2020清華強基計劃試題

1、2020年清華大學強基計劃 數(shù)學試題1. 已知x2 + y2<,則x2+!>-/的最值為()A.最大值為邁、無最小值：B.最小值為-邏，無最大值；2 2C.最大值為邁，最小值為-Q；D.既無最大值也為最小值.2 2解 i5x = cos&,y = Fsin&, JVP&w0,2;r), re0J,所以x2 +xy y2 =r2 cos 2 + ?-2 sin 20 = - r2 sin(2 + (p),因為-l<sin(2 + )<l,所以一斗sF+jiy-故選 c.2. 非等邊AABC中，BC = AC. O,P分別為AABC的外心和內(nèi)心，D在

2、BC上且OD丄BP , 下列選項正確的是()A. BODP 四點共圓 B OD / AC C. OD/ ABD. DP/ AC答案：AD解DO與BP交于E , F為初的中點，則ZOEP = ZCFB = 90 ,所DOEFB四點共圓. 所以ZCBP = ZEBF = ZEOP,所以BODP四點共圓.由于 BODP 四點共圓，所以= ZPOB = ZFOB = 2ZOCB = ZACB.故 DP AC.3 A.B.C均為1,2,3,2020的子集，且AuCBuC，問有序的三元組(A.B,C)的個數(shù)為 ()A. 32020B.4202。 C. 52020D. 20203答案：C解 方法1設(shè)u =

3、12,2020.如圖所示方法2若C已確左，貝'J(AB)有半中方法，其中s為集合C元素的個數(shù).因此有序三元組的2020個數(shù)為工。4(1 + 4嚴=5迥J-0解樂 若集合c有點個元素，則/有2打中選擇，B有2上種選擇，讓R遍歷1-2020,可 以、得到所有有序集合組，容易得到符合的組數(shù)為：320203MD込C爲2乞<4"=(1+4嚴=5姙°. VU1U1204.5 = 0,1 如 1=1 q +11,令 A =乞5 '則A.A可以等于0 B. A可以等于2 C.A可以等于10 D.A可以等于1220解 人=|q+“2 + “20卜由條件It/j 1= 1

4、 Ja21= 2或0, 1他1=3或1,，A-i將 叫 +曲 =12,10作為一個整體考慮,a2k H«n_,+ll，即a2k =a2Jk_t +1或a2k =所以 a2k +a2k-l =-!或夠 + % = 2弘 + 1 20設(shè)£兔中有F組取2dg+l，10-/組取一1.則A = |2(q； +q, + + q ) + F + (10/)(1)| = |2/ 10 + 2(q + ci( +q )|其中Z|,L,(為奇數(shù),其中和2,譏全為奇數(shù)現(xiàn)考虜模 4. OtI 2-»-1=0故從嗎=0出發(fā)模4后余數(shù)為°片宀勺0-> I±1或Ot

5、I t2t±1,故47全為奇數(shù).回到M =- 5 + 0 + +他)|若f為奇數(shù).則川=2(mod4)若f為偶數(shù).則"2(mod4)綜上 >l = 2(mod4).故選 BCF y25. P為橢圓C: + = 1±一點，A(1,O),B(1,1),則IE4I+IPBI ()4 3A.最大值為4 +75,無最小值：B.最小值為4_$ 無最大值:C.最大值為4 +厲,最小值為4->/5 ; D.既無最大值也為最小值.答案：c解易知A為C的右焦點，設(shè)其左焦點為F(-1,0),IPAI+IPBI=4-IPFI + IPBI=4+IPBIIPFI,而一IBF 1

6、<1 PBI-I PF 1<1 BFI,故4-y/5<IPAI + IPBI<4+y/5 .6. AABC三邊均為整數(shù)，且而積為有理數(shù)，則邊長"可以為()A.1 解邊長為1,1,1B. 2C.D.4解析：邊長為3, 4. 5的R込応然符合若 = 則三邊長為1, h 1 (舍)或I. 8. 8Itb每倫公式知S = £j(28+lX28-l)因(28-128-1) = 1故"1若“2則三邊長為2. 8841則S =丄J(28 + 3)x3(28-1)=丄丁3(28 + 1)2 _4)2 2又 3(28 + l)2-4)w3(mod4)故蹤l.

7、a = 4 ?彳介.27. P為雙曲線罕-護=1上一點，a(2,0),B(2,0)，令乙PAB = a、乙PBA = /3、下列為左值的是 4( )ci BA. tan a tan ftB. tan tan C.tan(a + J3)D. S>Aii cos(a + /?)2 2t/-i解 設(shè) P(5J),貝'J tana =,tanp =,所以 tancrtan/? = =一，為左值：5 + 2" 5-2於一4 4tan(a + /?)=4 1st3 52 -4解析：設(shè) P(5j) > lana = lan“=5+25-2： tan a tan 8 = = s2

8、-44tan(a + /?) = S”b + tan(a + 0) = -4-均非常數(shù) 3 ” 一48豺故選A.ZCPBZBPA£APB = £BPC = ZCP/f = 120° P 為費勺點AJCD > NBCE均為正1角形，易知亦與3D交點即為P點,共線由I 述可知上（：7?=厶"弋=120。-AfiCP-AfiCD BP BC BC 1 叭s CP CD CA 2同理込竺=竺=2,即廿= 2CTCP EC BC答案為ABCD8. 甲乙丙做一道題，甲：我做錯了，乙：甲做對了，丙：我做錯了，老師：僅一人做對且一 人說錯，問以下正確的是（）A.甲

9、對B.乙對 C.丙對 D.以上說法均不對解析：說對的人是丙，若丙說錯.則丙做對.即甲.乙均說對，矛盾題忖做對的屮.乙都右可能,情況如下:9. 直角 中，ZABC = 90= >/18（? = 1,上1 +旦- += 0,以下正確的是（）IPAI PB PCA. ZAPB = 120二210. limV arctan- =a 3?？贏.B.n4B. ZBPC = 120D.7T2則 tan 0 =C. 2BP = PCD. AP = 2PC2產(chǎn)1 +伙+ 1）伙-1）R + 1 _伙_1）=相（_0）.所以 8 = a 卩、即arctan = arctan（R +1） - arctan伙

10、一 1）, 故!cfX27T2 arctan = aictan（/i + 1） + arctan n 一 arctan 1 = arctan（；z + 1） + arctan 2/ + 1 n 3tt2/ + 1=兀一 arctan 一一 = 一 arctan .tr +/?-144iv +n-故 lim V arctan -4- = .f 幺 k2 411從0,1,2,3,4,567,8.9這10個數(shù)字中任取5個組成一個5位或4位（0在首位）數(shù)，則該數(shù) 被396整除的概率為（）講圻：396 = 9x4x11先考世被9整除的紐合1. 8: 2. 7： 3. 6： 4. 5 任盤 2 爼Hh 9

11、 (I)12348： 12357： 12456 (2) 126： 135. 234. 09 (3)再考慮被II整除(I中只能加0址肩韋世被4整除.12357舍去135409舎去(2)所有悄況數(shù)為韋4斥+缶4斎=8(I)的所冇悄況為C；x2x+C；x2x=48綜卜共仃8 + 8 + 4864種故概率為642945A.最大值為4迥B.最大值為2y/5 C.最小值為0D.最小值為2。解析：396=4x9x11,被4整除的數(shù)后兩位被4整除，被9整除的數(shù)黃個位數(shù)之和被9 整除，被11整除的數(shù)奇數(shù)位的和與偶數(shù)位的和被11整除“考慮3類數(shù)，沒有0和9, 0和9有一個，有0和9卩(1)沒有0和9:先考慮能被9

12、整除，只有這些組合“18234”，“27135” “45126”" 再考慮被11整除，比如18234中1和8只能非在第二位和第四位，再考慮祓4整除，卩 組合18234共有4個，組合27135有0個，組合45126有4個，一共有8個；卩<2)0和9有一個：先考慮敝9整除，先在09選二個數(shù)，再在1.8; 27； 36; 45中任選 2對數(shù).再考慮褲11整除，這時候選的兩隊數(shù)分別在帝數(shù)位和偶數(shù)位，所嘆只能再選0,不 能選9,共有C：種選擇，再考慮被4整除，例如組合“ 18270”，有21780, 71280, 08712,78012, 17820, 81720, 17028, 017

13、28.每種組合有 8 個，共C：x8=48® p(3) 0和9都有：先考慮能被9整除，有組合126, 135, 234.再考慮被11整除，這時0 和9在偶數(shù)位，再考慮彼4整除，組合12(5有4個(10296, 20196, 10692, 60192.組合 135有0個，組合234有4個，一共有8個.卩所以槪率為8+48+8294512. 隨機事件X等于R的概率P(X =k) = *，丫為除以3的余數(shù)，則Y的數(shù)學期望EY(13. kiI<1J/?I<Aa + 2h-c=a-2b9 則O 的()解析：a-2ba2bcc-a2b |c|a-2d| + |a + 2|(拿)又 |

14、a - 2肝 +| + 261= 2(| + |26|')510由柯兩不等式知O li<24S|c|<275 當« = (0.1)* 6 = (1.0)時取到 若|齊0則只需厶丄6即可符合題總。14. x,yeN+,下列說法正確的是（）A.兀2 + 2y與尸+ 2x可以均為完全平方數(shù)B x2+4y與尸+心可以均為完全平方數(shù)C. ?+5y與尸+5?？梢跃鶠橥耆椒綌?shù)D. J2+6y與b+6x可以均為完全平方數(shù)翼祈：A.x2 2y y2 + 2x由對稱性不妨設(shè)y2 + 2x+ 2y< / + 2y +1 = (y +1 )：而y2 +2x> y2故y3十&

15、quot;2I)2 M EM矛JSA錯謖B.x* 4- 4y 1 j y2 4x不妨設(shè)xyH y* >4x5 y' 4v* 4y 4 4 n (y 4 2)2fl® / +4xi(y4-l)2故y* +4x = (y + l)2 = y2 *2>* I o4x = 2y 1x2 -4r = jT48x-2 = r o(x44):-r =18(jr + 4-/)(*+4i)l8覽時無解.BHJ謀選項C.只需宴令x=y=4.則河個式f弗彎T 36満足？!求.送項D只語翌令“廠2則兩個式產(chǎn)都等丁 16.満足耍求.15. sin arctan 1 + arccos + a

16、rccos-U I =(>/10 A.1解設(shè) Z| = 3 + i z2 = 2 + i Z3 = l + i,所以 Z|Z2z3 =(5+5i)(l + i) = 10i,即原式=1.16正四棱錐中，相鄰兩側(cè)而夾角為側(cè)棱與底面夾角為0,則（問tan/7與cosa之間的 一個關(guān)系）=1 - 4=】-2(1 * tan： p cosa礦»-l-2tan? fl cm ar2ex17. 函數(shù)/（x）= +sinx在區(qū)間-2,2上的最大值與最小值之和為（） e +eH/(r)-l = -mijr林邊是話函數(shù)C 2/(X)關(guān) J (0.1)對稱Ilflilt為(I W. W - 1>ff域嬪點和為2 (無fiffi)18. /U）的圖彖如圖所示，/與直線A =t/, x = t, X軸圍成圖形的而積為S（l）.貝IJS0）的最大值，廠（X）的最大值為解析：5(0