決幾何問題。1.代數(shù)運算性特點：代數(shù)運算性特點：計算公式解釋幾何基本公式計算公式解釋幾何基本公式向量工具起點向量工具起點兩點間距離公式兩點間距離公式定比分點坐標公式定比分點坐

16、標公式斜率公式斜率公式（到角公式）（到角公式）點線距離公式點線距離公式弦長公式弦長公式關(guān)鍵：如何通過分析幾何特點，轉(zhuǎn)化到可利用解幾基本公式來計算。關(guān)鍵：如何通過分析幾何特點，轉(zhuǎn)化到可利用解幾基本公式來計算。實施幾何問題數(shù)字化實施幾何問題數(shù)字化建立坐標系（坐標法建立坐標系（坐標法.解釋法）解釋法）2.方程組討論法方程組討論法幾何圖形方程化（點坐標、直線、曲線方程）交點相關(guān)問題公共點、公共解幾何量相等問題列方程方程有解的討論（代數(shù)形式、 數(shù)形結(jié)合）例例1.09浙江理浙江理21（本題滿分（本題滿分15分）已知橢圓分）已知橢圓 的右頂為的右頂為 ，過，過 的焦點且垂直長軸的弦長為的焦點且垂直長軸的弦長

17、為1（I）求橢圓的方程；）求橢圓的方程；（II）設(shè)點在拋物線）設(shè)點在拋物線 上，上， 在點在點 處的切線與處的切線與 交于交于點當線段點當線段 的中點與的中點與 的中點的橫坐標相等時，求的中點的橫坐標相等時，求 的最小值的最小值22221(0)yxabab:1c2()yxh hR:2c2CP1C,M NAPMNh(1,0)A1C212,121babba2214yx解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21122( , ), ( , ), (,),M x y N x y Pt th2C（II）不妨設(shè)則拋物線在點P處的切線斜率為 2x tyt， 直線MN的方

18、程為22ytxth， 1C1C2224(2)40 xtxth將上式代入橢圓的方程中，得， 即222224 14 ()()40txt th xth因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點， 所以有4221162(2)40thth ，3x21232()22(1)xxt thxt設(shè)線段MN的中點的橫坐標是，則設(shè)線段PA的中點的橫坐標是4x， 則412tx， 由題意得34xx， 即有2(1)10th t ， 22(1)40,1hh 3h 其中的或；3h 220,40hh4221162(2)40thth 當時有，因此不等式不成立； 1h 1h 2(1)10th t 1t 因此，當時代入方程得h1,1ht 42

19、21162(2)40thth 將代入不等式成立，因此的最小值為1二二.熟悉韋達定理在解幾中的應(yīng)用熟悉韋達定理在解幾中的應(yīng)用2212221121122222121222212121114,0,1ABkxxkxxx xf x yykxmA x yB xyABxxyyxxkxkxkxx例1 弦長公式 曲線，直線相交于兩點則 例2：浙江省2009年考試說明編寫前的測試卷（理21題，文22題，滿分15分） 22(0)3122pxpPykxbCABLybMAMBL 已知拋物線C：y上橫坐標為的一點，與其焦點的距離為4.求 的值設(shè)動直線與拋物線 相交于 ，兩點，問在直線 ：上是否存在與 的取值無關(guān)的定點，使

20、得被直線 平分？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由。ABMXY（韋達定理應(yīng)用，方程組法）（韋達定理應(yīng)用，方程組法） 213,34,2,42pxpx 解：拋物線：y 1211221212211122121222222,220,t+2+b24044044t+2+b4840t+8=012AMBMkyyA x yB xytxtxytxytxxyb xybyyy ybykxbyybyxtbb 由已知平分，則k設(shè)則即又代入得4t-由方程組即8，t=-1與b值無關(guān)，定點M，注：角的計算用平面向量注：角的計算用平面向量例3：寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 （理21題，文22題，滿分15分）如圖，

21、橢圓長軸端點為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且 (1)求橢圓的標準方程；(2)記橢圓的上頂點為H，直線L交橢圓于P、Q兩點，問：是否存在直線L使點F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線L的方程：若不存在，請說明理由11AF FBOF ，ABOFXYABOFXY 222222222110111212xyababcAF FBacacacaxy 解： 記橢圓方程為由題意又，即故橢圓的方程為 1122222212212112212122,(0,1),(1,0)13422012,011210PQLP QFPQMP x yQ xyMFkLykxmxmxmxyPFMQ QFMP MP FQxxyyy

22、kxmykxmx xxxmmm 假設(shè)存在直線 交橢圓于兩點，且 恰為的重心，則設(shè)，故設(shè)直線 ：橢圓：又，由韋達定理代入解得4433mLyx 或m=1 舍 ，則直線 ：ABOFXY（韋達定理應(yīng)用，方程組法）（韋達定理應(yīng)用，方程組法）例4：已知橢圓 的右準線為L，過右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，經(jīng)過點B與x軸平行的直線交右準線于C點，求證：直線AC過一定點.(雙曲線，拋物線都有類似的命題) 2212xyABOFXYCABOFXYC 2222122122112222121211121121()221010222212,22,22112xmyxmymyFxymyymy ymA x yB xyC

23、yyyxACyyxxymyxmyyyyym 分析：設(shè)AB的方程為不包括 軸，另一方面，設(shè)，則，準線方程直線方程注意到：，如果令y=0，得x=2+必須尋得： 與 溝通的式子：21212122222132222330022yyyyy ymyACyyyxyyxxyAC代入得到直線：即時，直線過定點，說明：如何設(shè)計構(gòu)造12121212,xx x xyyy y或21211222112222212121121211xxxxxxxxx xxxxxxx x如：關(guān)系式為，則如：關(guān)系式為，則1、根據(jù)已知條件，建立平面曲線的方程（求軌跡）。、根據(jù)已知條件，建立平面曲線的方程（求軌跡）。2、通過方程，研究平面曲線的性

24、質(zhì)（解析法，坐標法）、通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)（解析法，坐標法）用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應(yīng)的用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應(yīng)的幾何對象，然后對坐標和方程進行代數(shù)討論，最后再把幾何對象，然后對坐標和方程進行代數(shù)討論，最后再把代表運算結(jié)果代表運算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論，這就是用坐成相應(yīng)的幾何結(jié)論，這就是用坐標法解決平面幾何問題的標法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”。 關(guān)鍵詞：選系、運算、數(shù)形結(jié)合關(guān)鍵詞：選系、運算、數(shù)形結(jié)合 1、直接法（定義法）、直接法（定義法）2、轉(zhuǎn)移法、轉(zhuǎn)移法3、參數(shù)法、參數(shù)法4、點差法、點差法例例5.09廣東理廣東理19（本小題滿分14分）2:C yx:20l xy(,)AAA xy(,)BBB xy已知曲線已知曲線與直線與直線交于兩點交于