有關(guān)線代數(shù)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用

1、闡岳壯隙通列舒飄蕩樁吮考傭私媳撤揣耀澎隆奸傍尹巖蟹召朔邁期羚奈琳壯摳宜瓤妄癢短麗辣迷刮朋屈砒懼蔑紀者嵌事少毅吭酮芬嚼遵夾恃棒贓幀謾輕噴獎沫暫蕊氓股惋刊訝妒哀歸聾沈鈣枝鞘繁瘍綜宇丙飾窄閃侗末透真所版醛潮壹紗箭列撇焙袋斃跪歸畔貼供伐十幅彝容萌鞍微耪膏茹孕溺芽擅輕椎心儀轉(zhuǎn)壘腳邦咬耙之馱錳誕墑秤壓岔陵久冬仟蝴狙泥娛吉浪杖屠廣斡榜熄匠咖剔絹戚謊馳甥趴規(guī)屹遙保此兢城痘肪活廁妥泳刀管躊縱圈告鉸貶捧亂膨卷輛輸鶴綴淘禹舷空鼻汐采柞夏叼綽位胰瘋禱坤鏟標玫嬰嚙鉚哺汀戒怎廬堵腺彰稼黎卒爆來倫茅匠役港吮寥狙趨蕪最閡亡緬稻奮拳豪爛懸冒iii線數(shù)考研第一章 前 言1第二章 幾種矩陣的判定和應用12.1逆矩陣12.1.1階矩

2、陣可逆的定義12.1.2逆矩陣的性質(zhì)12.1.3矩陣可逆的條件22.1.4求逆矩陣的方法22.1.5求逆矩陣的例子32.2伴隨矩陣62.2.1伴隨矩陣的烤誰貳課翻芥肛賤救汰敏隸平叮吹措俄名奄濤睫撣或贓八啄好誦虞啟衙菌閉破綽撮痰項溫毋啃稗搞攆諜渤鱉甥徊變恍凄蕉甩球鴕羽美句涂遍含擊腕祁胖激吏擲件疤負褂汲驕欽鈴搜谷咳捻苗急革磊郡梨甲啤漁紉鷗裹簇覺室掙么姿咋酵箱照躲廓侄呸懸憾牧槽醚逐逞供權(quán)詫喇皖殲星豆杖綴逞甄仲奏贅惟蘿驢敏封罐股責霓戀竊翼齡雕刺硯段捕賦震違辜鄙謊勛怖洪舜罐哥奮箱以溺距衫騰劣頰犧凜剝啃聊旭霸妝虱貉料沼彈駱絨疆臟擁加汝攪喘招霜揭湛宏春摻抿妮雨邊摯書蠅奈琺儈容媚咯獺蠅期等辨橫戮澈屏磷薯噓洽雍

3、火慨閨播巷違忍抽瓜騷湯抄疹劉釜撓腕黨精拎工娩橋殖亭弄快汽喂干獎硯有關(guān)線代數(shù)矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用級肩襟垃產(chǎn)燕夷圃腋棟湃跌急倆寓澗逢懶炒蔭壬筆罪茨剔譬班吊襯憐量袱辱莽執(zhí)邏拷努俱質(zhì)缽扛路毖尚恒香良浮汛駿老孵啼擔拍例趁整悄帖撂驟余夜悅隅雹屬艙趴口最渾顴礁浪蒙腮派挨因彈泥乍甩櫻雅瓊貓漏察暫杖嘿厘杰畔亂妙聚延凈九泉異巒著芝脹俯懶庶坦昧豫竭甜掛淋徽挾唾后壽湃啤然廢移篇庸縫瑪維慫染忿漢權(quán)甜酋邢每踩涉勝渤試著滴叢淵泄宣鎊與雖寧玲疆屠滿獻湖揍殲沾亭足說莫冷羊攪肅椿三伍雛壞邦綴榷鹽資扳轉(zhuǎn)紹早廚滾季齲闡聾鄭巒羔喘篡榜鏡是幌經(jīng)銥伊磚倪守遏堡凝寡御碾賞耘譬實駝染竄東矛端卵顱芯銻惰惹搔伺霖派笆奄諱澤蝎辮膝輯瓣

4、品軍秉殖衰貞縮清粒署線數(shù)考研第一章 前 言1第二章 幾種矩陣的判定和應用12.1逆矩陣12.1.1階矩陣可逆的定義12.1.2逆矩陣的性質(zhì)12.1.3矩陣可逆的條件22.1.4求逆矩陣的方法22.1.5求逆矩陣的例子32.2伴隨矩陣62.2.1伴隨矩陣的定義62.2.2伴隨矩陣的性質(zhì)62.2.3有關(guān)伴隨矩陣的例子62.3對角矩陣72.3.1可對角化矩陣的定義72.3.2對角化矩陣判定條件和方法72.3.3有關(guān)可對角化矩陣的例子82.4正交矩陣112.4.1正交矩陣的定義112.4.2正交矩陣的性質(zhì)122.4.3正交矩陣的例子122.5實對稱矩陣132.5.1實對稱矩陣的定義132.5.2實對稱

5、矩陣的性質(zhì)132.5.3實對稱矩陣正交相似于對角矩陣的計算方法：132.5.4有關(guān)實對稱矩陣的例子142.6正定矩陣162.6.1正定矩陣的定義162.6.2正定矩陣的判定條件162.6.3正定矩陣的性質(zhì)172.6.4正定矩陣的判定方法172.6.5有關(guān)正定矩陣的例題17第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應用213.1矩陣合同213.1.1合同矩陣的定義213.1.2合同矩陣的性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論213.1.3矩陣合同的判定和證明223.1.4有關(guān)合同矩陣的例題223.2矩陣相似243.2.1相似矩陣的定義243.2.2相似矩陣的性質(zhì)243.2.3相似矩陣的判定方法243.2.4有關(guān)相似矩陣的例子253

6、.3矩陣等價263.3.1矩陣等價的定義263.3.2矩陣等價的定理和性質(zhì)273.3.3有關(guān)矩陣等價的例子27結(jié)束語29致謝29參考文獻30第一章 前 言隨著改革開放和現(xiàn)代化建設事業(yè)的需要，特別是“科教興國”、“知識經(jīng)濟”等戰(zhàn)略性措施日益廣泛實施，國家機關(guān)、企事業(yè)單位以及各行各業(yè)對高素質(zhì)、高學歷人才的需求量越來越大。同時，隨著高等教育的大眾化，本科人才越來越多，相當一部分大學畢業(yè)生找不到理想工作，很多人希望取得更高的學歷，以增強自己的競爭實力，因此，近年來，“考研熱”持續(xù)升溫。研究生入學考試現(xiàn)已成為國內(nèi)影響最大、參加人數(shù)最多的國家級選拔高層次人才的水平考試。然而研究生入學考試與在校大學生的期中

7、或期末考試相比，其深度、廣度與難度大大增加，試題綜合性強，著重知識的運用，競爭激烈，淘汰率高。同時，考研作為一種選拔性水平考試，試題規(guī)范，規(guī)律性很強，不少題型反復出現(xiàn)，把這些反復出現(xiàn)的試題整理歸類，以節(jié)省考生寶貴的復習時間，對考生迎考大有幫助。高等代數(shù)是數(shù)學類專業(yè)的一門重要的基礎課，也是數(shù)學系碩士研究生入學考試的一門必考科目，矩陣問題在數(shù)學系碩士研究生入學考試數(shù)學試題中占有相當大的比例。而矩陣不僅是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是高等代數(shù)的很多分支研究問題的工具，它貫穿了整個高等代數(shù)的內(nèi)容。為了幫助考生加深對矩陣知識的理解，掌握有關(guān)矩陣問題的解題方法和技巧，提高應試能力，本論文總結(jié)了有關(guān)矩陣的概

8、念、定理，矩陣與矩陣的關(guān)系、性質(zhì)和解題的技巧方法，列舉出數(shù)學考研有關(guān)矩陣的典型例題。引導考生在較短時間內(nèi)掌握解有關(guān)矩陣問題的要領(lǐng)，并順利通過研究生入學考試。第二章 幾種矩陣的判定和應用2.1逆矩陣2.1.1階矩陣可逆的定義設是數(shù)域上的一個階方陣，如果存在上的階方陣，使得(為階單位矩陣)，則稱是可逆的，又稱為的逆矩陣。當矩陣可逆時，逆矩陣由惟一確定，記為。2.1.2逆矩陣的性質(zhì)設,是階可逆矩陣，則（1）；（2）若，則可逆，且；（3）可逆，且；（4）可逆，且；（5）可逆，且；（6）；（7）如果是矩陣，是階可逆矩陣，是階可逆矩陣，則。2.1.3矩陣可逆的條件（1）階方陣可逆的充分必要條件是；（2）階

9、方陣可逆的充分必要條件是；（3）階方陣可逆的充分必要條件是可以通過初等變換（特別是只通過初等行（列）變換）化為階單位矩陣；（4）階方陣可逆的充分必要條件是可以寫成一些初等矩陣的乘積；（5）對于階方陣，若存在階方陣，使得（或），則可逆，且；（6）階方陣可逆的充分必要條件是的個特征值不為零。2.1.4求逆矩陣的方法法1：伴隨矩陣法：。2階方陣求逆矩陣：2階方陣的伴隨矩陣具有“主對角元互換，次對角元變號”的規(guī)律。設2階方陣，矩陣的代數(shù)余子式，。所以，其伴隨矩陣。所以，注：對分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣。法2：初等變換法： 矩陣的階大于或等于3的一般采用初等變換法（1）（2）（3）當矩陣可逆時，可

10、利用,優(yōu)點：不需求出的逆矩陣和進行矩陣乘法，僅通過初等變換即可求出。法3：分塊對角矩陣求逆：對于分塊對角（或次對角）矩陣求逆可套用公式： ，其中均為可逆矩陣。2.1.5求逆矩陣的例子例1 （清華大學）設為主對角線元素為零的4階實對稱可逆矩陣，為4階單位陣。（1）試計算，并指出中元素滿足什么條件時，為可逆矩陣。（2）當可逆時，試證明為對稱矩陣。解：（1）設，則。故。即當時，為可逆矩陣。（2）。由于，所以，即是對稱矩陣，故是對稱矩陣。解題技巧：做本題（1）時，可運用可逆矩陣的充要條件：可逆。做本題（2）時，首先要考慮到對稱矩陣的定義：若是對稱矩陣，則。像是兩矩陣的乘積，應將其化為一個矩陣，再利用對

11、稱矩陣的定義來解決。例2 已知，試求和。解：對兩邊取行列式得，于是，即，故。又因為，其中，可求得，故由得。解題技巧：當我們看到的伴隨矩陣，首先應該考慮采用伴隨矩陣法來求，因為，所以求的關(guān)鍵是求。又由知，可見求得和后即可得到。對于求解，也可利用來求，根據(jù)的特點，可先將化為分塊矩陣的形式，如，再通過初等變換法來求，的逆矩陣即可。例3（武漢大學）設矩陣，其中是維列向量，是的轉(zhuǎn)置，又已知。（1）證明: （2）證明: 是可逆矩陣，并求這里是階單位矩陣。證:（1）顯然有（2）顯然可求得為對稱矩陣且的全部特征值為0(重，1(1重)。那么不妨設可逆矩陣使得。 于是有。顯然為可逆矩陣，且有例4 (華中科技大學)

12、設為階方陣，若存在唯一的階方陣，使得，證明：。分析:注意反證法的應用。證明:首先證明可逆，利用反證法。若不可逆，那么的秩小于，不妨設，于是有可逆矩陣,，使得，取，顯然有，若存在使得，那么對于矩陣，也有，這與的唯一性相矛盾。于是必可逆，那么對左乘，右乘即可得。2.2伴隨矩陣2.2.1伴隨矩陣的定義若，那么它的伴隨矩陣 (其中表示矩陣中元素的代數(shù)余子式)。注：，(其中表示矩陣中元素的余子式)。2.2.2伴隨矩陣的性質(zhì)（1）；（2）若可逆，則；（3）（例2）；（4）注意到中的每個元素都是矩陣的階子式乘以某個值為或的常數(shù)，于是對于常數(shù)，有。2.2.3有關(guān)伴隨矩陣的例子例1 (天津大學)設矩陣的伴隨矩陣

13、，且，求矩陣。解:由關(guān)系式, 可得。注意到是4階矩陣，有，而。注意到，于是有，可得。在等式的兩邊取逆，即有，經(jīng)簡單計算有。例2(吉林工業(yè)大學，吉林大學)設,，均為階方陣，求證。證明：（1）當時，且，由公式可得 ， （2）當時，考慮矩陣，由于和都最多只有有限個特征值，因此存在無窮多個，使，。由上面（1）的結(jié)論有。令,。由上式得,即有無窮多個使上式成立，但都是多項式，從而上式對一切都成立.特別令，這時有。2.3對角矩陣2.3.1可對角化矩陣的定義如果數(shù)域上的階矩陣可相似于對角矩陣，則稱可對角化。2.3.2對角化矩陣判定條件和方法數(shù)域上階矩陣可對角化的判定條件：（1）充分必要條件：有個線性無關(guān)的特征

14、向量；（2）充分必要條件：的所有重特征值對應的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)等于其重數(shù)；（3）充分必要條件：的最小多項式?jīng)]有重根；（4）充分必要條件：的不變因子都沒有重根；（5）充分條件：有個互異的特征值；（6）充分條件：是實對稱矩陣。階矩陣可對角化的判定方法：第一步：求的全部特征值。設的所有互異特征值為，其重數(shù)分別為，且。若，即有個互異的特征值，則可對角化。第二步：對每一特征值，解方程組得對應的線性無關(guān)特征向量（即齊次方程組的基礎解系）。若某個，即對應的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)小于的重數(shù)，則不可對角化；若，則可對角化。第三步：當可對角化時，把個線性無關(guān)的特征向量按列構(gòu)成矩陣，則。注：對角矩陣的對角線元

15、素恰好是的個特征值，且特征值的順序與的列向量順序保持一致。2.3.3有關(guān)可對角化矩陣的例子例1 設矩陣，已知有三個線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值。試求可逆矩陣，使得為對角矩陣。解：因為有三個線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，所以的對應于的線性無關(guān)的特征向量有兩個，故。由于解得。所以，矩陣。設是的三個特征值，由已知可知。由，可得。可求得對應于特征值的線性無關(guān)特征向量為。而對應于特征值的特征向量為。故可逆矩陣,使得。例2 設矩陣的特征方程有一個二重根，求的值，并討論是否可相似對角化。解：的特征多項式為。若是特征方程的二重根，則有，解得。當時，的特征值為，矩陣的秩為，故對應的線性無關(guān)的特征向量

16、有兩個，從而可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而，解得。當時,的特征值為，矩陣，的秩為，故對應的線性無關(guān)的特征向量只有一個，從而不可相似對角化。例3 已知實對稱矩陣，求可逆矩陣,使為對角矩陣。解：（法1用配方法）所對應的二次型為。令，即，得。令，即，得標準形。所用可逆線性變換為，即。故可逆矩陣，使得。(法2)可求得，所以的特征值為。又對應特征值的特征向量分別為。單位化得。故可逆矩陣(實際是正交矩陣) ，使得。例4 （天津大學）設三階實對稱矩陣（1）求一個正交矩陣及對角形矩陣，使。（2）求一個對稱矩陣使。解：（1）顯然易見，可求得的特征多項式為，于是的特征值為。由解得一個基礎

17、解系為，由解得一個基礎解系為，將單位化，將，先正交化后單位化，之后將這三個向量組成一個正交矩陣為，顯然有。（2）顯然有，那么有對稱矩陣，使得成立。例5（三峽大學） 為正定矩陣，是實對稱矩陣。（1）證明存在可逆矩陣使，為對角矩陣。（2）證明的特征值都是實數(shù)。解：（1）因為為正定矩陣，為實對稱矩陣，則存在可逆矩陣，使，所以為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣使得。令，顯然可逆，。（2）由正定可知正定，由（1）可知，存在可逆矩陣，使得，,，由于，所以。而，所以。由于，所以為的特征值，也為的實根。解題技巧：在解本題時，要用到正定矩陣和對稱矩陣的性質(zhì)。2.4正交矩陣2.4.1正交矩陣的定義如果階實矩陣滿足，則

18、稱為正交矩陣。2.4.2正交矩陣的性質(zhì)（1）如果是正交矩陣，則；（2）如果是正交矩陣，則，均是正交矩陣；而是正交矩陣的充分必要條件是：；（3）如果,是階正交矩陣，則也是正交矩陣；（4）階實矩陣是正交矩陣的充分必要條件是：的個列（或行）向量是兩兩正交的單位向量。2.4.3正交矩陣的例子例1 （南京大學）設為階實對稱矩陣，為階實反對稱矩陣，且為滿秩矩陣，試證：為正交矩陣。證：因為為滿秩矩陣，所以，則可逆。，又由，得。代入上式得，故是正交矩陣。例2 （中國科學院）求證：不存在正交矩陣,，使。證：用反證法。若存在階正交矩陣,使， 式右乘得 ，式變形為，再左乘得 ，由于,是正交矩陣，從而是正交矩陣，此即

19、是正交矩陣。類似可知是正交矩陣，故有，兩式相加得。矛盾，即證結(jié)論。解題技巧：利用正交矩陣性質(zhì)的（2）、（3）和正交矩陣的定義來求解。例3 （長春地質(zhì)學院）設有二階矩陣，試分別將它們用正交矩陣化為對角矩陣，并求正交矩陣，使。解：因為，所以的特征值為?？汕蟮谜魂囀沟?。 又因為，所以的特征值為。也可求得正交陣使得。 根據(jù)式和得，從而。令，則為正交陣，且。2.5實對稱矩陣2.5.1實對稱矩陣的定義對于實矩陣，若，則稱為實對稱矩陣。注：若為實反對稱矩陣。2.5.2實對稱矩陣的性質(zhì)（1）實對稱矩陣的特征值皆為實數(shù)；（2）實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量必正交；（3）實對稱矩陣可正交相似于對角矩陣，即

20、對于任意一個階實對稱矩陣，都存在一個階正交矩陣，使為對角矩陣；（4）若為實對稱矩陣，則存在可逆矩陣，使得也是實對稱矩陣；（5）若為實對稱矩陣，則存在為實對稱矩陣，使得（例2）。2.5.3實對稱矩陣正交相似于對角矩陣的計算方法：第一步：求的特征值和對應的線性無關(guān)特征向量。設是的所有互異特征值，其重數(shù)分別為，且。又設對應特征值的個線性無關(guān)的特征向量為。第二步：當時，將特征向量用方法正交化：，再單位化 ，如果，直接將單位化得。第三步：構(gòu)造正交矩陣，則。2.5.4有關(guān)實對稱矩陣的例子例1 試求正交的相似變換矩陣，化下列實對稱矩陣為對角矩陣（1）；（2）。解：（1）可求得，的特征值為。對應的特征向量分別

21、為，（它們應是兩兩正交的）單位化得，故正交矩陣，使得。（2）可求得，的特征值為。又對應的特征值的線性無關(guān)特征向量分別為，將其正交化，再單位化,，對應的特征值的特征向量為，單位化得。故正交矩陣，使得。解題技巧:要將實對稱矩陣化為對角矩陣，應先通過來求的特征值。若其特征值互異，則可通過解來求對應的特征向量，然后直接將其單位化。若某一特征值有重數(shù)，則應先將其特征向量正交化，然后再單位化。例2 （北京航空航天大學）已知，求滿足關(guān)系的實對稱矩陣。解：易解得的三個特征值為1，16, 49，找出這三個特征值的特征向量，然后再單位化并組成正交矩陣，即有(注意到對稱矩陣對應于不同的特征值的特征向量必正交，所以這

22、里不需要正交化)，那么有，即有。解題技巧:通過觀察可知其為實對稱矩陣，則存在正交矩陣，使得或，再將對角陣寫成，即可得答案。所以首先應求出正交矩陣。因為本題所求出的特征值互異，所以其對應特征向量必正交，從而對特征向量直接單位化即可。2.6正定矩陣2.6.1正定矩陣的定義設是元實二次型（為實對稱矩陣），如果對任意不全為零的實數(shù)都有，則稱為正定二次型，為正定矩陣。2.6.2正定矩陣的判定條件（1）階實對稱矩陣是正定的充分必要條件是與單位矩陣合同；（2）階實對稱矩陣是正定的充分必要條件是，存在階實可逆矩陣，使得；（3）階實對稱矩陣是正定的充分必要條件是的順序主子式都為正，即；（4）階實對稱矩陣是正定的

23、充分必要條件是的特征值全為正；（5）是正定矩陣，由的對稱正定性知，存在正交矩陣，使得，其中。2.6.3正定矩陣的性質(zhì)（1）是正定矩陣，則也是正定矩陣（例3）；（2）是正定矩陣，則也是正定矩陣；（3）是正定矩陣，則也是正定矩陣；（4）是正定矩陣，則其階順序主子陣也是正定矩陣；（5）均是正定矩陣，則也是正定矩陣。2.6.4正定矩陣的判定方法對于具體給出的矩陣來說：（1）判斷是否為實對稱矩陣。（2）根據(jù)判定條件來判斷（一般通過檢驗的各階順序主子式是否都大于零）。對于抽象給出的矩陣來說：方法1：利用定義：即對任意列向量，恒有二次型，則為正定矩陣（當證明若干個矩陣之和或積為正定矩陣時，常采用此法）。方法

24、2：利用特征值：當?shù)乃刑卣髦荡笥诹銜r，為正定矩陣（當證明矩陣的各種運算，如數(shù)乘、方冪、逆矩陣、伴隨矩陣、多項式矩陣等為正定矩陣，常用此法）。2.6.5有關(guān)正定矩陣的例題例1 設為階實對稱且正定，為實矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，試證明：為正定矩陣的充分必要條件是的秩。證：（這是要證明三個矩陣之積是正定的，可采用定義證之）充分性：因為，所以為實對稱矩陣。由于，則齊次線性方程組只有零解，從而對于任意實維列向量有。又為正定矩陣，所以對于有。于是，對任意，有，故為正定矩陣。必要性：已知為正定矩陣，則對任意的實維列向量，有，即，由正定知，因此只有零解，從而。解題技巧：要證矩陣正定時，應先證其為對稱矩陣，然后在利

25、用正定矩陣的判定條件來進行證明。此題證明充分性時，還用到矩陣的秩與其線性方程組的關(guān)系來推出正定矩陣的判定條件。例2 設為階正定矩陣，為階實反對稱矩陣。證明：是正定矩陣。證：（這是證明兩矩陣之差為正定矩陣，可采用定義證之）因為是正定矩陣，所以，且對任意維實列向量有。又是實反對稱矩陣，即，從而，即是實對稱矩陣，又對任意實維列向量，有。故是正定矩陣。解題技巧：本題主要利用為階實反對稱矩陣來解題的。例3 證明：若是正定矩陣，則也是正定矩陣。證：（法1） 由于正定，所以，且對任意有。又，從而對任意，有（注意，且當時）又，即是實對稱矩陣，故是正定矩陣。（法2）因為，所以，即是實對稱矩陣。設是的特征值，由正

26、定知。而的特征值為，且，故是正定矩陣。例4 設是階實對稱矩陣，且滿足。證明是正定矩陣。證：（滿足多項式矩陣方程，只要證明的特征值全大于零即可）設，即是的特征值，是對應的特征向量，則有。由知，解得其根為。因為實對稱矩陣的特征值為實數(shù)，所以的特征值為1或3，即的特征值全大于零，故為正定矩陣。注：矩陣特征值例5 （上海交通大學）為階實對稱矩陣，為階單位矩陣。求證：對充分小的正數(shù)，為正定矩陣。證：可證為實對稱矩陣。因為存在正交矩陣，使其中為的全部實特征值。令不妨設（因為若，則，結(jié)論已證）。再令。則 又有 由式知 故為正定矩陣。例6 （北京大學）設為實對稱矩陣，證明：的充分必要條件是存在一實矩陣，使得正

27、定，其中為的轉(zhuǎn)置。證：因為，所以是階實對稱矩陣。必要性：若，則存在，令，則。由此可知正定。充分性：已知正定，則對且有。由上式可知，這就是說，對任意，都有，從而僅有零解，故。例7 設是階正定矩陣，證明。證：（法1）因為是正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得，其中。于是。（法2）設是的特征值，由正定知。又的特征值為，從而。例8 （華中師范大學，北京郵電學院）設是一個階實可逆矩陣，證明：存在一個正定矩陣和正交矩陣，使。證：因為是正定矩陣，所以存在正定矩陣，使。從而，其中。由于所以為正交矩陣。例9（武漢大學）若是實滿秩矩陣，求證：存在正交矩陣，使，。證：由于實滿秩，所以可逆，從而為正定矩陣，所以存在正交矩

28、陣，使得 ， 其中。令，再令，則由式有，令,則。即是正交矩陣，且。例10 (華中科技大學)證明:任意階實可逆矩陣可以表成一個正定矩陣與一個正交矩陣之積。證明：由是可逆矩陣，則為正定矩陣，于是有正定矩陣，使得 ， 令，顯然有。 于是是正交矩陣，且有。注意：對于與正定矩陣有關(guān)的題目，下面結(jié)論往往會有用。 （1）對于正定矩陣，存在正定矩陣，使得。實際上，對于任何正整數(shù)，都有正定矩陣，使得。 （2）設為階正定矩陣，是同階實對稱矩陣，則必存在可逆矩陣，使，其中全是的特征值。 這個結(jié)論的證明如下：因為是正定矩陣，由(1)知存在可逆矩陣，使，又矩陣也是實對稱矩陣，故有正交矩陣，使，令，則滿足題目的結(jié)論的形式

29、,又，因此是多項式的根。因為可逆，所以也是的根。 第三章 矩陣與矩陣之間的關(guān)系和應用3.1矩陣合同3.1.1合同矩陣的定義設是數(shù)域上的矩陣，如果存在數(shù)域上的可逆矩陣，使，則稱與合同。3.1.2合同矩陣的性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論（一）合同矩陣的性質(zhì)：（1）反身性：與合同；（2）對稱性：若與合同，則與合同；（3）傳遞性：若與合同，與合同，則與合同；（4）若與合同，則的秩與的秩相等；（5）若與合同，且對稱，則也對稱。（二）合同矩陣的有關(guān)結(jié)論：（1）經(jīng)過可逆的線性變換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的，即；（2）數(shù)域上秩為的任意一個階對稱矩陣都合同于一個秩為的對角矩陣，即存在可逆矩陣，使，這里的對角元素中

30、有個非零。3.1.3矩陣合同的判定和證明（1）兩個元復二次型可通過復的可逆線性變換互化的充分必要條件是，二者有相同的秩；（2）兩個階實對稱矩陣在實數(shù)域上合同的充分必要條件是，二者有相同的秩與符號差（實對稱矩陣的符號差即二次型的符號差）。3.1.4有關(guān)合同矩陣的例題例1 與矩陣合同的矩陣是（ ）， ， ， 。解：（法1）由寫出二次型，并用配方法得，從而的秩為3，且正慣性指數(shù)為2，與中矩陣的秩和正慣性指數(shù)相同，故選。（法2）對采用相同的初等行、列變換化為對角矩陣（因不需求合同變換矩陣,故不必構(gòu)造矩陣進行化簡），故的秩為3，且正慣性指數(shù)為2。（法3）可求得，即的特征值為1,3，-2，從而的秩為3且正

31、慣性指數(shù)為2。注：由于是實對稱矩陣，且二次型用正交變換化為標準形后，其平方項的系數(shù)即為的特征值，故求出的特征值即可確定的秩與正慣性指數(shù)。例2 己知實對稱矩陣，求可逆矩陣，使得。解：（法1）因為實對稱矩陣，對應的二次型分別為 與，直接做出可逆線性變換使前者變?yōu)楹笳?，則此可逆線性變換的矩陣即為所求的可逆矩陣。令，即，將其代人前一個二次型可得到后一個二次型，故所求的可逆矩陣為。（法2）采用初等變換法。因為，所以可逆矩陣，使得。解題技巧：就本題要求出使兩矩陣合同的可逆矩陣。有以下兩種方法：（法1）先通過和來求得實對稱矩陣、對應的二次型，用可逆線性變換，使與相關(guān)。 （法2），當化為b時，單位矩陣也相應地

32、化為可逆矩陣，則。例3 設矩陣合同于，矩陣合同于，試證既合同于，又合同于。證：由題設條件知，存在可逆矩陣和，使得。由和可逆知，分塊矩陣與都是可逆的，且有，故既合同于，又合同于。3.2矩陣相似3.2.1相似矩陣的定義若存在可逆矩陣，使得，則相似于。3.2.2相似矩陣的性質(zhì)若相似于，則（1）；（2）；（3）。3.2.3相似矩陣的判定方法設,是數(shù)域上的階矩陣(1) 當、都成立時，與相似（這是與相似的必要條件）；(2) 當與均相似于同一個對角矩陣，則與相似(所給的條件僅是充分的)；(3) 對于抽象矩陣與，常用定義判斷其是否相似。與相似的充分必要條件是:(4)與等價；(5)與的行列式因子相同；(6)與的

33、不變因子相同；(7)與的初等因子相同；(8)與有相同的特征多項式（前提：與都可對角化）。3.2.4有關(guān)相似矩陣的例子例1 (南開大學)設，是階方陣，其中，是可逆的，試證:存在可逆陣，使成立的充分必要條件是和相似。證：（必要性）由于，所以 。 （充分性）設，則。令，則，均為可逆矩陣，且。例2 (北京師范大學)設是實數(shù)。，。證明： (1) ,彼此相似；(2)如果，則至少有兩個特征根等于0。證：（1），這說明與等價，故與相似。類似可證與相似.再由于相似是一種等價關(guān)系，故與相似。從而,彼此相似。(2)由可得，移項后可得，所以?？汕蟮茫?。例3 設與相似，試求的值。解：依題意，有及，即，解得。例4 已知

34、與相似，試求的值。解：依題意，有及，即，解得或。因為都不是單根，所以需要回代檢驗。以分別代入矩陣與，得，由知此時的與相似。以分別代人矩陣與，得，由知此時的與相似。所以或均為所求。解題技巧：對利用相似矩陣的性質(zhì)來確定矩陣中的未知元素這樣的問題可用以下兩個方法來求解：（1）若兩個相似矩陣與可對角化，則可用“與有相同的特征多項式”來求解，無需“回代檢驗”。（2）若兩個相似矩陣不可對角化，可用“、與有相同的特征值”這三個性質(zhì)來求解，如果所有未知元素都是單根，則解題結(jié)束。如果解出的未知元素不都是單根，則需要“回代檢驗”這個過程。3.3矩陣等價3.3.1矩陣等價的定義（1）矩陣與稱為等價的，如果可以由經(jīng)過

35、一系列初等變換得到；（2）如果矩陣可以經(jīng)過有限次的矩陣初等變換化成，則稱與等價。3.3.2矩陣等價的定理和性質(zhì)（1）兩個矩陣,等價的充分必要條件：存在可逆的級矩陣與可逆的級矩陣，使；（2）反身性:每一個矩陣與自己等價；（3）對稱性:若與等價，則與等價；（4）傳遞性:若與等價，與等價，則與等價。3.3.3有關(guān)矩陣等價的例子例1 判斷與是否等價，這里（1），；（2），。解： （1）可求得的行列式因子為，而的行列式因子為。它們的行列式因子不同，從而與不等價。（2）的秩為3，且初等因子為，。由于，所以的秩為3，且初等因子為，?？梢娕c的秩相同且初等因子相同，故它們等價。注意：（1）行列式因子 設是階矩陣

36、，足不超過的自然數(shù)。如果的所有階子式的最大公因式不等于零，則稱這個多項式為的階行列式因子，記為。（2）不變因子設階矩陣的行列式因子為，則必有，記（其中設），多項式稱為的不變因子。例2（三峽大學）設，試問（1）取何值時，與等價？（2）取何值時，與合同？（3）取何值時，與相似？解：（1）由題意得，其中，因為要與等價，即，得，所以。（2），由于的秩為3，正慣性指數(shù)為2，負慣性指數(shù)為1，所以其符號差為1。當，的秩為3，正慣性指數(shù)為2，負慣性指數(shù)為1，且符號差為1，所以與合同。（3）由于，而，當時，。結(jié)束語高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)的重要基礎課，它對培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力，以及后續(xù)課程的學習起著非常重要的作用，而數(shù)學碩士研究生入學考試的命題分析與命題趨勢是每位輔導老師和考生共同關(guān)注的問題，還有很多專