清華微積分等數(shù)學第八講微分中值定理

1、2021-11-71 作業(yè)作業(yè)p88 習題習題4.1 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3).p122 綜合題綜合題: 4. 5.復習復習：p8088預習預習：p89952021-11-72應用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)應用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)局部性態(tài)局部性態(tài) 未定型極限未定型極限 函數(shù)的局部近似函數(shù)的局部近似整體性態(tài)整體性態(tài) 在某個區(qū)間上在某個區(qū)間上 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值 函數(shù)的凸性、漸近性、圖形函數(shù)的凸性、漸近性、圖形2021-11-73微分中值定理，包括：微分中值定理，包括： 羅爾定理、拉格朗中值定理、羅爾定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定

2、理柯西中值定理、泰勒中值定理 微分中值定理是微分學的理論基礎。是微分中值定理是微分學的理論基礎。是利用導數(shù)研究函數(shù)性質的理論依據(jù)。利用導數(shù)研究函數(shù)性質的理論依據(jù)。 微分中值定理的共同特點是：微分中值定理的共同特點是： 在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間內(nèi)至少有一點，使所研究的函數(shù)在該點具有內(nèi)至少有一點，使所研究的函數(shù)在該點具有某種微分性質。某種微分性質。2021-11-74第八講第八講 微分中值定理微分中值定理一、費爾馬一、費爾馬 ( fermat )定理定理二、羅爾二、羅爾 ( rolle )定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(lagrange )定理定理四、

3、柯西四、柯西 (cauchy )定理定理2021-11-75).()()()()()(),(.)()(0000000或或極極小小值值點點的的極極大大值值點點為為并并稱稱或或極極小小值值取取得得極極大大值值在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)或或有有若若定定義義有有的的某某鄰鄰域域在在點點設設函函數(shù)數(shù)fxxfxfxfxfxfxnxxnxxf 一、費爾馬一、費爾馬 ( fermat )定理定理（一）極值的定義：（一）極值的定義：2021-11-760 x1xxyo)(xfy 極極大大值值)(0 xf極極小小值值)(1xf)(極大值點極大值點)(極極小小值值點點極值的研究是微積分產(chǎn)生的主要動力之一極值的研究是微積分

4、產(chǎn)生的主要動力之一2021-11-770)(,)(,)(000 xfxxfxxf則則必必有有可可導導在在點點并并且且取取得得極極值值在在點點設設函函數(shù)數(shù)（二）費爾馬定理（二）費爾馬定理 (極值必要條件極值必要條件).0)(200駐駐點點這這種種點點稱稱為為的的一一個個極極值值點點函函數(shù)數(shù)不不一一定定是是的的點點滿滿足足注注意意fxxf .0)(10必必要要條條件件是是可可導導函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的注注意意 xf2021-11-78xyo3xy 0)0(32 yxy不不是是極極值值點點0 x駐駐點點未未必必是是極極值值點點！2021-11-79證證)0)(0)(:(00 xfxf且且只只須

5、須證證明明.)(0處處取取得得極極大大值值在在點點不不妨妨設設xxf)()(0 xfxf 有有內(nèi)內(nèi)的的鄰鄰域域在在點點即即,),(000 xxx000)()()(xxxfxfxxf 考考察察0)()(000 xxxfxfxx0)()(000 xxxfxfxx2021-11-710并并且且有有都都存存在在和和所所以以存存在在因因為為,)()(,)(000 xfxfxf 0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)()(lim)()(00000 xxxfxfxfxfxx0)(0 xf2021-11-711微分中值定理的引入微分中值定理的引入.,.,平平行行的的切切線線與與弦弦在

6、在點點使使得得曲曲線線上上至至少少存存在在一一點點那那麼麼切切線線有有連連續(xù)續(xù)不不斷斷且且其其上上各各點點都都平平面面曲曲線線abcabcabab(ab切切線線平平行行于于弦弦cab2021-11-712xyc軸軸切切線線平平行行于于 xoab ab0)( f2021-11-713xoab切切線線平平行行于于弦弦cab)()()( fabafbf yab 2021-11-714xoab切切線線平平行行于于弦弦cab)()()()()()( gfagbgafbf y)(ag)(bg)( g)()()(btatfytgx :的的參參數(shù)數(shù)方方程程ab)(af)(bf)( f2021-11-715使使

7、得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在內(nèi)內(nèi)可可微微在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：設設函函數(shù)數(shù),),(),()()3(;),()2(;,)1()( babfafbabaxf )(0)(baf 二、羅爾二、羅爾 ( rolle )( rolle )定理定理2021-11-716怎樣證明羅爾定理怎樣證明羅爾定理 ？先利用形象思維先利用形象思維去找出一個去找出一個c點來！點來！想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理！的最大最小值定理！cxyoababc2021-11-717.,)(,)1(mmbaxf和和最最小小值值最最大大值值上上達達到到在

8、在閉閉區(qū)區(qū)間間知知由由條條件件.,)(,)1(baxmxfmm 則則若若, 0)()(baxxfxf 常常數(shù)數(shù)有有內(nèi)內(nèi)任任取取一一點點作作為為可可在在因因此此,),(, ba0)( f,)2(mm 若若).(,)()(afmmbfaf不等于不等于至少有一個至少有一個和和知知由由 ).(afm 不不妨妨設設羅爾定理的證明：羅爾定理的證明：2021-11-718)()(bamf 即即處處達達到到某某點點內(nèi)內(nèi)部部只只能能在在最最大大值值這這就就是是說說從從而而有有因因為為,),(,).(),()( bambfmafbf 于于是是由由費費爾爾馬馬定定理理知知因因而而是是極極大大值值內(nèi)內(nèi)部部達達到到且且

9、在在是是函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值又又存存在在所所以以因因為為.,),(,)(.)(),(baffba )(0)(baf 2021-11-719使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在內(nèi)內(nèi)可可微微在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：設設函函數(shù)數(shù),),(,),()2(;,)1()( bababaxf)()()()(bafabafbf 三、拉格朗日三、拉格朗日(lagrange )定理定理2021-11-720怎樣證明拉格朗日定理怎樣證明拉格朗日定理 ？拉格朗日定理若添加條件拉格朗日定理若添加條件: )()(bfaf 則收縮為羅爾定理；則收縮為羅爾定理；羅爾定理若放棄條

10、件羅爾定理若放棄條件: )()(bfaf 則推廣為拉格朗日定理。則推廣為拉格朗日定理。 知識擴張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探知識擴張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探索的索的新問題新問題轉化為已掌握的轉化為已掌握的老問題老問題。因此想到利用羅爾定理！因此想到利用羅爾定理！2021-11-721xo0)(: kakxafyab方方程程弦弦cababafbfk )()(yab 滿足羅爾定理條件滿足羅爾定理條件弦線與弦線與f(x)在端點處相等在端點處相等kakxafxf )()(設設函數(shù)函數(shù)2021-11-722)()()()()()(axabafbfafxfxf ).()(,),(,)(:bfafbabax

11、f 且且可可導導內(nèi)內(nèi)在在上上連連續(xù)續(xù)在在容容易易驗驗證證拉格朗日定理的證明：拉格朗日定理的證明：構造輔助函數(shù)構造輔助函數(shù)使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在由由羅羅爾爾定定理理知知,),(, ba0)()()()( abafbfff abafbff )()()( 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式2021-11-723abafbff )()()( 拉格朗日公式各種形式拉格朗日公式各種形式)()()()(abfafbf )()()()(1212xxfxfxf xfxfxxf )()()(00 xxxfxfxxf )()()(000 ),(ba ),(ba ),(21xx ),(00 xxx )

12、10( 有限增量公式有限增量公式2021-11-724思思考考題題：有有什什麼麼區(qū)區(qū)別別？限限增增量量公公式式比比較較微微小小增增量量公公式式與與有有)()()()(000 xxxfxfxxf xxxfxfxxf )()()(0002021-11-7250,xba上上任任意意取取定定一一點點在在)()()(00 xxfxfxf 條條件件滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理上上或或在在,)(,00 xxxxxfbax .,)(上上恒恒為為常常數(shù)數(shù)在在則則上上恒恒為為零零在在若若bafbaxf 推論推論1：證證有有由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理,0)()(0 xfxf之之間間與與在在0

13、xx 0)( f已已知知常常數(shù)數(shù) )()(0 xfxf2021-11-726)()()(,),()(,是是常常數(shù)數(shù)其其中中有有則則有有若若ccxgxfbaxxgxfbax 推論推論2：).(,),0)(0)(,單單調(diào)調(diào)減減少少上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在則則有有若若bafxfxfbax 推論推論3：).(,),0)(0)(,嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)減減上上嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增在在則則有有若若bafxfxfbax 推論推論4：2021-11-727使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在且且內(nèi)內(nèi)可可微微在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：設設函函數(shù)數(shù),),(. 0)(,),()

14、2(;,)1()(),( baxgbabaxgxf )()()()()()()(bagfagbgafbf 四、柯西四、柯西 (cauchy )定理定理2021-11-728. 0)()( agbg先先證證矛矛盾盾！這這與與假假設設條條件件使使得得存存在在一一點點由由羅羅爾爾定定理理知知0)(, 0)(),(, xgcgbac用用反反證證法法)()(, 0)()(agbgagbg 即即假假設設柯西中值定理的證明：柯西中值定理的證明：構造輔助函數(shù)構造輔助函數(shù))()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxf 即即使得使得故存在故存在滿足羅爾定理條件滿足羅爾定理條件, 0)()

15、,(,)( fbaxf)()()()()()( gfagbgafbf 2021-11-729輯輯關關系系：四四個個定定理理之之間間有有如如下下邏邏費爾馬定理費爾馬定理羅爾定理羅爾定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理2021-11-730?1根根討討論論下下列列方方程程有有幾幾個個實實例例1222 xxx零點問題零點問題圖圖形形發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)三三個個交交點點而而且且大大體體上上能能確確定定位位置置以下證明恰好以下證明恰好有三個根有三個根-3-2-111234246810204060801001201222 xxyyx交交點點個個數(shù)數(shù)該方程實根個數(shù)該方程實根個數(shù)就是兩條曲線就是兩條曲線2021-

16、11-731首先證明至少有三個根首先證明至少有三個根計算表明計算表明0)10(,02)1(,023)1(,043)2( ffff根據(jù)介值定理根據(jù)介值定理122)(2 xxxfx令令)10, 1(, )1, 1( , )1, 2()(和和在在 xf各至少有一個零點各至少有一個零點因此方程至少有三個根因此方程至少有三個根然后證明方程最多有三個根然后證明方程最多有三個根用反證法用反證法 有有四四個個相相異異實實根根0122)(2 xxxfx假假定定方方程程2021-11-732至少有三個相異實根至少有三個相異實根02222ln)( xxfx根據(jù)洛爾定理根據(jù)洛爾定理至少有兩個相異實根至少有兩個相異實根

17、022)2(ln)(2 xxf至至少少有有一一個個實實根根02)2(ln)(3 xxf矛盾！矛盾！綜上所述，方程恰好有三個實根綜上所述，方程恰好有三個實根352021-11-733) 0)(, 0)(;0)(, 0)( bfafbfaf或或者者直觀觀察可直觀觀察可以啟發(fā)思路以啟發(fā)思路)(),(bfaf在第一種情形在第一種情形, ,都不是最小值都不是最小值0)()( ,)( 2 bfafbaxf并并且且可可導導在在設設例例0)( ),( fba使使得得存存在在所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部達到所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部達到ba)(af)(bfyxab)(af)(bfyx2021-11-734. 0)(,

18、 0)( bfaf不不妨妨設設. )( 0)( 不不是是區(qū)區(qū)間間上上的的最最小小值值也也又又可可以以推推出出利利用用條條件件bfbf . ),( 達達到到內(nèi)內(nèi)部部某某個個點點于于是是最最小小值值在在 ba. 0)(),(: fba由由費費爾爾馬馬定定理理推推出出可知可知即即由由0)()(lim, 0)( axafxfafax)()(, afxfax 有有充分近時充分近時距距當當不不是是區(qū)區(qū)間間上上的的最最小小值值 )( af證證2021-11-735證明思路直觀分析證明思路直觀分析 例例330)(, ), 0(.0)(lim, 0)0(,), 0(), 0 fxfffcfx則存在則存在并且并且

19、可導可導在在設設內(nèi)內(nèi)部部達達到到最最大大或或最最小小值值必必然然在在), 0()( xfxyo2021-11-736證證0)(), 0( xf如如果果在在結結論論自自然然成成立立不不恒恒等等于于零零在在不不妨妨假假設設), 0()( xf0)(), 0(00 xfx使使得得0)(0 xf不不妨妨設設0)(lim xfx)()(,0101xfxfxxxx 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的根據(jù)連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理最大最小值定理使使得得存存在在, , 01x 0| )(max)(1xxxff 0 并并且且0| )(max)( xxff 是駐點是駐點所以所以內(nèi)部內(nèi)部在在由于由于 ,), 0( 0)( f2021-1

20、1-737證證明明恒恒等等式式例例4)1(2arccosarcsin xxx )1(01111)(22 xxxxf則則)1(arccosarcsin)( xxxxf令令知知理理的的推推論論于于是是由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定1)1()()( xccxf為為常常數(shù)數(shù)20arccos0arcsin)0( f又又證證2021-11-738時時有有當當又又1, x21arccos1arcsin)1( f于于是是得得到到)1(2arccosarcsin xxx )1(2arccosarcsin xxx 故故2)1arccos()1arcsin()1( f442021-11-739221arctana

21、rctan1,05aababbabba 有有不不等等式式時時證證明明當當例例,arctan)(baxxxf 令令且且可可微微內(nèi)內(nèi)在在開開區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足條條件件：顯顯然然,),()2(;,)1()(,babaxf211)(arctan)(xxxf 證證2021-11-740)()(11arctanarctan2baabab 有有理理于于是是由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定,222111aababbab 因因為為所所以以有有221arctanarctan1aababbab 2021-11-741.)(,)(,)(lim,)()(6lafaxflxfaauaxfax 且

22、且可可導導在在點點則則函函數(shù)數(shù)且且外外可可導導除除點點連連續(xù)續(xù)的的鄰鄰域域在在點點若若函函數(shù)數(shù)例例使使得得點點之之間間至至少少存存在在一一與與則則在在定定理理條條件件上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值或或在在函函數(shù)數(shù)顯顯然然且且,)(,.),(cxaaxxaxfaxaux )()()(cfaxafxf 證證2021-11-742從從而而有有時時因因為為當當.,acax)(lim)(lim)()(limcfcfaxafxfacaxax 即即有有由由已已知知條條件件,)(lim,lcfac lcfaxafxfacax )(lim)()(lim.)(,)(,lafaxf 且且可可導導在在點點函函數(shù)

23、數(shù)由由導導數(shù)數(shù)定定義義知知2021-11-743注注意意)()(lim,)(,)(lim,)(,000000 xfxfxxfxfxxxxfxxxx 且且必必可可導導在在則則函函數(shù)數(shù)存存在在且且處處可可導導在在連連續(xù)續(xù)附附近近在在點點只只要要此此例例說說明明.,;,或或是是有有第第二二類類間間斷斷是是連連續(xù)續(xù)它它或或在在每每一一點點處處不不能能有有第第一一類類間間斷斷則則導導函函數(shù)數(shù)若若函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可導導2021-11-744有有不不等等式式時時證證明明：當當例例,17 xxxxx )1ln(1等等號號成成立立時時當當,0 xxxxxf 1)1ln()(令令2)1()(xxxf

24、 則則證證.)0()(,上上嚴嚴格格增增加加在在從從而而 xf0)0(1)1ln()( fxxxxf0)(,0 xfx有有時時當當2021-11-7450)0(1)1ln()( fxxxxf)1ln(1xxx 即即xxxxxg )1ln()1ln()(同同理理可可證證令令0)(,01 xfx有有時時當當.)0,1()(,上上嚴嚴格格減減少少在在從從而而 xf)1ln(1xxx 即即2021-11-746.)(,)0()(801110實實根根也也僅僅有有證證明明的的根根全全是是實實根根設設實實系系數(shù)數(shù)多多項項式式例例xpaaxaxaxaxpnnnnnn 故故設設的的根根全全是是實實根根因因為為,)(xpnmkmkknxxxxxxaxp)()()()(21210 nkkkxxxmm 2121,其其中中證證2021-11-747)()()()()()(1211201xfxxxxxxaxxxpkkmkknm .0)(,)(111 xfkxpxn所所以以重重根根的的是是因因為為)()()()()()()()()(11111111111xfxxxfkxxxfxxxfxxkxpkkkn 0)()()()(1111111 xfkxfxxxfk