圓與方程知識點(diǎn)整理

1、關(guān)于圓與方程的知識點(diǎn)整理、標(biāo)準(zhǔn)方程22 : x a y br2般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0221. Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0 表示圓方程則AB0C0D 2 E 2 4 AF2.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法。3.D2 E2 4F 0?？捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的范圍1.判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離四、直線與圓的位置關(guān)系三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d 與半徑 r 的大小： d r 點(diǎn)在圓內(nèi)； d r 點(diǎn)在圓上； d r 點(diǎn)在圓外2. 涉及最值：（ 1）圓外一點(diǎn) B ，圓上一動點(diǎn) P，討論 PB 的最值PB min BN BC r minPB max BM BC

2、rmax討論 PA 的最值PA min AN r AC minPA max AM r AC max1.判斷方法（ d 為圓心到直線的距離） ：（ 1）相離沒有公共點(diǎn) 0 d r ；（2）相切只有一個公共點(diǎn) 0 d r ；（3）相交 有兩個公共點(diǎn) 0 d r 。 這一知識點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍 .2.直線與圓相切（1）知識要點(diǎn)：基本圖形 主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長等 問題：直線 l與圓C相切意味著什么？ 圓心C到直線 l的距離恰好等于半徑 r（2）常見題型求過定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù)：點(diǎn)在圓外兩條；點(diǎn)在圓上一條；點(diǎn)在圓內(nèi)無 求切線方程的方法及注意點(diǎn)2 2

3、 2 2 2 2 i）點(diǎn)在圓外：如定點(diǎn) P x0, y0 ，圓： x a y br2， x0 ay0 b r2第一步：設(shè)切線 l 方程 y y0 k x x0 ；第二步：通過 d r k ，從而得到切線方程 特別注意： 以上解題步驟僅對 k 存在有效，當(dāng) k 不存在時，應(yīng)補(bǔ)上千萬不要漏了！ 如：過點(diǎn) P 1,1 作圓 x2 y2 4x 6y 12 0 的切線，求切線方程 .ii ）點(diǎn)在圓上：2 2 2 2（1）若點(diǎn) x0，y0 在圓 x2 y2 r2 上，則切線方程為 x0x y0y r22 2 2 22）若點(diǎn) x0，y0 在圓 x a y b r 上，則切線方程為 x0 a x a y0 b

4、 y b r判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù)由上述分析：過一定點(diǎn)求某圓的切線方程，非常重要的第求切線長：利用基本圖形，AP22CP2 r 2AP CP2 r 2求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個關(guān)系列出兩個方程kACkrkAC kAP3. 直線與圓相交（1）求弦長及弦長的應(yīng)用問題： 垂徑定理 及勾股定理常用弦長公式： l 1 k2x1 x21 k 2 x1 x24x1x22）判斷直線與圓相交的一種特殊方法：直線過定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi)3）關(guān)于點(diǎn)的個數(shù)問題2 2 2例：若圓 x 3 y 5r 2上有且僅有兩個點(diǎn)到直線 4x 3y 2 0的距離為 1，則半徑 r 的取值范圍是. 答案： 4,64. 直線與圓

5、相離：會對直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時）五、對稱問題2 2 21.若圓 x2 y2 m2 1 x 2my m 0 ，關(guān)于直線 x y 1 0 ，則實數(shù) m的值為答案： 3（注意： m1時， D2 E2 4F 0 ，故舍去）變式：已知點(diǎn) A是圓 C :x2 y2 ax 4y 5 0上任意一點(diǎn)， A點(diǎn)關(guān)于直線 x 2y 1 0的對稱點(diǎn)在圓 C上， 則實數(shù) a .2.圓 x 1 2 y 3 2 1 關(guān)于直線 x y 0 對稱的曲線方程是 .2 2 2 2變式：已知圓 C1： x 4 y 21與圓C2： x 2 y 41關(guān)于直線 l對稱，則直線 l 的方程為3.圓 x 3 2 y 1 2

6、 1關(guān)于點(diǎn) 2,3 對稱的曲線方程是 4.已知直線 l：y x b與圓C：x2 y2 1，問：是否存在實數(shù) b使自A 3,3發(fā)出的光線被直線 l反射后與 圓 C 相切于點(diǎn) B 24, 7 ？若存在，求出 b 的值；若不存在，試說明理由 .25 25六、最值問題方法主要有三種： （ 1）數(shù)形結(jié)合； （2）代換；（3）參數(shù)方程221.已知實數(shù) x， y 滿足方程 x2 y2 4x 1 0，求：（1） y 的最大值和最小值； 看作斜率（2） y x 的最小值； 截距（線性規(guī)劃）x5（3）x2 y2 的最大值和最小值 .兩點(diǎn)間的距離的平方 2.已知 AOB中， OB 3，OA 4，AB 5，點(diǎn)P是 A

7、OB內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以 PA，PB， PO為 直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值 . 數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！223.設(shè) P x,y 為圓 x2 y 1 1上的任一點(diǎn)，欲使不等式 x y c 0恒成立，則 c的取值范圍是. 答案：c 2 1（ 數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！七、圓的參數(shù)方程x2 y2 r 2 r 0， 為參數(shù)x rcos 2 2 2 x a rcos xy rrcsoins ， 為參數(shù) ； x a y b r 2 r 0xy ab rrcsoins八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線 mx 2ny 4 0 （ m ， n R ），始終平分圓 x2 y2 4x 2y 4 0 的周長

8、，則 m n 的取值范圍是2.已知圓 C：x2 y2 2x 4y 4 0 ，問：是否存在斜率為 1的直線 l ，使l被圓C截得的弦為 AB，以 AB 為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線 l 的方程，若不存在，說明理由 .提示： x1x2 y1y2 0或弦長公式 d 1 k2 x1 x2 . 答案： x y 1 0或 x y 4 02 2 2 23.已知圓 C： x 3 y 41，點(diǎn) A 0,1 ，B 0,1 ，設(shè) P點(diǎn)是圓 C上的動點(diǎn)， d PA PB ，求 d的最值及對應(yīng)的 P 點(diǎn)坐標(biāo) .224.已知圓 C： x 1 y 225，直線 l ： 2m 1 x m 1 y 7m 4 0（m R

9、）（1）證明：不論 m取什么值，直線 l與圓 C均有兩個交點(diǎn)；（2）求其中弦長最短的直線方程 .5.若直線 yx k與曲線 x 1 y2 恰有一個公共點(diǎn)，則 k 的取值范圍 .226.已知圓 x2 y2 x 6y m 0與直線 x 2y 3 0交于 P，Q 兩點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 問：是否存在實數(shù) m，使 OP OQ ，若存在，求出 m 的值；若不存在，說明理由九、圓與圓的位置關(guān)系1.判 斷 方 法： 幾 何 法 （ d 為 圓 心 距 ）：（ 1） d r1 r2外離 （2） d r1 r2外 切（3） r1r2dr1r2相交（4）dr1r2內(nèi)切（5） dr1r2內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方

10、程2 2 2 2圓 C1 ： x2 y2D1xE1yF10，圓 C2： x2 y2 D2x E2 yF20，則 D1 D2 xE1E2 y F1F2 0 為兩相交圓公共弦方程 .補(bǔ)充說明： 若 C1與C2相切，則表示其中一條公切線方程；若C1與 C2相離，則表示連心線的中垂線方程 .3 圓系問題2 2 2 2（1）過兩圓 C1： x2y2D1xE1yF10 和C2 ： x2y2D2xE2yF20 交點(diǎn)的圓系方程為22 2 2x2y2D1xE1yF1x2y2 D2x E2y F20 （ 1）說明： 1）上述圓系不包括 C2 ；2）當(dāng)1 時，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）2 2 2 22）過直

11、線 Ax By C 0與圓 x2 y2 Dx Ey F 0 交點(diǎn)的圓系方程 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0（3）兩圓公切線的條數(shù)問題：相內(nèi)切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公 切線；相離時，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）（2）直接法： 通過已知條件直接得出某種等量關(guān)系， 利用這種等量關(guān)系， 建立起動點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程例：過圓 x2 y2 1外一點(diǎn) A 2,0 作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程特點(diǎn)為：主動點(diǎn)一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運(yùn)動AQ于 M ，當(dāng) Q點(diǎn)在圓上例 1.如圖，已知定點(diǎn) A 2,0 ，點(diǎn)

12、Q是圓 x 移動時，求動點(diǎn) M 的軌跡方程 . 分析：角平分線定理和定比分點(diǎn)公式 .例 2.已知圓 O： x2 y2 9，點(diǎn) A 3,0 ， B、C是圓 O上的兩個動點(diǎn)， A 、 B 、 C呈逆時針方向排列，且BAC ，求 ABC 的重心 G 的軌跡方程 .3法 1：BAC ， BC 為定長且等于 3 3設(shè) G x, y ，則xA xB xC3 yA yB yC333 xB xC3yB yC3取 BC的中點(diǎn)為 xE3, 3 ， yE3 3, 3E 2 4 E 4 2OE2 CE 2 OC 2， xE2 yE2 9（1）4xB xC2xB xC2xEyB yCyB yC2yE2xEyE3 2xE

13、3x 3x ExE3 E 2322yE3y yE y3 E 2故由（ 1）得：3x2 3 2 23y 2 9422x 1y2 1法 2：（參數(shù)法）設(shè) B 3cos , 3sin ，由 BOC 2 BAC 2 ，則 322C3cos, 3sin33設(shè) G x, y ，則x xA xB xC3 3cos 3cos231 cos cos321yA yB yC3sin 3sin 23 sin sin2324 2 2 2 2 3 3得到動點(diǎn)軌跡方3,43 ，由 1 12 2 2得： x 12 y2 1 x 0, 23 ,y23,1參數(shù)法的本質(zhì)是將動點(diǎn)坐標(biāo) x,y 中的 x和 y 都用第三個變量（即參數(shù)）

14、表示，通過消參 程，通過參數(shù)的范圍得出 x， y 的范圍 .（4）求軌跡方程常用到得知識xA xB xC x重心 G x, y ，BDAB內(nèi)角平分線定理：CDACyAyB， yMxAxB13yA yB yC y A 3B C定比分點(diǎn)公式：AMMB，則 xMM1韋達(dá)定理 .高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1 求過兩點(diǎn) A(1,4)、B(3 , 2)且圓心在直線 y 0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn) P(2, 4)與圓的關(guān)系圓的方程為 (x 1)2 y2 20；點(diǎn) P 在圓外例2 求半徑為 4，與圓 x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直線 y 0相切的圓的方程圓的方程為 (x 2 2 6

15、)2 (y 4)2 42，或 (x 2 2 6)2 (y 4)2 42例3 求經(jīng)過點(diǎn) A(0 , 5) ，且與直線 x 2y 0和2x y 0都相切的圓的方程分析： 欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)A ，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解： 圓和直線 x 2y 0與 2x y 0 相切，圓心 C 在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線 x 2y 0和 2x y 0 的距離相等x 2yx 2y兩直線交角的平分線方程是 x 3y 0或3x y 0 又圓過點(diǎn) A(0,5) ，圓心 C 只能在直線 3x y 0 上設(shè)圓心 C(t,3t)C

16、到直線 2x y 0的距離等于AC2t 3tt 2 (3t 5)2化簡整理得 t2 6t 5 0 解得： t 1或 t 5圓心是 (1,3)，半徑為 5或圓心是 (5 , 15) ，半徑為 5 5 所求圓的方程為 (x 1)2 (y 3)2 5或 (x 5)2 (y 15)2 125說明： 本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程， 這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法例 4、 設(shè)圓滿足： (1)截 y 軸所得弦長為 2；(2)被 x軸分成兩段弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件 (1)(2) 的所 有圓中，求圓心到直線 l：x 2y 0

17、的距離最小的圓的方程分析： 要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個條件的圓有 無數(shù)個，其圓心的集合可看作動點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最 小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一： 設(shè)圓心為 P(a , b) ，半徑為 r 則P到x軸、 y軸的距離分別為 b和 a由題設(shè)知：圓截 x軸所得劣弧所對的圓心角為 90 ，故圓截 x 軸所得弦長為 2r 22 r 2b又圓截 y 軸所得弦長為 2 2 2 r a 1 又 P(a, b)到直線 x 2y 0的距離為a 2bd5 5d 2 a 2b2

18、2a 2 4b 2 4aba2 4b2 2(a2 b2 )2b2 a 2 1當(dāng)且僅當(dāng) a b時取“ =”號，此時dminab這時有 2b2 a2 1a 1 或b1又 r 2 2b2 2故所求圓的方程為 (x 1)2 ( y 1)2 2或 (x 1)2 (y 1)2 2解法二：同解法一，得d a 52b5 a 2b 5d a2 4b2 4 5bd 5d2 將 a2 2b2 1 代入上式得：2b2 4 5bd 5d 2 1 0 上述方程有實根，故28(5d 2 1) 0 ，d將d55 代入方程得 b又 2b2 a 2 1 a1 由 a 2b 1知 a、 b同號故所求圓的方程為 (x 1)2 ( y

19、 1)2 2或 (x 1)2 (y 1)2 2 說明： 本題是求點(diǎn)到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5 已知圓O：x2 y2 4，求過點(diǎn) P2，4 與圓O相切的切線解： 點(diǎn) P 2，4 不在圓 O 上，切線 PT 的直線方程可設(shè)為 y k x 2 4根據(jù) d r2k 421 k 23解得 k 343所以 y x 2 4即 3x 4 y 10 0 因為過圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為 x 2 說明： 上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入

20、圓方程，用判別式等于 0 解決(也要注意漏解) 還可以 運(yùn)用 x0x y0y r 2 ，求出切點(diǎn)坐標(biāo) x0、 y0的值來解決，此時沒有漏解例 6 兩圓 C1：x2y2D1xE1yF10與C2：x2y2D2xE2yF20相交于 A、 B兩點(diǎn)，求它們的公共弦 AB 所在直線的方程分析： 首先求 A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線 AB的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁為了 避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓 C1 、 C2的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為 (x0 , y0)，則有：22x0 y0 D1 x0 E1y0 F1 0 22x02 y02 D2x0E2 y0F20得： (D1D2)x0(

21、E1E2)y0F1F20 A、 B 的坐標(biāo)滿足方程 (D1 D2)x (E1 E2 )y F1 F2 0方程 (D1 D2)x (E1 E2)y F1 F2 0是過 A、 B兩點(diǎn)的直線方程又過 A、 B兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓 C1 、 C2的公共弦 AB 所在直線的方程為 (D1 D2)x (E1 E2)y F1 F2 0說明： 上述解法中，巧妙地避開了求 A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是 利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上 說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識它的應(yīng)

22、用很廣泛22例 7、過圓 x2 y2 1外一點(diǎn) M (2,3) ，作這個圓的兩條切線 MA、 MB ，切點(diǎn)分別是 A、B，求直線 AB的方程。練習(xí)：1求過點(diǎn) M (3,1) ，且與圓 (x 1)2 y2 4相切的直線 l的方程 解：設(shè)切線方程為 y 1 k(x 3) ，即 kx y 3k 1 0 ，圓心 (1,0) 到切線 l 的距離等于半徑 2，|k 3k 1|32，解得 k 3 ，43切線方程為 y 1 (x 3) ，即3x 4y 13 0，42，當(dāng)過點(diǎn) M 的直線的斜率不存在時，其方程為 x 3，圓心 (1,0) 到此直線的距離等于半徑 故直線 x 3 也適合題意。所以，所求的直線 l的

23、方程是 3x 4y 13 0或 x 32 2 52、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓 x2 y2 4x 2y 0 相切的直線的方程為 22，-1)，半徑解：設(shè)直線方程為 y kx，即 kx y 0 . 圓方程可化為 (x 2)2 (y 1)2 5 ，圓心為為 210 . 依題意有2k 1k2 12 ，解得 k 3或 k 3，直線方程為y 3x 或 y1x.3223、已知直線 5x 12y a 0與圓 x2 2x y2 0相切，則 a 的值為解：圓 (x1)2y21的圓心為(1， 0)，半徑為1，5 a1，解得 a8或a 18.52 122類型三：弦長、弧問題例 8、求直線 l :3x y 6 0被圓 C :

24、x2 y2 2x 4y 0截得的弦 AB的長.例 9、直線 3x y 2 3 0截圓 x2 y2 4 得的劣弧所對的圓心角為 解：依題意得，弦心距 d 3，故弦長 AB 2 r2 d2 2，從而 OAB 是等邊三角形，故截得的劣弧所 對的圓心角為 AOB .3例 10、求兩圓 x2 y2 x y 2 0 和 x2 y2 5的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例 11、已知直線 3x y 2 3 0和圓 x2 y 2 4 ，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系例 12、若直線 y x m 與曲線 y 4 x2 有且只有一個公共點(diǎn)，求實數(shù) m 的取值范圍 .解：曲線 y 4 x2 表示半圓 x2 y2 4

25、(y 0) ，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù) m 的取值范圍是2 m 2或m 2 2.例 13 圓(x 3)2 (y 3)2 9上到直線 3x 4y 11 0的距離為 1 的點(diǎn)有幾個？分析： 借助圖形直觀求解或先求出直線 l1、 l2的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一： 圓 (x 3)2 (y 3)2 9的圓心為 O1(3 , 3) ，半徑 r 33 3 4 3 11 設(shè)圓心 O1到直線 3x 4y 11 0的距離為 d ，則 d 2 3 32 42如圖，在圓心 O1同側(cè)，與直線 3x 4y 11 0 平行且距離為 1 的直線 l1與圓有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)符 合題意又 r d 3 2 1 與直線

26、3x 4y 11 0 平行的圓的切線的兩個切點(diǎn)中有一個切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有 3 個解法二： 符合題意的點(diǎn)是平行于直線 3x 4y 11 0，且與之距離為 1 的直線和圓的交點(diǎn) 設(shè)所求直線為3x32 4l1：3x 4y 6 0 ，或 l2：3x 4y 16 0設(shè)圓 O1：(x 3)2 (y 3)2 9的圓心到直線 l1、l2的距離為 d1、d2 ，則d132 423 ， d23 3 4 3 1632 421 l1與O1相切，與圓 O1有一個公共點(diǎn)； l2與圓 O1相交，與圓 O1有兩個公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個說明： 對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：3 3 4 3 11設(shè)圓心 O

27、1到直線 3x 4y 11 0的距離為 d ，則 d2 332 42圓 O1到 3x 4y 11 0距離為 1 的點(diǎn)有兩個顯然，上述誤解中的 d 是圓心到直線 3x 4y 11 0的距離， d r ，只能說明此直線與圓有兩個交點(diǎn)， 而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是 這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)求直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心 與直線的距離和半徑的大小比較來判斷練習(xí) 1：直線 x y 1與圓 x2 y2 2ay 0(a 0) 沒有公共點(diǎn)，則 a的取值范圍是a1解：依

28、題意有a，解得2 1 a 2 1.a 0， 0 a 2 1.2練習(xí) 2：若直線 y kx 2 與圓 (x 2)2 (y 3)2 1有兩個不同的交點(diǎn)，則 k 的取值范圍是2k 14 4解：依題意有1，解得 0 k ， k的取值范圍是 (0, ) .k2 13 ， 的取值范圍是 33、 圓 x2 y2 2x 4y 3 0上到直線 x y 1 0的距離為 2 的點(diǎn)共有( )(A)1 個(B)2 個(C)3 個(D) 4 個分析：把x2 y2 2x 4y 3 0化為 x 12 y 22 8，圓心為1，2 ，半徑為 r 2 2，圓心到直線的距離為 2 ，所以在圓上共有三個點(diǎn)到直線的距離等于2 ，所以選

29、C224、 過點(diǎn) P 3， 4 作直線 l ，當(dāng)斜率為何值時，直線 l與圓 C：x 12 y 2 2 4有公共點(diǎn)，如圖所示分析： 觀察動畫演示，分析思路 解： 設(shè)直線 l 的方程為y 4 k x 3即kx y 3k 4 0根據(jù) d r 有k 2 3k 41 k2整理得解得23k2 4k 0類型五：圓與圓的位置關(guān)系問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例 14、判斷圓 C1: x2 y2 2x 6y 26 0與圓 C2 : x2 y2 4x 2y 4 0的位置關(guān)系，例 15：圓 x2 y2 2x 0和圓 x2 y2 4y 0 的公切線共有 條。解：圓 (x 1)2y21的圓心為O1(1,0) ，半

30、徑 r1 1，圓 x2(y 2)2 4的圓心為 O2(0, 2)，半徑 r22 ， O1O2 5,r1r23,r2 r11. r2 r1 O1O2 r1r2 ，兩圓相交 .共有 2條公切線。練習(xí)22 22 221：若圓 x2y22mxm2 40 與圓 x2y2 2x 4my4m280 相切，則實數(shù)m 的取值集合是.解：圓 (xm)2y24的圓心為O1(m,0) ，半徑 r12，圓(x1)2(y2m)29的圓心為 O2( 1,2m)，半 徑 r2 3， 且 兩 圓 相 切 ， O1O2r1 r2或 O1O2r2r1 ， (m 1)2(2m)2 5 或(m 1)2 (2m)2 1 ，125或 m

31、0或 m實數(shù) m的 取值集合是12552, 0, 2.光路的距離為 A'M ，可由勾股定理求得 A M2CM27222：求與圓 x2 y2 5外切于點(diǎn) P( 1,2) ，且半徑為 2 5的圓的方程22解：設(shè)所求圓的圓心為O1(a,b) ，則所求圓的方程為(x a)2 (y b)2 20 . 兩圓外切于點(diǎn)P ，11 2 2OP 1 OO1 ， ( 1,2)(a,b) ， a 3,b 6 ，所求圓的方程為 (x 3)2 (y 6)2 20.33類型六：圓中的對稱問題22例 16、圓 x2 y2 2x 6y 9 0關(guān)于直線 2x y 5 0 對稱的圓的方程是例 17 自點(diǎn) A 3，3 發(fā)出的

32、光線 l 射到 x 軸上，被 x 軸反射，反射光線所在的直線與圓 C：x2 y2 4x 4y 7 0 相切(1)求光線 l 和反射光線所在的直線方程(2)光線自 A 到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程分析、 略解：觀察動畫演示， 分析思路 根據(jù)對稱關(guān)系， 首先求出點(diǎn)的對稱點(diǎn) A的坐標(biāo)為3，3 ，其次設(shè)過 A的圓C的切線方程為根據(jù) d r ，即求出圓 C的切線的斜率為k 4或 k 3 34 進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為4x 3y 3 0或 3x 4y 3 0最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于 x 軸對稱，求出入射光所在直線方程為4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 0說明： 本題亦可把圓對稱到 x 軸下方，再

33、求解類型七：圓中的最值問題r，例 18：圓 x2 y2 4x 4y 10 0上的點(diǎn)到直線 x y 14 0 的最大距離與最小距離的差是 解：圓 (x 2)2 (y 2)2 18的圓心為 (2，2)，半徑 r 3 2 ，圓心到直線的距離 直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是 (d r) (d r) 2r 6 2.例 19 (1)已知圓 O1：(x 3)2 (y 4)2 1，P(x,y)為圓 O上的動點(diǎn)，求 d x2 y 2的最大、最小值2 2 y 2(2)已知圓 O2：(x 2)2 y2 1，P(x, y)為圓上任一點(diǎn)求的最大、最小值，求 x 2 y的最大、最x1小值分析： (

34、1)、 (2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解： (1)(法 1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x 3)2 (y 4)2 1可設(shè)圓的參數(shù)方程為 x 3 cos , ( 是參數(shù)) y 4 sin ,則 d x2 y2 9 6cos cos2 16 8sin sin226 6cos 8sin26 10 cos( ) (其中 tan4)3所以 dmax 26 10 36， dmin 26 10 16(法 2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1等于圓心到原點(diǎn)的距離 d1' 加上半徑 1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值 d2等于圓心到原點(diǎn)的距離 d1' 減去半徑 1所以 d1 3

35、2 42 1 6 d2 32 42 1 4 所以 dmax 36 dmin162 2 x 2 cos ,(2) (法 1)由(x 2)2 y2 1得圓的參數(shù)方程： 是參數(shù) y sin ,y2sin2sin2則 y2sin2 令sin2t ，x1cos3cos3得 sin tcos 2 3t ， 1 t 2 sin( ) 2 3t2 3t2 sin( ) 1所以 tmax3 3 ，t 3 3 ， tmin 44即 y 2 的最大值為 3 3 ，最小值為 3 3 x 1 4 4此時 x 2y 2 cos 2sin 2 5cos( ) 所以 x 2y 的最大值為 2 5 ，最小值為 2 5(法2)設(shè)

36、 y 2 k ，則kx y k 2 0由于 P(x, y)是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時，如圖所示， x1兩條切線的斜率分別是最大、最小值由d2k k 21 k21 ，得 k334所以 y 2的最大值為 3 3 ，最小值為 3 3 x 1 4 4令x 2y t ，同理兩條切線在 x軸上的截距分別是最大、最小值2m由 d1 ，得 m2 5 5所以 x 2y的最大值為 2 5 ，最小值為 2 5例20：已知 A( 2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P在圓(x 3)2 (y 4)2 4上運(yùn)動，則 PA2 PB 2的最小值是解：設(shè) P(x, y)，則 PA2PB2(x2)2y2 (x2)2y22(x2y2)8

37、2OP 28 .設(shè)圓心為 C(3,4)，22則 OP min OC r 5 2 3 ， PA PB 的最小值為 2 32 8 26.練習(xí)：1 上運(yùn)動 .221：已知點(diǎn) P(x,y)在圓 x2 (y 1)2(1)求 y 1 的最大值與最小值； (2)求 2x y 的最大值與最小值 . x2解：(1)設(shè) y 1 k ，則k表示點(diǎn) P(x, y)與點(diǎn)( 2，1)連線的斜率 .當(dāng)該直線與圓相切時， k取得最大值與最 x2小值.由 2k 1，解得 k 3 ， y 1的最大值為 3 ，最小值為 3.k 2 1 3 x 2 3 32)設(shè)2x y m，則 m表示直線 2x y m在 y 軸上的截距 . 當(dāng)該直

38、線與圓相切時， m取得最大值與最小值.由1m51，解得 m1 5 ， 2x y 的最大值為 1 5 ，最小值為 1 5.2 2 y 22 設(shè)點(diǎn) P(x , y) 是圓 x2 y2 1是任一點(diǎn)，求 u 的取值范圍x1分析一： 利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替 x、 y ，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決解法一： 設(shè)圓 x2 y2 1上任一點(diǎn) P(cos ,sin )則有 x cos ， y sin 0,2 ) u sin 2 ， ucos u sin 2 cos 1 ucossin (u 2) 即 u2 1sin( ) u 2( tanu) sin() (u 2 2) u2 1又 sin( ) 13解之得： u

39、 3 4分析二： u y 2的幾何意義是過圓 x2 y2 1上一動點(diǎn)和定點(diǎn) ( 1 , 2)的連線的斜率，利用此直線與圓 x1x2 y2 1有公共點(diǎn)，可確定出 u 的取值范圍解法二： 由u y 2得： y 2 u(x 1) ，此直線與圓 x2 y2 1有公共點(diǎn)，故點(diǎn) (0,0) 到直線的距離 x1u2 13解得： u 3 4另外，直線 y 2 u(x 1) 與圓 x2 y2 1的公共點(diǎn)還可以這樣來處理：y 2 u(x 1) 2 2 2 2由 2 2 消去 y 后得： (u2 1)x2 (2u2 4u)x (u2 4u 3) 0 ，x2 y2 1此方程有實根，故(2u2 4u)2 4(u2 1)

40、(u2 4u 3) 0 ，3解之得： u 3 4說明： 這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量u 的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便2 2 23、已知點(diǎn) A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2) ，點(diǎn) P在圓 x2 y2 4上運(yùn)動，求 PA2 PB2 PC 2的最大值和最 小值 .類型八：軌跡問題1例 21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn) M 與兩個定點(diǎn) O(0,0) ， A(3,0) 的距離的比為 ，求點(diǎn) M 的軌跡方程 .2例 22、已知線段 AB 的端點(diǎn) B的坐標(biāo)是( 4，3)，端點(diǎn) A在圓 (x 1)2 y2 4上運(yùn)

41、動，求線段 AB 的中點(diǎn) M的軌跡方程例 23 如圖所示， 已知圓 O：x2 y2 4與 y軸的正方向交于 A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線 y 2上運(yùn)動，過 B做圓O的 切線，切點(diǎn)為 C ，求 ABC 垂心 H 的軌跡分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè) H(x, y)，找 x, y的關(guān)系非常難由于 H 點(diǎn)隨 B ， C點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，可考慮 H ， B ， C三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系解：設(shè)H(x,y)，C(x',y')，連結(jié) AH ，CH ，則 AH BC ， CH AB ， BC 是切線 OC BC ，所以 OC/ AH ，CH /OA，OA OC ， 所以四邊形 AOCH 是菱形所以 CH OA 2

42、，得 y' y 2,x ' x.22又 C(x' , y') 滿足 x' y' 4，所以 x2 (y 2)2 4(x 0) 即是所求軌跡方程說明： 題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識采取代入法求軌跡方程做題時應(yīng)注意分析 圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時應(yīng)注意分析與動點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法例 24 已知圓的方程為 x2 y2 r 2 ，圓內(nèi)有定點(diǎn) P(a,b)，圓周上有兩個動點(diǎn) A、B，使 PA PB ，求矩形APBQ 的頂點(diǎn) Q 的軌跡方程分析： 利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解解法一： 如圖，在

43、矩形 APBQ 中，連結(jié) AB ， PQ 交于 M ，顯然 OM AB ， AB PQ22由 OM 2 AM 2 OA在直角三角形 AOM 中，22，即(x 2 a)2 (y 2b)2 14(x a)2 (y b)2 r2，也即 x2 y2 2r 2 (a2 b2 ) ，這便是 Q的軌跡方程2 2 2 2 2 2 解法二： 設(shè)Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，則 x1 y1 r2，x2 y2 r222又 PQ 2 AB 2 ，即(x a)2 (y b)2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 2r 2 2(x1x2 y1y2) 又 AB 與 PQ 的中點(diǎn)重合，故 x a x1 x

44、2 ， y b y1 y2 ，即2 2 2(x a)2 (y b)2 2r 2 2( x1 x2 y1y2) ，有 x2 y2 2r 2 (a2 b2)這就是所求的軌跡方程解法三： 設(shè)A(r cos ,rsin )、B(rcos ,rsin )、Q(x, y)，由于 APBQ 為矩形，故 AB與 PQ的中點(diǎn)重合，即有x a r cosr cos ， y b rsin rsin ， 又由PA PB有 rsin b rsin b 1 r cos a r cos a聯(lián)立、消去 、 ，即可得 Q點(diǎn)的軌跡方程為 x2 y2 2r2 (a2 b2) 說明： 本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)

45、充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題 陷入困境之中本題給出三種解法 其中的解法一是幾何方法， 它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系 而解法二與解法三， 從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了x1、x2、 y1 、 y2四個參數(shù)，故需列出五個方程；而解法三中， 由于借助了圓 x2 y2 r2 的參數(shù)方程， 只涉及到兩個參數(shù)、 ，故只需列出三個方程便可 上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解練習(xí)：1、由動點(diǎn) P向圓 x2 y2 1引兩條切線 PA 、 PB ，切點(diǎn)分別為 A、 B， APB=600，則動點(diǎn) P的軌跡方程 是.解：設(shè) P(x,y). AP

46、B =60 0， OPA =300. OA AP ， OP 2OA 2， x2 y2 2，化簡得2 2 2 2x2 y2 4，動點(diǎn) P 的軌跡方程是 x2 y2 4.練習(xí)鞏固：設(shè) A( c,0),B(c,0)(c 0)為兩定點(diǎn)，動點(diǎn) P到 A點(diǎn)的距離與到 B 點(diǎn)的距離的比為定值 a(a 0)，求 P 點(diǎn)的軌跡 .解：設(shè)動點(diǎn) P的坐標(biāo)為 P(x,y) .由 PAPB(x c)2 y2a(a 0) ，得 a，22(x c) y化簡得 (1 a2)x2 (1 a2)y2 2c(1 a2 )x c2(1 a2) 0.當(dāng) a 1時，化簡得 x2 y2 2c(1 a )121 a 22 x c2 0，整理

47、得 (x 1 2 a c)2 y2 a2a2 1(a22ac1)2；a1當(dāng) a 1時，化簡得 x 0.所以當(dāng) a 1時， P 點(diǎn)的軌跡是以(12 a c, 0)為圓心，a12aca2 1為半徑的圓；當(dāng) a 1時， P點(diǎn)的軌跡是 y 軸.2、已知兩定點(diǎn) A( 2,0)， B(1,0) ，如果動點(diǎn) P滿足 PA 2 PB ，則點(diǎn) P的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (x,y).由 PA2PB ，得 (x 2) 2 y2 2 (x 1) 2 y2，化簡得 (x 2)2 y2 4 ，點(diǎn) P 的軌跡是以( 2， 0)為圓心，2 為半徑的圓，所求面積為 4 .24、已知定點(diǎn) B(3,0) ，點(diǎn)

48、A在圓 x22y2 1上運(yùn)動， M 是線段 AB 上的一點(diǎn)，且AM13 MB ，問點(diǎn) M的軌跡是什么？解：設(shè) M(x,y),A(x1,y1). AM113MB ， (x x1,y y1) 3(3 x, y)，331x x1(3 x)131 y y13 y4 2 4 2(43x 1)2 (43 y)2 1，即例 5、已知定點(diǎn) B(3,0) ，點(diǎn)x1y14x 134 y3(x 34) 2 y24A在圓 x222. 點(diǎn) A 在 圓 x2 y2 1上 運(yùn)動，9 ，點(diǎn) M 的軌跡方程是 (x 3)2 y216 422 x1y1 1 ， 916y2 1上運(yùn)動， AOB的平分線交 AB 于點(diǎn) M ，則點(diǎn) M

49、 的軌跡方程解：設(shè)M(x,y),A(x1,y1).OM是AOB的平分線， AMOA1，AM1MB.由變式 1可得點(diǎn)MMBOB33的軌跡方程是 (x 3)2 y 24916練習(xí)鞏固： 已知直線 y kx 1與圓 x2 y2 4相交于 A、B 兩點(diǎn)，以 OA、OB 為鄰邊作平行四邊形 OAPB，求點(diǎn) P 的軌跡方程 . 解：設(shè) P(x,y)，AB的中點(diǎn)為 M . OAPB是平行四邊形， M 是OP的中點(diǎn)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x,y)，22 且 OM AB . 直 線 y kx 1 經(jīng) 過 定 點(diǎn) C(0,1) ， OM CM ， OM CM (x,y) (x,y 1) (x)2 y(y 1) 0，

50、 化簡 得 x2 (y 1)2 1. 點(diǎn) P 的軌 跡方程是2 2 2 2 2 2 222x2 (y 1)2 1.類型九：圓的綜合應(yīng)用例 25、 已知圓 x2 y2 x 6y m 0與直線 x 2y 3 0相交于 P、Q兩點(diǎn)， O為原點(diǎn)，且 OP OQ， 求實數(shù) m 的值分析：設(shè)P 、 Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x1 , y1) 、 ( x2 , y2) ，則由kOP kOQ1，可得 x1x2 y1y2 0 ，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因為通過原點(diǎn)的直線的斜率為 y ，由直線 l與圓的方程構(gòu)造以 y 為未知數(shù) xx 的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出kOP kOQ 的值，從而使問題得以解決

51、OP OQ ，得解法一： 設(shè)點(diǎn) P、Q的坐標(biāo)為 (x1 , y1) 、 (x2 , y2) 一方面，由kOP kOQ1 ，即y1 y21，也即： x1x2 y1y2 0 x1 x2另一方面， (x1,y1)、(x2 , y2) 是 方 程 組x 2y 3 022x2 y2 x 6y m 0的實數(shù)解，即 x1、 x2是方程25x2 10x 4m 27 0的兩個根 x1 x2 2 ， x1x24m 27 又 P 、 Q 在直線 x 2y 3 0上，111 y1y2(3 x1) (3 x2)9 3(x1 x2) x1x2 224m 12將代入，得 y1 y2 1 2 5將、代入，解得 m 3 ，代入方程，檢驗0 成立， m 3解法二： 由直線方程可得 3 x 2 y ，代入圓的方程 x2 y2 x 6y m 0 ，有 2 2 1 m 2x y (x 2 y)( x 6 y) (