工程流體力學(xué)：第20講(7-1)

1、一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式xyzx y zfx , fy , fzpyfxfzfyxzo),(zyx一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式(續(xù)續(xù))x軸方向的受力軸方向的受力2dxxpp2dxxpppyfxfzf()2p dxpdydzx()2p dxpdydzxx()()22xxdvp dxp dxdxdydzfdxdydzpdydzpdydzdtxxxf1xxdvpfdtx一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式(續(xù)續(xù))同理同理, y、z方向的運動微分方程。方向的運動微分方程。2dyypp2dzzpp2dxxpp2dxxpp2dzzpp2dyypppyfxfzf1

2、11xxyyzzdvpfdtxdvpfdtydvpfdtz1dvfpdt一、歐拉運動微分方程式一、歐拉運動微分方程式(續(xù)續(xù))111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzxvvvvpvvvftxyzyvvvvpvvvftxyzz1()vvvfpt111xxyyzzdvpfdtxdvpfdtydvpfdtz1dvfpdt二、蘭姆運動微分方程式二、蘭姆運動微分方程式y(tǒng)yxxxxzzxyzyzvvvvvvvvvvvvvtxxxyxzxxxxxxxyzdvvvvvvvvdttxyz22222xyzxzyyzvvvvvvtx212()()2xzyyzxvpvvvftxx

3、二、蘭姆運動微分方程式二、蘭姆運動微分方程式(續(xù)續(xù))22212()()212()()212()()2xzyyzxyxzzxyzyxxyzvpvvvftxxvpvvvftyyvpvvvftzz 若存在函數(shù)若存在函數(shù)(x,y,z)滿足滿足 F=-grad,即即 F等于等于 的負梯度，則稱的負梯度，則稱 F 有有勢，勢，為為 F 的勢函數(shù)。的勢函數(shù)。存在勢函數(shù)的其他判定條件存在勢函數(shù)的其他判定條件1、若存在函數(shù)、若存在函數(shù)F ，使得，使得F 滿足的積分結(jié)果滿足的積分結(jié)果 -與積分路線無關(guān)，只與積分路線無關(guān)，只與積分的始、終點有關(guān)，則稱與積分的始、終點有關(guān)，則稱 F 有勢，有勢，為為 F 的勢函數(shù)。的

4、勢函數(shù)。0 , 0 , 0 , yyxxzzFFFFFFyxzyxz2、若函數(shù)、若函數(shù)F 滿足：滿足：則稱則稱 F 有勢，有勢， F=-grad ，為為 F 的勢函數(shù)。的勢函數(shù)。()xyzdppdf dxf dyf dzf dr（1）不可壓流體質(zhì)量力的勢函數(shù)）不可壓流體質(zhì)量力的勢函數(shù)gradpf pc pppdppddxdydzxyz() ()xyzidxjdykdzifjfk f()pppijkidxjdykdzxyzgradpdr 即滿足：即滿足： , , xyzpppfffxyz或或()( )xyzdpdpdf dxf dyf dzp2.正壓流體質(zhì)量力的勢函數(shù)正壓流體質(zhì)量力的勢函數(shù)( )

5、Fdppp 質(zhì)量是否有勢？質(zhì)量是否有勢？00 xyzfxfyfgz gzc重力是否有勢？重力是否有勢？( )p3.重力場中質(zhì)量力的勢函數(shù)重力場中質(zhì)量力的勢函數(shù)問：問：4.無旋流動速度的勢函數(shù)無旋流動速度的勢函數(shù) , , yyxxzzvvvvvvyzzxxy0所以速度有勢，勢函數(shù)所以速度有勢，勢函數(shù)滿足：滿足：xyzddxdydzv dxv dyv dzxyz二、兩個積分式的前提條件二、兩個積分式的前提條件0yxzvvvttttxyzfffxyz 111FFFppppppxxyyzz( )Fdppp1.前提條件前提條件二、兩個積分式的前提條件二、兩個積分式的前提條件(續(xù)續(xù))/p RT1lnFpR

6、Tp1Cp1FppConstFpp二、兩個積分式的前提條件二、兩個積分式的前提條件(續(xù)續(xù))222()2()2()2()2()2()2FzyyzFxzzxFyxxyvpvvxvpvvyvpvvz 22212()()212()()212()()2xzyyzxyxzzxyzyxxyzvpvvvftxxvpvvvftyyvpvvvftzz222()2()2()2()2()2()2FzyyzFxzzxFyxxyvpvvxvpvvyvpvvz 0 xyz222()02()02()02FFFvpxvpyvpz 三、歐拉積分式三、歐拉積分式(續(xù)續(xù))222()()()0222FFFvvvpdxpdypdzxyz

7、 xyz2()02Fvdp22Fvp常數(shù)物理意義：物理意義：非粘性的不可壓縮流體非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作量力作用下作無旋流動無旋流動，流場中，流場中任任一點一點的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能和動能的總和保持不能、壓強勢能和動能的總和保持不變，且這三種機械能可以相互轉(zhuǎn)換。變，且這三種機械能可以相互轉(zhuǎn)換。四、伯努利積分式四、伯努利積分式222()2()2()2()2()2()2FzyyzFxzzxFyxxyvpvvxvpvvyvpvvz 有旋流動有旋流動0四、伯努利積分式四、伯努利積分式(續(xù)續(xù))2

8、22()()()0222FFFvvvpdxpdypdzxyz 方程組三式分別乘以某一條流線上任一微元線段的三個軸方程組三式分別乘以某一條流線上任一微元線段的三個軸向分量向分量dx, dy, dz222()2()2()2()2()2()2()2()2()2FzyyzzyyzxFxzzxxzzxyFyxxyyxxyzvpdxvvdxvvv dtxvpdyvvdyvvv dtyvpdzvvdzvvv dtz 三式相加三式相加四、伯努利積分式四、伯努利積分式(續(xù)續(xù))222()()()0222FFFvvvpdxpdypdzxyz2()02Fvdp22Fvp常數(shù)伯努利積分式伯努利積分式物理意義：物理意義：

9、非粘性的不可壓縮流非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在體和可壓縮的正壓流體，在 有有勢的質(zhì)量力作用下作勢的質(zhì)量力作用下作有旋流動有旋流動時，時，沿同一條流線沿同一條流線上各點單位質(zhì)量流上各點單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能和體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能和動能的總和保持不變，且這三種動能的總和保持不變，且這三種機械能可以相互轉(zhuǎn)換。機械能可以相互轉(zhuǎn)換。五、伯努利方程五、伯努利方程伯努利方程伯努利方程質(zhì)量力僅僅是重力質(zhì)量力僅僅是重力不可壓縮流體不可壓縮流體gz/Fpp常數(shù)，22pvgz常數(shù)22Fvp常數(shù)物理意義：物理意義：在重力作用下不可壓縮在重力作用下不可壓縮理想流體作定常流動時，對于理想

10、流體作定常流動時，對于有旋有旋流動，沿同一條流線流動，沿同一條流線單位質(zhì)量流體單位質(zhì)量流體的位勢能、壓強勢能和動能的總和的位勢能、壓強勢能和動能的總和保持不變；對于保持不變；對于無旋流動，在整個無旋流動，在整個流場流場中總機械能保持不變中總機械能保持不變.表述流動的方程表述流動的方程(4個個)111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzxvvvvpvvvftxyzyvvvvpvvvftxyzz()()()0 xyzvvvtxyz方程中的未知量方程中的未知量(5個個), ,xyzv v vp補充方程補充方程:Const( )p或或一、初始條件一、初始條件起始瞬

11、時所給定的流場中每一點的流動參數(shù)。起始瞬時所給定的流場中每一點的流動參數(shù)。12345( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )xyzvx y zf x y zvx y zfx y zv x y zfx y zp x y zfx y zx y zfx y z定常流動：定常流動： 無需起始條件。無需起始條件。非定常流動：非定常流動：必須起始條件。必須起始條件。二、邊界條件二、邊界條件任一瞬時運動流體所占空間的邊界上所必須滿足的條件任一瞬時運動流體所占空間的邊界上所必須滿足的條件固體

12、壁面上的運動學(xué)條件固體壁面上的運動學(xué)條件:不同流體交界面上的運動學(xué)條件：不同流體交界面上的運動學(xué)條件：不同流體交界面或固體壁面上的動力學(xué)條件：不同流體交界面或固體壁面上的動力學(xué)條件：nwnvv0nv 12nnvvambpp固體壁面靜止固體壁面靜止速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)一、勢函數(shù)一、勢函數(shù) 不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時，總有速度勢存不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時，總有速度勢存在，故無旋流動也稱有勢流動。在，故無旋流動也稱有勢流動。yyxxzzvvvvvvyzzxxy0上式是上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)的全微分的必要且充分的條件，函數(shù) 稱為

13、稱為速度勢函數(shù)。速度勢函數(shù)。 xyzv dxv dyv dz( , )x y z( , )x y z1.有勢流動有勢流動速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)2.速度勢速度勢xyzddxdydzv dxv dyv dzxyzxyzvvvxyz勢函數(shù)勢函數(shù) 的微分方程的微分方程( , )x y z一、勢函數(shù)一、勢函數(shù)勢函數(shù)與速度的關(guān)系勢函數(shù)與速度的關(guān)系3.速度勢的性質(zhì)速度勢的性質(zhì)（1）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應(yīng)坐標的）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應(yīng)坐標的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)（2）在有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。在有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。（3）在有勢流動中，沿一曲線

14、的速度環(huán)量等于曲線終點與在有勢流動中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與 起點的速度勢之差。起點的速度勢之差。xyzvvvxyz1rzvvvrrzBBBABxyzBAAAAv dxv dyv dzdxdydzdxyz22222220 xyz 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)一、勢函數(shù)一、勢函數(shù)2222222xyz 拉普拉斯算子拉普拉斯算子二、流函數(shù)二、流函數(shù)1.流函數(shù)存在的條件流函數(shù)存在的條件不可壓縮流體的平面流動不可壓縮流體的平面流動yxvvxy 上式是上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)分的必要且充分的條件，函數(shù) 稱為流函數(shù)。稱為流函數(shù)。 0yxvvxyxyv

15、 dyv dx( ,)x y( ,)x y速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)二、流函數(shù)二、流函數(shù)(續(xù)續(xù))2.流函數(shù)流函數(shù)yxddxdyv dxv dyxy xyvvyx 流函數(shù)流函數(shù) 的微分方程的微分方程( ,)x y速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)流函數(shù)與速度的關(guān)系流函數(shù)與速度的關(guān)系 3.流函數(shù)的性質(zhì)流函數(shù)的性質(zhì)（1）速度與流函數(shù)的關(guān)系）速度與流函數(shù)的關(guān)系（2）在平面流動中，兩條流線間單位厚度通過的體積流）在平面流動中，兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。（3）在平面流動中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。）在平面流動中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。二、流函數(shù)

16、二、流函數(shù)(續(xù)續(xù)) cos( , )cos( , )()()BBBBVnxyxyxyBAAAAAdydxqvdlvnxvn y dlvvdlvdy vdxdldl22222220 xyz xyvvyx 1rvvrr 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)三、流網(wǎng)三、流網(wǎng)1.速度勢速度勢 和流函數(shù)和流函數(shù) 的關(guān)系的關(guān)系xyvxyvyx 0 xxyy等勢線簇等勢線簇 和流線簇和流線簇 相互垂直。相互垂直。( ,)x y 常數(shù)( ,)x y 常數(shù)速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)在平面上，等勢線簇和流線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。在平面上，等勢線簇和流線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)。例題：例題：有一不可壓流體平面流動

17、的速度分布為有一不可壓流體平面流動的速度分布為 求：求：該平面流動是否存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)；該平面流動是否存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)； 若存在，試求出其表達式；若存在，試求出其表達式； 若在流場中若在流場中A（1m，1m）處的絕對壓強為）處的絕對壓強為1.4105Pa， 流體的密度流體的密度1.2kg/m3，則，則B（2m，5m）處的絕對壓強是多少？）處的絕對壓強是多少？ 解：（1）由不可壓流體平面流動的連續(xù)性方程 44xyuxuy ，(4 )( 4 )0yxuuxyxyxy0 xy4411022yxzuyxuxyxy 該流動滿足連續(xù)性方程，流動是存在的，存在流函數(shù)。該流動滿足連續(xù)性方程，流動是

18、存在的，存在流函數(shù)。由于是平面流動由于是平面流動由于是平面流動該流動無旋，存在速度勢函數(shù)。由于是平面流動該流動無旋，存在速度勢函數(shù)。 ddddd4 d4 dyxxyuxu yy xx yxy 8xyCddddd4 d4 dxyxyu x u yx xy yxy222()xyC222xyuuu22222A(41)( 41)32()ums 22222B(4 2)( 4 5)464()ums （2 2）由流函數(shù)的全微分得：）由流函數(shù)的全微分得：積分得流函數(shù)：積分得流函數(shù)：由速度勢函數(shù)的全微分得：由速度勢函數(shù)的全微分得：積分得速度勢函數(shù)：積分得速度勢函數(shù)：（3 3）若在流場中若在流場中A（1m，1m）處的絕對壓強為）處的絕對壓強為1.4105Pa，流，流 體的密度體的密度 1.2kg/m3，則，則B（2m，5m）處的絕對壓強是多少？處的絕對壓強是多少？ 44xyuxuy ，22AABB22pupugggg225BAAB11()1.4 101.2(32464)139740.8()22ppuuPa由由A，B兩點列伯努利方程兩點列伯努利方程A，B兩點在兩點在x，y平面平面ABzz22222A(4 1)( 4 1)32()ums 22222B(4 2)( 4 5)464()ums 5A1.4 10 ()pPa22AABB22ABpupuzzgggg總結(jié)總結(jié) 1 1、勢函數(shù)和流