雙曲線教學案例

1、雙曲線及其標準方程背景隨著新課程改革的開始， 素質教育的發(fā)展， 計算機在教學上的應 用越來越廣泛，運用多媒體技術教學已成為現(xiàn)實，如何在 40 分鐘的 課堂教學中提高教學效果， 進行高質量的教學， 成為我們研究的重點。 利用多媒體教學一方面能夠更有效地利用課堂時間， 合理的調動學生 的課堂積極性，把抽象難懂的知識概念用多媒體展示出來幫助學生理 解，豐富教學內(nèi)容， 拓展學生的思維空間， 從而獲得最佳的教學效果， 另一方面也有利于教師的業(yè)務進修。主題本節(jié)課是雙曲線內(nèi)容的第一節(jié) , 在此之前學生已經(jīng)學習了橢圓 這種圓錐曲線， 對學習曲線方程有了一定基礎和方法， 教學目標是了 解雙曲線的標準方程 , 能

2、根據(jù)已知條件求雙曲線的標準方程。標準方 程的簡單應用中學會一種方法 （待定系數(shù)法 ）兩種數(shù)學思想 （數(shù)形結合 分類討論 ）；另外 , 在課堂教學過程中了解求軌跡方程的基本方法 . 案例設計一、教材分析本案例從學生的興趣入手引入新課， 以橢圓的定義和建立橢圓的 方程開始引導學生 , 著手從雙曲線的定義來推導雙曲線的標準方程， 再從方程以及圖像來深刻剖析雙曲線的定義 , 從而真正理解雙曲線的 定義及其標準方程。設置的練習目的在于讓學生真正理解標準方程的兩種形式 , 分清 兩種形式里的 a,b,c 及其焦點坐標 , 其中焦點坐標是 ( c,0)還是 (0, c), 分別對應哪種形式值得強調。思考是為

3、了真正弄懂雙曲線的定義及其圖像。 例 1 的目的是用待 定系數(shù)法求雙曲線的方程 , 其中蘊含分類討論的數(shù)學思想。例 2 的目 的在于加深對雙曲線定義的理解 , 以及雙曲線標準方程中 a,b,c 所指 量, 例 2 的思考是著手對定義后的補充的思考的實踐 . 只有實踐才能 真正掌握定義 2a<2c 的意義。最后的課堂訓練是學生自己思考動手解決問題 , 讓其體驗學習過 程, 進一步明確今天所學內(nèi)容 , 達到對新學知識的再認識 .二、學情分析高二學生已經(jīng)形成了是非觀， 具備了一定的類比轉化及分析問題 的能力， 在心里上也具備了承受和辨證地接受別人的意見和建議， 但 對于復雜問題的處理還不夠靈活

4、， 因此在課堂上注意發(fā)揮學生的主體 作用，體現(xiàn)教師的點撥引領效果。三、教學目標 了解雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程及其推導方法，能根 據(jù)已知條件求雙曲線的標準方程。四、教學重點、難點重點：根據(jù)已知條件求雙曲線的標準方程， 掌握雙曲線中 a,b,c 之 間的關系(設計意圖研究雙曲線的性質離不開 a,b,c 之間的的關系)難點：雙曲線的標準方程如何分清雙曲線標準方程的兩種形式是難 點（解決方法多媒體輔助教學，指導學生自學法）五、教學程序設計： 創(chuàng)設情境： 在上課之前首先用多媒體為學生播放校園歌曲 悲傷的雙 曲線，動聽的旋律響起，一下就吸引了學生的注意，看著歌詞， 欣賞完歌曲，學生就開始圍繞雙曲

5、線提問，問定義、怎么畫圖像、 方程是什么，自然而然的進入了這節(jié)課的內(nèi)容。（設計意圖：學生都是十七八的年紀，正處在愛聽歌，喜歡“為賦新 詩強說愁”的階段，所以我從學生興趣入手，由歌曲引入新課，比生 硬的開場白要起到事半功倍的效果。）（一）復習提問1橢圓的定義是什么？ （ 學生回答，教師板書 ）平面內(nèi)與兩定點 F1 、F2的距離的和等于常數(shù) （ 大于| F1F2|） 的點的 軌跡叫做橢圓教師要強調條件： （1） 平面內(nèi)； （2） 到兩定點 F1、F2 的 距離的和等于常數(shù)； （3） 常數(shù) 2a>| F1 F2| 2橢圓的標準方程是什么？ （ 學生口答，教師板書 ）（設計意圖： 把知識點在黑板

6、上板書出來， 在給出雙曲線的定義、 方程之后讓學生能對這兩種圓錐曲線的異同直觀的進行比較。）（二）雙曲線的概念把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡 會怎樣？它的方程是怎樣的呢？設計意圖 : 讓學生產(chǎn)生疑問，自己設想，鍛煉學生的想象能力。）1簡單實驗 （ 邊演示、邊說明 ）如圖 2-23，定點 F1、 F2是兩個按釘， MN是一個細套管，兩條細 繩分別拴在按釘上且穿過套管，點 M移動時， |M F1 |-|M F2| 是常數(shù)， 這樣就畫出曲線的一支；由 |MF2 |-|M F1| 是同一常數(shù)，可以畫出另一 支注意：常數(shù)要小于 | F1F2| ，否則作不出圖形這樣作出的曲線就

7、叫做雙曲線（設計意圖：讓學生自己動手，鍛煉學生能力的同時活躍課堂氣氛）2設問問題 1：定點 F1、F2 與動點 M不在平面上，能否得到雙曲線？問題 2：|M F1 |與|M F2 | 哪個大？問題 3：點 M與定點 F1、 F2距離的差是否就是 |M F1 |-|M F2| ？問題 4：這個常數(shù)是否會大于等于 | F1 F2|？（設計意圖：讓學生回答，鍛煉學生的觀察能力，分析能力，解決問 題的能力，同時通過這幾個問題能準確理解雙曲線的定義。）3定義在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點 F1、F2 的距離的差的絕對值是常數(shù) （小于| F1 F2 |） 的點的軌跡叫做雙曲線這兩個

8、定點 F1、F2 叫做雙曲線的焦點，兩個 焦點之間的距離叫做焦距教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記（三）雙曲線的標準方程設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答主要引 起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導兩種標準方程的比較 （ 引導學生歸納 ）教師引導學生指出：（1）雙曲線標準方程中， a>0，b>0，但 a 不一定大于 b；(2) 如果x2項的系數(shù)是正的， 那么焦點在 x 軸上；如果 y2項的系數(shù) 是正的，那么焦點在 y 軸上 注意有別于橢圓通過比較分母的大小來 判定焦點在哪一坐標軸上(3) 雙曲線標準方程中 a、b、c 的關系是 c2

9、 a2 b2 ，不同于橢圓方 程中 c2 a2 b2 (四) 練習與例題1、求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：焦點 F1 (-3 ，0) 、F2 (3 ，0)，且 2a=4；22本題由學生先練習再口答： x y 145設計意圖：讓學生熟記雙曲線的定義，會用定義法求曲線軌跡方程。222、證明：橢圓 x y 1與雙曲線 x2 15y2 15 的焦點相同。25 93、已知兩點 F1(-5 ，0)、 F2(5，0)，(1)求與它們的距離的差的絕對值是 6 的點的軌跡方程(2)如果把這里的數(shù)字 6改為 12，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？由教師講解：(1) 按定義，所求點的軌跡是雙曲線， 因為 c=5，

10、a=3，所以 b2 c2 a2 42（2） 因為 2a=12， 2c=10，且 2a>2c所以動點無軌跡（五）小結1定義：平面內(nèi)與兩定點 F1 、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù) （ 小 于| F1 F2 |） 的點的軌跡3圖形（ 見圖 2-25） ：4焦點： F1 （-c ，0）、 F2 （c ，0）； F1 （0 ，-c） 、 F2 （0 ，c） 5a、 b、 c 的關系： c2=a2+b2； c=a2+b2六）、布置作業(yè)1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：（1）焦點的坐標是 （-6 ， 0） 、 （6 ， 0） ，并且經(jīng)過點 A（-5 ，2）；(2)經(jīng)過點 P( 3,2 7)和Q( 6 2, 7) ，焦點在 y 軸上3已知圓錐曲線的方程為 mx2 ny2 m n(m 0 m n) ，求其焦點坐標七)、板書設計六、案例分析與啟示用學生感興趣的音樂導入本課， 使學生在快樂中學習， 運用大量 的圖片和視頻資料對比， 激發(fā)學生的積極性和主動性。 本節(jié)課識記內(nèi)