一元多項式和高次方程PPT精選文檔

1、.1一元多項式和高次方程.2一元多項式項數(shù)與次數(shù)，零多項式?jīng)]有確定的零多項式：系數(shù)都是零零次多項式單獨的一個非零數(shù)次多項式系數(shù)、整系數(shù)一元類似的：實系數(shù)、有理數(shù)次多項式：系數(shù)都是復(fù)復(fù)系數(shù)一元是確定的自然數(shù)，這里以寫成次多項式的一般形式可為元的一元一般地，以:. 00012211annanaxaxaxaxanxnnnnnnn.3多項式的四則運算加法的分配律。律、結(jié)合律以及乘法對并且加乘運算滿足交換是一元多項式，相減）、相乘的結(jié)果仍一元多項式相加（包括 整除。能被是零多項式時，就是當是零多項式。的次數(shù)，或者的次數(shù)小于其中時，就有下列等式：及余式得商式（不是零多項式），除以除式能整除，當被除式是總一

2、個一元多項式，并不一個一元多項式除以另xgxfxrxrxgxrxrxqxgxfxrxqxgxf,.4綜合除法式項式除以一個一元一次綜合除法：一個一元多:012233bxaxaxaxa除以先用一般的除法計算.5bbbaaaabbaaabaaa3210321323;,數(shù)分別是商式中各項的系數(shù)及余得到余數(shù)。以此類推，最后系數(shù)就得到第二個數(shù)，加上被除式中下一項的再這個數(shù)乘以式中第一項的系數(shù)，把其中第一個數(shù)就是被除b做綜合除法。用這種算式進行除法叫.6 .1243563;2152452)2(;11428123423423xxxxxxxxxxxxxxrxqxgxf）（）（的形式：列各式，并把結(jié)果寫成例：用

3、綜合除法計算下.7余數(shù)定理 剩余定理、裴蜀定理此定理又叫余式定理、所得的余數(shù)等于除以余數(shù)定理：多項式.bfbxxf .,bfrrbqbbbfbxrxqbxxfrxqbxxf由此即得余數(shù)代入等式的兩邊，得用則有，余數(shù)為所得的商式為除以證明：設(shè)多項式.8 .6, 81512)2(.1, 3) 1 (353fxxxxfxxfxxf求設(shè)所得的余數(shù)除以求設(shè)例：.9因式定理 . 0bfbxxf的充要條件是有一個因式因式定理：多項式 . 00)2(.0, 01bfbxxfbxxfbxxfbxxfbf，根據(jù)余數(shù)定理，有余數(shù)等于所得的除以，則有一個因式必要性：設(shè)有一個因式，因此所得的余數(shù)也等于除以則根據(jù)余數(shù)定理

4、，）充分性：設(shè)證明：（.10. axaxnnn都有因式為任何正整數(shù)時，例：求證 ., 0,axaxaaafaxxfnnnnnn有因式根據(jù)因式定理，那么設(shè) 整除？被能為何值時，多項式例：11183345xmxxxxxfm .17011831, 0111mmfxxfxxf，由此可得即充要條件是，根據(jù)因式定理，有因式整除，就是能被.11利用綜合除法、因式定理來分解因式 .,*, 2 , 112121212121兩兩不等復(fù)數(shù)且其中）（，分解形式：就具有唯一確定的因式冪表示后，用把其中相同的因式的積一次因式個有且僅有次多項式任何一個復(fù)系數(shù)一元定理有下面的定理：次多項式的因式分解，關(guān)于復(fù)系數(shù)一元mmmkm

5、kknixxxnkkkNkkkxxxxxxaxfxfnixxnxfnnm.12 . 53, 22415243296., 2 , 1*322xxxxxxxxxkxfmixxii重一次因式重一次因式，重一次因式有多項式；重一次因式有例如：多項式重一次因式的叫做多項式）中的把分解結(jié)果（.13 .,1的因式也是的因式，那么他們的積次多項式一元都是復(fù)系數(shù)的推論：如果定理xfbxaxxfnbabxax ., 2 , 1, 2 , 1*的因式是由此可見，且一定等于某個，一定等于某個所以是唯一確定的，的分解結(jié)果證明：因為xfxxxxjimjmixbxaxfjiji.14 .,的因式形式，或者確定它沒有這種是互

6、質(zhì)的整數(shù)）的因式（其中的形如理，就能較快地求出它那么進一步運用下列定是整系數(shù)多項式，但是，如果因式，沒有一般的方法要求出它的一次次多項式一元對于一個任意的復(fù)系數(shù)qppqxxfxfn .,200111的約數(shù)一定是末項系數(shù)的約數(shù)，一定是首項，那么是互質(zhì)的整數(shù)其中有因式如果整系數(shù)多項式定理aqapqppqxaxaxaxaxfnnnnn.15 .,. 0, 0,:10211110111nnnnnnnnnnnpaqpaqapqapapqapqapqapqfpqxxf得右邊，并將兩邊都乘以把第二項起的各項移到即所以有因式因為證明.,.的約數(shù)一定是由此可知，的約數(shù)從而也不是的約數(shù)，是的任何一個質(zhì)因數(shù)都不互質(zhì)

7、，所以但因能整除也是一個整數(shù)，即，所以等式的右邊是一個整數(shù)nnnnnnapqqpqpqappqa.,0112110的約數(shù)一定是可以證明成同理，把上面的等式寫aqpapqaqaqpannnnnn.16 .,100111的約數(shù)一定是常系數(shù)那么，其中有因式的整系數(shù)多項式如果首項系數(shù)為推論aqZqqxaxaxaxxfnnn.2次多項式的因式是不是某整系數(shù)一元次式確定一個整系數(shù)一元一及其推論，可以較快地利用定理n .610123分解因式把例xxxxf .151322234分解因式把例xxxxxf.17.18一元n次方程的根的個數(shù) .2.0, 0001110111做復(fù)系數(shù)高次方程時，通常也叫當次方程叫做復(fù)

8、系數(shù)一元，即次多項式，那么方程是復(fù)系數(shù)一元如果nnaxaxaxaxfnaaxaxaxaxfnnnnnnnnn.19 .0系之間有著極為密切的關(guān)的一次因式的根與多項式次方程復(fù)系數(shù)一元xfxfn .01bxxfbxxfn有一個一次因式多項式的充要條件是有一個根次方程一元定理 .0, 2 , 1.00,1.,212121212121重根的叫做方程把重一次因式，則相應(yīng)地的是多項式由于沒有其他的根且的根，都是方程可知由定理兩兩不等復(fù)數(shù)且其中，解形式：具有唯一確定的因式分次多項式何一個復(fù)系數(shù)一元根據(jù)前面內(nèi)容可知，任iiiimmmmkmkknkxfxkxfmixxxfxfxxxxxxnkkkNkkkxxxx

9、xxaxfxfnm.20.2個根）重根算作個根（中有且僅有次方程在復(fù)數(shù)集復(fù)系數(shù)一元定理kknCn .07923234中的解集在復(fù)數(shù)集求方程例Cxxxxxf.0300111的約數(shù)一定是的約數(shù)，一定是的根，那么次方程是整系數(shù)一元如果既約分數(shù)定理aqapaxaxaxanpqnnnnn.11可能是整數(shù)這個方程的有理數(shù)根只，那么次方程的首項系數(shù)是如果整系數(shù)一元推論n.2常數(shù)項的約數(shù)它一定是次方程有整數(shù)根，那么如果整系數(shù)一元推論n.21 .042025616223456中的解集復(fù)數(shù)集在求方程例Cxxxxxxxf .21, 02iiCxf，中的解集為已知它在復(fù)數(shù)集可能小的自然數(shù)）并使最高次項系數(shù)取盡是求一個

10、整系數(shù)方程，求最簡整系數(shù)方程（就例.22一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系 .1*,0(021312421321213121121210111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaxxxaaxxxxxxxxxaaxxxxxxaaxxxxxxCaxaxaxan那么中的根是在復(fù)數(shù)集次方程如果一元韋達定理）定理.23.,3303213132312132321aaxxxaaxxxxxxaaxxxn時，有例如，當.24 進行整理，可知對是一個零多項式差的多項式，所得的的多項式減去等號右邊現(xiàn)將等號左邊相乘與代入上式后，把每一項因為的積：個一次因式與分解成，可以把由上節(jié)定理的根是證明：因為方程xFxFaxxx

11、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaxaxaxaanaxaxaxaxfxxxaxaxaxannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.,1.1,021213121121212101110111210111.25 . 01000.121013121221121021312121211即證，所以的系數(shù)都是根據(jù)零多項式的定義，nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxaaxxxxxxaaxxxaaxFxxxaaxxxxxxxaaxxxxaaxF.26 .0,*, 021210111的根是方程一定式，那么滿足個數(shù)如果有次方程立，即對于任何一元這個定理的逆命題也成xfxxxxxxnaxaxaxaxfnnnnnnn.27.201245223中的解集個方程在復(fù)數(shù)集系，求這次方程的根與系數(shù)的關(guān)利用一元重根，有已知方程例Cnxxx的三個根成等差數(shù)列？是什么數(shù)時，方程當且僅當例03623kxxxk.28實系數(shù)方程虛根成對定理.240, 04222aibacbxcbxaxacb為共軛虛數(shù)，即有一