2010年考研數(shù)學沖刺試卷參考答案

1、2010年考研數(shù)學沖刺試卷參考答案數(shù)學一 (卷四)一選擇題：（1）解 應(yīng)選（D） 由于當時（A） （2階）（B） （3階）（C） （2階）（D） （3階）原無窮小是4階，故選（D）（2）解 應(yīng)選（A）. 拋物線寫作，當時得.這時.，于是在點的曲率半徑為，故.拋物線方程是.點是，這時，故切線為 (3) 解 應(yīng)選 (D)由知， ， 則，其中 而 由微分定義知在點可微且故應(yīng)選（D）(4) 解 應(yīng)選 (D)由冪級數(shù)在處條件收斂知，為該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點，顯然，該冪級數(shù)收斂半徑為則或.而與題設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂矛盾，而符合題設(shè)條件。 顯然，冪級數(shù)的收斂半徑為則該冪級數(shù)在處絕對收斂。 （5）解 應(yīng)選（C

2、）顯然，是3階非零實對稱矩陣，又，則，故零是的至少二重特征值.因可對角化，設(shè)其相似對角矩陣為，則其主對角元即為的所有特征值，而，故有二重零特征值，還有一個非零特征值為（因為）.（6）解 應(yīng)選（A）顯然向量組（）與()等價時，與同解；若與同解，則及均與同解，于是，故的行向量組與B的行向量組可以互相線性表示，即等價.選項（B）是必要的，而非充分的，如（）:，（）：,，此時矩陣A與B等價，但顯然與不同解；選項（C）、（D）均非充分只是必要的.(7) 解 應(yīng)選(C)因為，故選(C)。(8) 解 應(yīng)選(C)。因為正態(tài)總體當未知時， 的置信度為的置信區(qū)間公式為由于，所以的置信度為0.90的置信區(qū)間是故選(

3、C)。二、填空題；（9）解 應(yīng)填 由知，令得（10）解 應(yīng)填由知，令得，顯然（11）解 應(yīng)填 令，則 ，（12）解 應(yīng)填原式=（13）解 應(yīng)填，首先應(yīng)注意到，于是A可逆，且，則，故.(14) 解 應(yīng)填由相互獨立及，從而，又，故，所以，于是，即，解之得，（舍）。三、解答題: （15）解 由知，由題設(shè)知（由題設(shè)知）（16）解 （17）解1 記在平面上所圍平面為，其法向量朝前，方向余弦為 由斯托克斯公式得解2 化為平面線積分用格林公式 （其中解3 寫出曲線參數(shù)方程直接計算（略）（18）解 由已知等式得 ，記，即由此可得，由得，由得即 對原點的靜矩 細棒質(zhì)量 質(zhì)心 （19）證（1）當時，取正數(shù)，使則存

4、在當時， 因此 這樣，級數(shù) 的各項小于收斂的等比級數(shù) 的對應(yīng)項，所以它也收斂，而級數(shù)只比它多了項，因此級數(shù)收斂.（2）當時，取正數(shù)，使則存在當時， 也就是 ，從而原級數(shù)的通項不趨于零.則級數(shù)發(fā)散.（3）當時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，如級數(shù)不論為何值 （20）解 （）由知，的每個列向量均為齊次線性方程組的解，又由題設(shè)知，于是，又已知，故向量組線性相關(guān).（）設(shè)有實數(shù)使得因，故的每個列向量均與的所有行向量均正交，于是則，于是，故，所以，于是，所以知向量組線性無關(guān).（21）證 設(shè)的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，若，則，即也是特征值，若，則，由知，而，即也是的特征值（對應(yīng)的特征向量為），所以的特征值必為的特征值，顯然，反之亦成立，故與有相同的特征值.(22) 解 （I）依題設(shè)的聯(lián)合概率密度為，從而，故和的相關(guān)系數(shù)（II）由于，即，因此與不獨立。（III），的條件概率密度為，的條件概率密度為（IV）(23) 解 依題設(shè)要檢驗該日機器工作狀態(tài)是否正常需檢驗兩步，設(shè)加工的零件長度為，則，其中均未知。第一步檢驗均值：（i）需檢驗（ii）選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量（iii）由于，所以臨界點為，從而接受域為（iv）由于，所以檢驗統(tǒng)計量的樣本值為（v）由于，所以接受，即可以認為。第二步需檢驗方差：（i）需檢驗（ii）選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量（ii