專題2.15參數(shù)的分類討論(原卷版)

1、第十五講參數(shù)的分類討論【套踣秘籍】用分類討論思想研究函數(shù)的單凋性 含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題一般要分類討論，常見的分類討論標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能:1方程/（x）=0是否有根;2若Av）=O有根，求出根后判斷其是否在沱義域內(nèi):3若根在立義域內(nèi)且有兩個(gè)，比較根的大小是常見的分類方法.【套路修煉】考向一 一次函數(shù)型【例1】已知常數(shù)用0,金）=dl+2x.當(dāng)金）的最小值不小于一。時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范耐【套路總結(jié)】用導(dǎo)數(shù)法求給左區(qū)間上的函數(shù)的最值問題的一般步驟（求最值）將的各極值與f&）的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確左fG）的最大值與最小值:【舉一反三】1已知函數(shù)7（x）=一丘，求函數(shù)夬x）在2，e2.已知函數(shù)X

2、-Y）=hi xax（ae R）求函數(shù)夬X）的單調(diào)區(qū)間：（2）當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)金）在1,2上的最小值.考向二指數(shù)型函數(shù)中的參數(shù)【例2】已知函數(shù)f（x） = ex-ax2-bx-.其中e = 2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)設(shè)g（Q是函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間0,1上的最小值.第一步:（求導(dǎo)數(shù)）求函數(shù)fG）的導(dǎo)數(shù)F 3：第二步: （求極值）求在給左區(qū)間上的單調(diào)性和極值:第三步: （求端點(diǎn)值）求fd）在給左區(qū)間上的端點(diǎn)值:第四步:第五步:（反思）反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范.上的最大值和最小值.I【套路總結(jié)】Ij一.討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況，

3、所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)j I解析式中的符號(hào)變化部分.討論時(shí)要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的影響，一般來說j需要進(jìn)行四個(gè)層次的分類：!（1）最髙次幕的系數(shù)是否為o：!（刃導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)：!（3）導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是否在函數(shù)泄義域或指泄區(qū)間內(nèi)：!I（4）導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系.!I二.由含參函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍問題的2個(gè)關(guān)注點(diǎn)Ii（1）準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系：若可導(dǎo)函數(shù)f（X）在區(qū)間上單調(diào)遞增，iI則f （對(duì)M 0在區(qū)間”上恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f（X）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則f Gv）W 0在區(qū)間wj i上恒成立.jj（2）注意參數(shù)在導(dǎo)函數(shù)解析式中的位置，

4、 先嘗試分離參數(shù)， 將問題的求解轉(zhuǎn)化為求解對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值j j問題；若不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性無法利用導(dǎo)數(shù)解決，則可以直接轉(zhuǎn)化為求解含j疋函數(shù)的最值問題.j【舉一反三】1.已知函數(shù)/（X）= ex-X.（匚）求函數(shù)f（x）極值：（）若對(duì)任意x0, /（x）x2+ l,求a的取值范圍.2已知函數(shù)Hx）=x一x-aF.當(dāng)時(shí)，求金）的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)x0時(shí)，心）20,求實(shí)數(shù)a的取值范用.考向三對(duì)數(shù)型函數(shù)中的參數(shù)【例3】已知函數(shù)/（x） = x 4-cdnx.（1）當(dāng)a = l時(shí)，求曲線y = f（x）在點(diǎn)（1/（1）處的切線方程：（2）求/（%）的單調(diào)區(qū)間.:【套路總結(jié)】1對(duì)于函數(shù)恒成立

5、或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：或者I直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0：或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一 !個(gè)函數(shù).I_【舉一反三】1.已知函數(shù)/(%) =lnx ax,= x2.a E R.(1)求函數(shù)/的極值點(diǎn)：(2)若/(x)Sg(x)恒成立，求a的取值范圍.2.已知函= (1 +d)x2-lnx-a + 1討論函數(shù)/Xx)的單調(diào)性：(2)若a 0時(shí)，函數(shù)y = xf(x)的圖像恒在函數(shù)y = lnx + (1 + a)x3一疋的圖像上方一考向四一元二次可因式分解型【例4】已知函數(shù)f(x) = x2-(a + 2)x +

6、an x,試討論的單調(diào)性.- 1：【套路總結(jié)】j-(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.!(刃劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確泄導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)!I_ 1【舉一反三】1.已知函數(shù)或r)=lnx+“2 (2a+l)x,若住0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.2.已知函數(shù)夬x)=FeP-l(a是常數(shù))，求函數(shù)y=Xx)的單調(diào)區(qū)間.考向五一元二次函數(shù)判別式型【例5】已知函數(shù)f(x) = lnax2 + x(a0)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)若/(%)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)場L，%2求證：7(1) + 7(2) 3 - 21n2.【舉一

7、反三】已知函數(shù)fM =x2-2x + anx，其中0.(1)討論/(X)的單調(diào)性:（2）若/V）有兩個(gè)極值點(diǎn)比，勺，證明：一3/（比）+ /（勺）一2考向六導(dǎo)數(shù)與不等式Y(jié)* 1【例6】已知函數(shù)金）=1一-, g（x）=xnx.證明：g）Nl;（2）證明：（%In【套路總結(jié)】1! 一.證明不等式的基本步驟是：! （1）將不等式構(gòu)造成Xx）0（或0）的形式；II（2）利用導(dǎo)數(shù)將函數(shù)y=fG）在所給區(qū)間上的最小值（或最大值）求出；i| （3）ffi明函數(shù)y=f（x）的最小值（或最大值）大于零（或小于零）即可證得原不等式成立.jI （4）證明溝 3 的一般方法是證明方 &30（利用單調(diào)性），特

8、殊情況是證明|I最值方法），但后一種方法不具備普遍性.I!引證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式使兩個(gè)變元成為一個(gè)整體，! !另一種方法為轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的單調(diào)性，如不等式fGj+ga,）/（#）+&（及）對(duì)摳攬恒成立，即等! !價(jià)于函數(shù)力（=f（x）+g&）為增函數(shù)!I_ 1【舉一反三】1.已知函數(shù) f（x） = xex+ a（x一l）2+ b在點(diǎn)（0,/（0）處的切線方程為3x-y-l = 0.（1）求a, b的值：（2）證明：當(dāng)0時(shí)，/（x） 2elnx + l.2.已知函數(shù)y（x） =xlii xex+1.求曲線y=7U）在點(diǎn)（1,人1）處的切線

9、方程；證明：；（x）sinx在（0,+8）上恒成立.考向七導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)【例7】已知函數(shù)Av）=21nx-x2（fl0）.求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間：(2)討論函數(shù)金)在區(qū)間(1, e?)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【舉一反三】1.)已知滄)=才 alnx, aWR.(1)求函數(shù)心)的單調(diào)增區(qū)間：(2)若函數(shù)心)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并說明理由.(參考求導(dǎo)公式：/(ax+b)y=qfe+b)2一已知函數(shù)用)=4,或丫尸一+“一3為實(shí)數(shù))，若方程g(x)=馳)在區(qū)間住，e上有兩個(gè)不等實(shí)根, 求實(shí)數(shù)a的取值范闈.3.設(shè)函數(shù)金) =lnx+巴，加GR當(dāng)w = e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求加)的極小值：討論函數(shù)g(x)=/(x)專的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【套踣運(yùn)用】31已知函數(shù)f(x) = ax3-3x2+-(eR且GHO),求函數(shù)/(x)的極大值與極小值.a2討論函數(shù)刃刃=才(*一4)一心的單調(diào)性.3已知函數(shù)刃=衛(wèi)一處一1,試討論刃)的單調(diào)性.4.-已知函數(shù)y(x)=$A0+lnx),若x=2是函數(shù)金)的唯-個(gè)極值點(diǎn)，貝U實(shí)數(shù)斤的取值范1帀1_5.已知函數(shù)X-v)=ex1Ai7x2.當(dāng)a=0時(shí)，求證：夬力弍：當(dāng)xR時(shí)，若不等式夬x)20恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.6.已知函數(shù)Hx)=ax-e(aWR), g(x)=.求函數(shù)心)的單調(diào)區(qū)間：(2)3%