第二章導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的： 1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。 2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、 會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點： 1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系； 2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 3、

2、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 4、高階導(dǎo)數(shù)；6、 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點： 1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§2. 1 導(dǎo)數(shù)概念 一、引例 1直線運動的速度 設(shè)一質(zhì)點在坐標(biāo)軸上作非勻速運動, 時刻t質(zhì)點的坐標(biāo)為s, s是t的函數(shù): S=f(t), 求動點在時刻t0的速度. 考慮比值 , 這個比值可認(rèn)為是動點在時間間隔t-t0內(nèi)的平均速度. 如果時間間隔選較短, 這個比值在實踐中也可用來說明動點在時刻t0的速度. 但這樣做是不精確的, 更確地應(yīng)當(dāng)這樣: 令t -t0®0, 取比值的極限, 如

3、果這個極限存在, 設(shè)為v , 即 , 這時就把這個極限值v稱為動點在時刻t 0的速度. 2切線問題 設(shè)有曲線C及C上的一點M, 在點M外另取C上一點N, 作割線MN. 當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時, 如果割線繞點旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT, 直線就稱為曲線有點處的切線. 設(shè)曲線C就是函數(shù)y=f(x)的圖形. 現(xiàn)在要確定曲線在點M(x0, y0)(y0=f(x0)處的切線, 只要定出切線的斜率就行了. 為此, 在點M外另取C上一點N(x, y), 于是割線MN的斜率為 , 其中j為割線MN的傾角. 當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時, x®x0. 如果當(dāng)x® 0時, 上式的極限存在, 設(shè)為k

4、, 即 存在, 則此極限k 是割線斜率的極限, 也就是切線的斜率. 這里k=tan a, 其中a是切線MT的傾角. 于是, 通過點M(x0, f(x0)且以k 為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線. 二、導(dǎo)數(shù)的定義 1. 函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù) 從上面所討論的兩個問題看出, 非勻速直線運動的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限: . 成為 或. 定義 設(shè)函數(shù)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)自變量x在x0處取得增量Dx(點x0+仍在該鄰域內(nèi))時, 相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Dy=f(x0+)-f(x0); 如果與之比當(dāng)時的極限存在, 則稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo), 并稱這個極限為函數(shù)在點x0處的導(dǎo)數(shù),

5、 記為, 即 , 也可記為, 或. 函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)有時也說成f(x)在點x0具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在. 導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式, 常見的有 , . 在實際中, 需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題, 在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問題. 導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述. 如果極限不存在, 就說函數(shù)在點x0處不可導(dǎo). 如果不可導(dǎo)的原因是由于, 也往往說函數(shù)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大. 如果函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導(dǎo), 就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo), 這時, 對于任一x ÎI, 都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值. 這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù), 這個函

6、數(shù)叫做原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), 記作 , , 或. 導(dǎo)函數(shù)的定義式: =. f ¢(x0)與f ¢(x)之間的關(guān)系: 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ¢(x)就是導(dǎo)函數(shù)f ¢(x)在點x=x0處的函數(shù)值, 即 . 導(dǎo)函數(shù)f ¢(x)簡稱導(dǎo)數(shù), 而f ¢(x0)是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f ¢(x)在x0處的值. 左右導(dǎo)數(shù): 所列極限存在, 則定義 f(x)在的左導(dǎo)數(shù):; f(x)在的右導(dǎo)數(shù):. 如果極限存在, 則稱此極限值為函數(shù)在x0的左導(dǎo)數(shù). 如果極限存在, 則稱此極限值為函數(shù)在x0的右導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: 

7、9;. 2求導(dǎo)數(shù)舉例 例1求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù). 解: . 即(C ) ¢=0. 例2. 求的導(dǎo)數(shù). 解: . 例3. 求的導(dǎo)數(shù). 解: . 例2求函數(shù)f(x)=x n (n 為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù). 解: f ¢(a)(x n-1+ax n-2+× × ×+a n-1)=na n-1. 把以上結(jié)果中的a 換成x 得 f ¢(x)=nx n-1, 即 (x n)¢=nx n-1. (C)¢=0, , , . 例3求函數(shù)f(x)=sin x 的導(dǎo)數(shù). 解: f ¢(x) .即 (sin

8、x)¢=cos x . 用類似的方法, 可求得 (cos x )¢=sin x . 例4求函數(shù)f(x)=a x(a>0, a ¹1) 的導(dǎo)數(shù). 解: f ¢(x) . 特別地有(e x )=e x . 例5求函數(shù)f(x)=log a x (a>0, a ¹1) 的導(dǎo)數(shù). 解: . 解: . 即 特殊地 . 3單側(cè)導(dǎo)數(shù): 極限存在的充分必要條件是 及都存在且相等. f(x)在處的左導(dǎo)數(shù):, f(x)在處的右導(dǎo)數(shù):. 導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: 函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f ¢-(x0) 和右導(dǎo)數(shù)f &

9、#162;+(x0)都存在且相等. 如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且右導(dǎo)數(shù)f ¢(a) 和左導(dǎo)數(shù)f ¢(b)都存在, 就說f(x)有閉區(qū)間a, b上可導(dǎo). 例6求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù). 解: , , 因為f ¢-(0)¹ f ¢+(0), 所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo). 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ¢(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(x0, f(x0)處的切線的斜率, 即 f ¢(x 0)=tan 其中a是切線的傾角. 如果y=f(x)在點x0

10、處的導(dǎo)數(shù)為無窮大, 這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x 軸的直線x=x0為極限位置, 即曲線y=f(x)在點M(x0, f(x0)處具有垂直于x軸的切線x=x0. : 由直線的點斜式方程, 可知曲線y=f(x)在點M(x0, y0)處的切線方程為 Y=y0+f ¢(x0)(x-x0). 過切點M(x0, y0)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點M處的法線如果f ¢(x0)¹0, 法線的斜率為, 從而法線方程為 . 例8. 求等邊雙曲線在點處的切線的斜率, 并寫出在該點處的切線方程和法線方程. 解: , 所求切線及法線的斜率分別為 , . 所求切線方程為,

11、 即4x+y+4=0. 所求法線方程為, 即2x+8y+15=0. 例9 求曲線的通過點(0, -4)的切線方程. 解 設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0, 則切線的斜率為 . 于是所求切線的方程可設(shè)為 . 根據(jù)題目要求, 點(0, -4)在切線上, 因此 , 解之得x0=4. 于是所求切線的方程為 , 即3x-y-4=0. 四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0 處可導(dǎo), 即存在. 則 . 這就是說, 函數(shù)y=f(x)在點x0 處是連續(xù)的. 所以, 如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo), 則函數(shù)在該點必連續(xù). 另一方面, 一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點處可導(dǎo). 例7 函數(shù)在區(qū)間(-

12、65;,+¥)內(nèi)連續(xù), 但在點x=0處不可導(dǎo). 這是因為函數(shù)在點x=0處導(dǎo)數(shù)為無窮大x . §2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理1 如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點x具有導(dǎo)數(shù), 那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導(dǎo)數(shù), 并且 u(x) ±v(x)¢=u¢(x) ±v¢(x) ; u(x)×v(x)¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x); . 證明 (1)=u¢(x)±v¢(x). 法則(1)可簡

13、單地表示為 (u±v)¢=u¢±v¢ . (2) =u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x), 其中v(x+h)=v(x)是由于v¢(x)存在, 故v(x)在點x連續(xù). 法則(2)可簡單地表示為 (uv)¢=u¢v+uv¢. (3) . 法則(3)可簡單地表示為 . 定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形. 例如, 設(shè)u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導(dǎo), 則有 (u+v-w)¢=u¢+v¢-w¢. (uvw)

14、62;=(uv)w¢=(uv)¢w+(uv)w¢ =(u¢v+uv¢)w+uvw¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢. 即 (uvw)¢ =u¢vw+uv¢w+uvw¢. 在法則(2)中, 如果v=C(C為常數(shù)), 則有 (Cu)¢=Cu¢. 例1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y¢ 解: y¢=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-(7)&

15、#162;= 2 (x 3)¢- 5(x 2)¢+ 3(x)¢ =2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3. 例2. , 求f ¢(x)及. 解: , . 例3y=e x (sin x+cos x), 求y¢. 解: y¢=(e x )¢(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)¢ = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例4y=tan x , 求y¢. 解: .即 (tan x)¢

16、;=sec2x . 例5y=sec x, 求y¢. 解: =sec x tan x . 即 (sec x)¢=sec x tan x . 用類似方法, 還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)¢=-csc2x , (csc x)¢=-csc x cot x . 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2 如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f ¢(y)¹0, 那么它的反函數(shù)y=f -1(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix=x|x=f(y), yÎIy內(nèi)也可導(dǎo), 并且 . 或. 簡要證明: 由于x=f(y)在I y內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從

17、而連續(xù)), 所以x=f(y)的反函數(shù)y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在I x內(nèi)也單調(diào)、連續(xù). 任取x ÎI x, 給x以增量Dx(Dx¹0, x+DxÎI x), 由y=f -1(x)的單調(diào)性可知 Dy=f -1(x+Dx)-f -1(x)¹0, 于是 . 因為y=f -1(x)連續(xù), 故 從而 . 上述結(jié)論可簡單地說成: 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 例6設(shè)x=sin y, 為直接函數(shù), 則y=arcsin x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=sin y在開區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (sin y)¢=cos y>0. 因此, 由反

18、函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對應(yīng)區(qū)間I x=(-1, 1)內(nèi)有 . 類似地有: . 例7設(shè)x=tan y, 為直接函數(shù), 則y=arctan x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=tan y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (tan y)¢=sec2 y¹0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對應(yīng)區(qū)間I x=(-¥, +¥)內(nèi)有 . 類似地有: . 例8設(shè)x=a y(a>0, a ¹1)為直接函數(shù), 則y=loga x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=a y在區(qū)間I y=(-¥, +¥)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (a y)¢=a y ln a 

19、5;0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對應(yīng)區(qū)間I x=(0, +¥)內(nèi)有 . 到目前為止, 所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來了, 那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x 、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？ 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理3 如果u=g(x)在點x可導(dǎo), 函數(shù)y=f(u)在點u=g(x)可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點x可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或. 證明: 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時, y=fj(x)也是常數(shù), 此時導(dǎo)數(shù)為零, 結(jié)論自然成立. 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時, Du¹0, 此時有 , = f ¢

20、;(u)×g ¢(x ). 簡要證明: . 例9 , 求. 解 函數(shù)可看作是由y=e u, u=x3復(fù)合而成的, 因此 . 例10 , 求. 解 函數(shù)是由y=sin u , 復(fù)合而成的, 因此 . 對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后, 就不必再寫出中間變量, 例11lnsin x, 求. 解: . 例12, 求. 解: . 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個中間變量的情形. 例如, 設(shè)y=f(u), u=j(v), v=y(x), 則 . 例13y=lncos(e x), 求. 解: . 例14, 求. 解: . 例15設(shè)x>0, 證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (x m)¢=

21、m x m-1. 解 因為x m=(e ln x)m=e m ln x, 所以 (x m)¢=(e m ln x)¢= e m ln x×(m ln x)¢= e m ln x×m x-1=m x m-1. 四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=m xm-1,(3)(sin x)¢=cos x,(4)(cos x)¢=-sin x,(5)(tan x)¢=sec2x,(6)(cot x)¢=-csc2x,(7)(sec x)¢

22、=sec x×tan x,(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,(9)(a x)¢=a x ln a,(10)(e x)¢=ex,(11) ,(12) ,(13) ,(14) .(15) ,(16) . 2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè)u=u(x), v=v(x)都可導(dǎo), 則(1)(u ±v)¢=u¢±v¢,(2)(C u)¢=C u¢,(3)(u v)¢=u¢×v+u×v¢,(4). 3反函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)x

23、=f(y)在區(qū)間Iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f ¢(y)¹0, 則它的反函數(shù)y=f -1(x)在Ix=f(Iy)內(nèi)也可導(dǎo), 并且 . 或. 4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為 或y¢(x)=f ¢(u)×g¢(x). 例16. 求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù). 解: 因為, 所以 , 即 (sh x)¢=ch x. 類似地, 有 (ch x)¢=sh x. 例17. 求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù). 解: 因為, 所以 . 例18. 求反雙曲正弦arsh

24、 x的導(dǎo)數(shù). 解: 因為, 所以. 由, 可得. 由, 可得. 類似地可得, . 例19y=sin nx×sinn x (n為常數(shù)), 求y¢. 解: y¢=(sin nx)¢ sin n x + sin nx × (sin n x)¢ = ncos nx ×sin n x+sin nx × n × sin n-1 x ×(sin x )¢ = ncos nx ×sin n x+n sin n-1 x × cos x =n sin n-1 x × sin(

25、n+1)x . §2.3 高階導(dǎo)數(shù) 一般地, 函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y¢=f ¢(x)仍然是x 的函數(shù). 我們把y¢=f ¢(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù), 記作 y¢¢、f ¢¢(x)或, 即 y¢¢=(y¢)¢, f ¢¢(x)=f ¢(x)¢ , . 相應(yīng)地, 把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f ¢(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù). 類似地, 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 叫做三階導(dǎo)數(shù), 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù),

26、× × ×, 一般地, (n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n 階導(dǎo)數(shù), 分別記作 y¢¢¢, y (4), × × × , y (n) 或, , × × × , . 函數(shù)f(x)具有n 階導(dǎo)數(shù), 也常說成函數(shù)f(x)為n 階可導(dǎo). 如果函數(shù)f(x)在點x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 那么函數(shù)f(x)在點x 的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n 階的導(dǎo)數(shù). 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù). y¢稱為一階導(dǎo)數(shù), y¢¢, y¢¢¢, y (

27、4), × × ×, y(n)都稱為高階導(dǎo)數(shù). 例1y=ax +b , 求y¢¢. 解: y¢=a, y¢¢=0. 例2s=sin w t, 求s¢¢. 解: s¢=w cos w t , s¢¢=-w 2sin w t . 例3證明: 函數(shù)滿足關(guān)系式y(tǒng) 3y¢¢+1=0. 證明: 因為, , 所以y 3y¢¢+1=0. 例4求函數(shù)y=ex 的n 階導(dǎo)數(shù). 解; y¢=ex , y¢¢=ex ,

28、y¢¢¢=ex , y( 4)=ex , 一般地, 可得 y( n)=ex , 即 (ex)(n)=ex . 例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù). 解: y=sin x, , , , , 一般地, 可得 , 即. 用類似方法, 可得. 例6求對函數(shù)ln(1+x)的n 階導(dǎo)數(shù) 解: y=ln(1+x), y¢=(1+x)-1, y¢¢=-(1+x)-2, y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3, y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 一般地, 可得 y(n)=(-1)(-2)×

29、× ×(-n+1)(1+x)-n, 即 . 例6求冪函數(shù)y=xm (m是任意常數(shù))的n 階導(dǎo)數(shù)公式. 解: y¢=mxm-1, y¢¢=m(m-1)xm-2, y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3, y ( 4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4, 一般地, 可得 y (n)=m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n , 即 (xm )(n) =m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n . 當(dāng)m=n時, 得到

30、 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) × × × 3 × 2 × 1=n! . 而 (x n)( n+1)=0 . 如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 那么顯然函數(shù)u(x)±v(x)也在點x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 且 (u±v)(n)=u(n)+v(n) . (uv)¢=u¢v+uv¢ (uv)¢¢=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢, (uv)¢¢¢=u&

31、#162;¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢ , 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 , 這一公式稱為萊布尼茨公式. 例8y=x2e2x , 求y(20). 解: 設(shè)u=e2x , v=x2, 則 (u)(k)=2k e2x (k=1, 2, × × × , 20), v¢=2x , v¢¢=2, (v)(k) =0 (k=3, 4, × × × , 20), 代入萊布尼茨公式, 得 y (20)=

32、(u v)(20)=u(20)×v+C 201u(19)×v¢+C 202u(18)×v¢¢ =220e2x × x2+20 × 219e2x × 2x218e2x × 2 =220e2x (x2+20x+95). §2. 4 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 顯函數(shù): 形如y=f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù). 例如y=sin x , y=ln x+e x . 隱函數(shù): 由方程F(x, y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù). 例如, 方程x+y3 -1=0確

33、定的隱函數(shù)為y . 如果在方程F(x, y)=0中, 當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時, 相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y 值存在, 那么就說方程F(x, y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù). 把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù), 叫做隱函數(shù)的顯化. 隱函數(shù)的顯化有時是有困難的, 甚至是不可能的. 但在實際問題中, 有時需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 因此, 我們希望有一種方法, 不管隱函數(shù)能否顯化, 都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來. 例1求由方程e y+xy-e=0 所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù). 解: 把方程兩邊的每一項對x 求導(dǎo)數(shù)得 (e y)¢+(xy)¢-(e)¢=(

34、0)¢, 即 e y× y¢+y+xy¢=0, 從而 (x+e y¹0). 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0 所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y¢|x=0. 解: 把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)得 5y×y¢+2y¢-1-21x 6=0,由此得 . 因為當(dāng)x=0時, 從原方程得y=0, 所以 . 例3. 求橢圓在處的切線方程. 解: 把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo), 得 . 從而 . 當(dāng)x=2時, , 代入上式得所求切線的斜率 . 所求的切線方程為 , 即. 解: 把橢圓方程的兩邊分別對

35、x求導(dǎo), 得 . 將x=2, , 代入上式得 ,于是 k=y¢|x=2. 所求的切線方程為 , 即. 例4求由方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù). 解: 方程兩邊對x求導(dǎo), 得 , 于是 . 上式兩邊再對x求導(dǎo), 得 . 對數(shù)求導(dǎo)法: 這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對數(shù), 然后再求出y的導(dǎo)數(shù). 設(shè)y=f(x), 兩邊取對數(shù), 得 ln y = ln f(x), 兩邊對x 求導(dǎo), 得 , y¢= f(x)×ln f(x)¢. 對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù). 例5求y=x sin x (x>0)的導(dǎo)數(shù). 解

36、法一: 兩邊取對數(shù), 得 ln y=sin x × ln x, 上式兩邊對x 求導(dǎo), 得 , 于是 . 解法二: 這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求: y=x sin x=e sin x·ln x , . 例6. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解: 先在兩邊取對數(shù)(假定x>4), 得 ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4), 上式兩邊對x求導(dǎo), 得 ,于是 .當(dāng)x<1時, ; 當(dāng)2<x<3時, ; 用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果. 注: 嚴(yán)格來說, 本題應(yīng)分x>4, x<1, 2<x<3三種情況討論, 但結(jié)

37、果都是一樣的. 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程確定的. 則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 在實際問題中, 需要計算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t 有時會有困難. 因此, 我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 設(shè)x=j(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=j-1(x), 且此反函數(shù)能與函數(shù)y=y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=yj-1(x) , 若x=j(t)和y=y(t)都可導(dǎo), 則 , 即 或. 若x=j(t)和y=y(t)都可導(dǎo), 則. 例7. 求橢圓在相應(yīng)于點處的切線方程. 解: . 所求切線的斜率為.

38、切點的坐標(biāo)為, . 切線方程為, 即 bx+ayab =0. 例8拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為, 求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向. y=v2t -g t 2 解: 先求速度的大小. 速度的水平分量與鉛直分量分別為 x ¢(t)=v1, y¢(t)=v2-gt, 所以拋射體在時刻t的運動速度的大小為 . 再求速度的方向, 設(shè)a是切線的傾角, 則軌道的切線方向為 . 已知x=j(t), y=y(t), 如何求二階導(dǎo)數(shù)y¢¢? 由x=j(t), , . 例9計算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù). 解: (t¹2np, n為整數(shù)

39、). (t¹2np, n為整數(shù)). 三、相關(guān)變化率 設(shè)x=x(t)及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù), 而變量x與y間存在某種關(guān)系, 從而變化率與間也存在一定關(guān)系. 這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關(guān)系, 以便從其中一個變化率求出另一個變化率. 例10一氣球從離開觀察員500f處離地面鉛直上升, 其速度為140m/min(分). 當(dāng)氣球高度為500m時, 觀察員視線的仰角增加率是多少？ 解 設(shè)氣球上升t(秒)后, 其高度為h, 觀察員視線的仰角為a, 則. 其中a及h都是時間t的函數(shù). 上式兩邊對t求導(dǎo), 得. 已知(米/秒). 又當(dāng)h=500

40、(米)時, tan a=1, sec2 a=2. 代入上式得,所以 (弧度/秒). 即觀察員視線的仰角增加率是每秒0. 14弧度. §2. 5 函數(shù)的微分 一、微分的定義 引例 函數(shù)增量的計算及增量的構(gòu)成. 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響, 其邊長由x0變到x0+Dx, 問此薄片的面積改變了多少？ 設(shè)此正方形的邊長為x, 面積為A, 則A是x的函數(shù): A=x2. 金屬薄片的面積改變量為 DA=(x0+Dx)2-(x0)2 =2x0Dx +(Dx)2. 幾何意義: 2x0Dx表示兩個長為x0寬為Dx 的長方形面積; (Dx)2表示邊長為Dx的正方形的面積. 數(shù)學(xué)意義: 當(dāng)Dx

41、74;0時, (Dx)2是比Dx 高階的無窮小, 即(Dx)2=o(Dx); 2x0Dx是Dx的線性函數(shù), 是DA的主要部分, 可以近似地代替DA. 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義, x0及x0+Dx在這區(qū)間內(nèi), 如果函數(shù)的增量 D y =f(x0+Dx)-f(x0)可表示為 D y=ADx+o(Dx), 其中A是不依賴于Dx的常數(shù), 那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0是可微的, 而ADx叫做函數(shù)y=f(x)在點x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分, 記作 dy, 即 dy =A Dx. 函數(shù)可微的條件: 函數(shù)f(x)在點x0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo), 且當(dāng)函數(shù)f(x)在點

42、x0可微時, 其微分一定是 dy=f ¢(x0)Dx. 證明: 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0可微, 則按定義有 D y=ADx+o(Dx), 上式兩邊除以Dx, 得 . 于是, 當(dāng)Dx®0時, 由上式就得到 . 因此, 如果函數(shù)f(x)在點x0可微, 則f(x)在點x0也一定可導(dǎo), 且A=f ¢(x0). 反之, 如果f(x)在點x0可導(dǎo), 即 存在, 根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系, 上式可寫成 , 其中a®0(當(dāng)Dx®0), 且A=f(x0)是常數(shù), aDx =o(Dx). 由此又有 D y =f ¢(x0)Dx+aDx . 因且f ¢

43、;(x0)不依賴于Dx, 故上式相當(dāng)于 D y=ADx+o(Dx), 所以f(x)在點x0 也是可導(dǎo)的. 簡要證明: 一方面 . 別一方面 . 以微分dy近似代替函數(shù)增量 Dy的合理性: 當(dāng)f ¢(x0)¹0時, 有 . D y=dy+o(d y). 結(jié)論: 在f ¢(x0)¹0的條件下, 以微分dy=f ¢(x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)時, 其誤差為o(dy). 因此, 在|Dx|很小時, 有近似等式 D ydy . 函數(shù)y=f(x)在任意點x的微分, 稱為函數(shù)的微分, 記作dy或 d f(x), 即 dy=f &

44、#162;(x)Dx , 例如 d cos x =(cos x)¢Dx =-sin x Dx ; dex=(e x)¢Dx=exDx . 例1 求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分. 解 函數(shù)y=x2在x=1處的微分為 dy=(x2)¢|x=1Dx=2Dx; 函數(shù)y=x2在x=3處的微分為 dy=(x2)¢|x=3Dx=6Dx . 例2求函數(shù) y=x3當(dāng)x=2, Dx =0. 02時的微分. 解: 先求函數(shù)在任意點x 的微分 dy=(x3)¢Dx=3x2Dx . 再求函數(shù)當(dāng)x=2, Dx=0. 02時的微分 dy|x=2, Dx=0.02 =

45、3x2| x=2, Dx=0.02 =3´22´0.02=0.24. 自變量的微分: 因為當(dāng)y=x時, dy=dx=(x)¢Dx=Dx, 所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分, 記作dx, 即dx=Dx. 于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作 dy=f ¢(x)dx. 從而有 . 這就是說, 函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 因此, 導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”. 二、微分的幾何意義當(dāng)Dy 是曲線y=f(x)上的點的縱坐標(biāo)的增量時, dy 就是曲線的切線上點縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量. 當(dāng)|Dx|很小時, |Dy-dy|比|Dx|小得多. 因此在

46、點M的鄰近, 我們可以用切線段來近似代替曲線段. 三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則 從函數(shù)的微分的表達(dá)式 dy =f ¢(x)dx可以看出, 要計算函數(shù)的微分, 只要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 再乘以自變量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分運算法則. 1. 基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式: 微分公式: (x m)¢=m x m-1 d (x m)=m x m-1d x (sin x)¢=cos x d (sin x)=cos x d x (cos x)¢=-sin x d (cos x)=-sin x d x (tan x)¢=sec 2 x d (tan x)=sec 2x d x (cot x)¢=-csc 2x d (cot x)=-csc 2x d x (sec x)¢=sec x tan x