最新柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式

1、 第三章 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié)第三節(jié) 柯西積分公式和高階柯西積分公式和高階一、柯西積分公式一、柯西積分公式二、高階導(dǎo)數(shù)公式二、高階導(dǎo)數(shù)公式三、調(diào)和函數(shù)三、調(diào)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則則czzzzfid)(210解析，解析，)(0zf內(nèi)一點，內(nèi)一點，c0z是是一、柯西積分公式一、柯西積分公式是正向簡單閉曲線，是正向簡單閉曲線，c設(shè)設(shè)上及上及其內(nèi)部其內(nèi)部)(zfc在在) 1 (機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則則cnzzzzfind)()(2!10解析，解析，)(0)(zfn內(nèi)一點，內(nèi)一點，c0z是是二、高階導(dǎo)數(shù)公式二、高階導(dǎo)數(shù)公式是正向

2、簡單閉曲線，是正向簡單閉曲線，c設(shè)設(shè)上及上及其內(nèi)部其內(nèi)部)(zfc在在),2, 1(n)2(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式公式)2() 1 (常用于計算積分：常用于計算積分：)(2d)(00zfizzzzfcczzzzfid)(210)(0zf) 1 (zzzzfincnd)()(2!10)(0)(zfn)2()(!2d)()(0)(10zfnizzzzfncn這兩個積分的被積函數(shù)分別為：這兩個積分的被積函數(shù)分別為：)(zf01zz )(zf10)(1nzz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 計算積分計算積分.d111| 1|3zzz解：解：yxo211| 1|3d11zzz

3、1| 1|2d1111zzzzz1|1|z,1圓周圓周內(nèi)包含內(nèi)包含而函數(shù)而函數(shù)112zz在在1|1|z內(nèi)解析，內(nèi)解析， 所以所以1| 1|3d11zzz|12112zzzii32i2321i2321機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2 計算積分計算積分.d111| 1|4zzz解：解：yxo211| 1|4d11zzz1| 1|2d11) 1)(1(1zzzzz1|1|z,1圓周圓周內(nèi)包含內(nèi)包含而函數(shù)而函數(shù)) 1)(1(12zz在在1|1|z內(nèi)解析，內(nèi)解析， 所以所以1| 1|4d11zzz|12) 1)(1(12zzzii21ii1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 計算積分計

4、算積分.d123|2|2izz izze解：解：yxoi 223|2|d1izz izizize23|2| iz, i圓周圓周內(nèi)包含內(nèi)包含而函數(shù)而函數(shù)izez i在在23|2| iz內(nèi)解析，內(nèi)解析， 所以所以|2izz iizeieiei221ii23|2|2d1izz izze23|2|2d1izz izze機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 計算積分計算積分.d) 1(2|42zzzzze解：解：yxo22|z, 1圓周圓周內(nèi)包含內(nèi)包含而函數(shù)而函數(shù)2)(zezfz在在2|z內(nèi)解析，內(nèi)解析，) 1 (!32fi 12|42d) 1(zzzzze2|42d) 1(1)(zzzzze2|

5、42d) 1(zzzzze,2)(zezfz,2)( zezf,)(zezf 所以所以ei!323ie機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 計算積分計算積分.d) 1(2|22zzzze解：解：yxo2ii2|22d) 1(zzzze21|22d) 1(izzzze21|22d) 1(izzzze其中其中21|22d) 1(izzzze21|22d)(1)(izzzizize|2)(!12izzizei4)1(2ieii2)1 (ieii機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21|22d) 1(izzzze21|22d)(1)(izzzizize|2)(!12izzizei4)1(2iei

6、i2)1(ieii原積分原積分2)1(ieii2)1 (ieii機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、調(diào)和函數(shù)三、調(diào)和函數(shù)定義：定義： 設(shè)設(shè)d),(yx在區(qū)域在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程, 02222yx那么稱那么稱),(yx為區(qū)域為區(qū)域d內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù).定義：定義：且滿足柯西且滿足柯西 - 黎曼方程黎曼方程,yvxu設(shè)設(shè)d),(yxu都是都是內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，),(yxvxvyu則稱則稱),(yxu是是共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù).),(yxv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理：定理： 任何在區(qū)域任何在區(qū)域

7、d內(nèi)解析的函數(shù)，內(nèi)解析的函數(shù)，它的實部和它的實部和d虛部都是虛部都是內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).例例6解：解：證明證明yxyyxu233),(為調(diào)和函數(shù)，為調(diào)和函數(shù)， 并求其共軛并求其共軛調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)),(yxv和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)和由它們構(gòu)成的解析函數(shù).,622yxu,6xyxu,3322xyyu,622yyu所以所以, 02222yuxu即即),(yxu為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xuyv)(32xgxy 由由,6xyyxyyxvd6),(得得)(32xgyxv所以所以yuxv又由又由得，得，)(32xgy,3322xy 即即,3)(2xxg故故cx 3x

8、xxgd3)(2因此因此cxyxyxv233),(得解析函數(shù)得解析函數(shù))3(3)(2323cxyxiyxyzf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7解：解：yxyxyyeyxvx)sincos(),(已知一調(diào)和函數(shù)已知一調(diào)和函數(shù)求一解析函數(shù)求一解析函數(shù)使使,)(v iuzf, 1)sinsincos(yyxyyexvxyvxu. 0) 0 (f, 1)cossin(cosyxyyyeyvx1)cossin(cosyxyyyex得得xyxyyyeyxuxd 1)cossin(cos),()()sincos(ygxyyyxex機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yuxv由由得，得，1)sinsincos(yyxyyex)()sincossin(ygyyyyxex即即, 1)( yg故故cy yygd1)(因此因此cyxyyyxeyxux)sincos(),(得解析函數(shù)得解析函數(shù)cy