傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)課件

1、一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、三角級(jí)數(shù)二、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性三、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)第七節(jié)第七節(jié) 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)四、正弦級(jí)數(shù)四、正弦級(jí)數(shù) 余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)本節(jié)研究由三角函數(shù)組成的級(jí)數(shù)本節(jié)研究由三角函數(shù)組成的級(jí)數(shù) 三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù) 在實(shí)際問(wèn)題中，有很多周期運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)上在實(shí)際問(wèn)題中，有很多周期運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)上用周期函數(shù)來(lái)描述和研究它們，其中正弦函數(shù)用周期函數(shù)來(lái)描述和研究它們，其中正弦函數(shù)是一種是一種最常用而簡(jiǎn)單最常用而簡(jiǎn)單的周期函數(shù)，例如描述簡(jiǎn)的周期函數(shù)，例如描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的函數(shù)諧振動(dòng)的函數(shù) sinyAt 一

2、、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 對(duì)于反映較復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)的對(duì)于反映較復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)的非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù)，能否用較簡(jiǎn)單的周期函數(shù)（三角函數(shù)）組成的能否用較簡(jiǎn)單的周期函數(shù)（三角函數(shù)）組成的級(jí)數(shù)來(lái)表示和討論呢？級(jí)數(shù)來(lái)表示和討論呢？1,0( )1,0tu tt 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)可用以下不同頻率正弦波逐個(gè)疊加：可用以下不同頻率正弦波逐個(gè)疊加：,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 類(lèi)似于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，類(lèi)似于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，otu11例如矩形波例如矩形波非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù)14sinut 241(sinsin3 )3utt 3411(sinsin3sin5 )35utt

3、t 44111(sinsin3sin5sin7 )357utttt )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt541111(sinsin3sin5sin7sin9 )3579uttttt 用正弦函數(shù)組成的級(jí)數(shù)表示用正弦函數(shù)組成的級(jí)數(shù)表示 10)sin()(nnntnAAtf一般地，函數(shù)可表示為一般地，函數(shù)可表示為物理意義物理意義： 把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看作許多把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看作許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加疊加. . 電工學(xué)上，這種展開(kāi)稱(chēng)為電工學(xué)上，這種展開(kāi)稱(chēng)為諧波分析諧波分析. .二、三角級(jí)數(shù)二、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交

4、性三角函數(shù)系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù) 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa稱(chēng)為稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)，02ananbx0,(1,2,).nna a b n 是是常常數(shù)數(shù)2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx: , . 正正交交任任意意兩兩個(gè)個(gè)不不同同函函數(shù)數(shù)的的乘乘積積在在上上的的積積分分等等于于零零, 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系), 3 , 2 , 1( n, 0sins

5、in nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx(,1,2,)m n 其其中中, 0cos nxdx, 0sin nxdx), 3 , 2 , 1( n三、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: :1.若能展開(kāi)若能展開(kāi),系數(shù)系數(shù) 是什么是什么?,kkab2.展開(kāi)的條件是什么展開(kāi)的條件是什么?1.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx 若若有有0(1):a求求01(cossin)2kkkadxakxbkx dx ( )f x dx 上式兩邊積分，上式兩邊積分，01( )(cossin)2kk

6、kaf xakxbkx 若若有有0022aa01( )af x dx 01cossin2kkkadxakxdxbkxdx 由正交性由正交性0 0 (2):na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk nxdxan2cos1( )cosnaf xnxdx ), 3 , 2 , 1( n, na01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx 若若有有兩邊同乘以?xún)蛇呁艘?再積分，得再積分，得nxcos0 0 kn (3):nb求求1( )sinnbf xnxdx ), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsi

7、n2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb兩邊同乘以?xún)蛇呁艘?再積分，得再積分，得sinnx01( )(cossin)2kkkaf xakxbkx 若若有有0 0 kn 2sinnbnxdx ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或f(x)的傅里葉系數(shù)的傅里葉系數(shù)01(cossin)2kkkaakxbkx 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2.傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性傅里葉級(jí)數(shù)的收

8、斂性012( )(cossin)nnnaf xanxbnx 問(wèn)題問(wèn)題: :012( ) ?(cossin)nnnaf xanxbnx 若周期為若周期為 的函數(shù)的函數(shù) 可積，則可積，則)(xf 2條條件件? ?(1) 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) )則則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,并且并且)(xf 2設(shè)設(shè)是以是以為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).如果它滿(mǎn)足在一個(gè)周期內(nèi)如果它滿(mǎn)足在一個(gè)周期內(nèi):(2)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn),注注 函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件函數(shù)

9、展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件低的多比展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件低的多. .則則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,并且并且(1)當(dāng)當(dāng)x是是f(x)的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于f(x);(0)(0).2f xf x (2)當(dāng)當(dāng)x是是f(x)的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于解解 所給函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷充分條件. .(0, 1, 2,).tkk 在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù)2mmEE收收斂斂于于2)(mmEE , 0 2,0( ),0mmEtu tEt 例例1為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形將其展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)將其展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)

10、. .以以,( ).tku t 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂于于和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為otumE mE ntdttuancos)(10011()coscosmmEntdtEntdt 0(0,1,2,)n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為otumE mE 3. . 非周期函數(shù)非周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)的傅里葉展開(kāi)作法作法: :( )

11、(2 )( ),f xTF x 將將為為函函數(shù)數(shù)周周期期延延拓拓使使1 (0)(0)2ff 端端點(diǎn)點(diǎn)處處收收斂斂于于如果函數(shù)如果函數(shù) 只在區(qū)間只在區(qū)間)(xf, 上有定義上有定義, , 并且滿(mǎn)足狄氏充分條件并且滿(mǎn)足狄氏充分條件, ,也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù). .( )( )(, )F xf x -3-535oxy解解所給函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷充分條件. .延拓的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在延拓的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在xy0 2 2 )(xf, 收斂于收斂于例例2 xxxxxf0,0,)( 展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù). .將函數(shù)將函數(shù) nxdxxfanc

12、os)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為), 3 , 2 , 1( n* *4.4.可以利用傅氏展開(kāi)式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和可以利用傅氏展開(kāi)式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和2141( )cos(21) ,2(21)nf xnxn 0,(0)0,xf 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)2

13、22111835 即即21410,2(21)nn 于于是是2222111246 32221111234 ,44212 ,243212 21 ,62 132.122 2221111,234 ),8(513112221 進(jìn)一步，若記進(jìn)一步，若記.122 2.24 四、正弦級(jí)數(shù)四、正弦級(jí)數(shù) 余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)01(cossin)2kkkaakxbkx 只含有只含有正弦項(xiàng)正弦項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)，稱(chēng)為的傅里葉級(jí)數(shù)，稱(chēng)為正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)( (或只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)或只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)) )( (或余弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)). ).nxbnnsin1 nxaanncos210 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)

14、傅氏級(jí)數(shù)定理定理0(0,1,2,)nan 展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí), ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為)(xf 2當(dāng)周期為當(dāng)周期為的的奇函數(shù)奇函數(shù)02( )sin(1,2,)nbf xnxdxn 02( )cos(0,1,2,)naf xnxdxn 0(1,2,nbn ）（偶函數(shù)）（偶函數(shù)） 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1( n同理可證同理可證(2). nxdxxfbnsin)(1偶函數(shù)偶函數(shù)定理證畢定理證畢. nxdxxfancos)(1奇函數(shù)奇函數(shù)), 3 , 2 , 1 , 0( n0 (1)( ),f x設(shè)設(shè)是是奇奇函函數(shù)數(shù)證明證明因此因此nxbnns

15、in1 )(xf 如果如果為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù). .020,( )sinnnabf xnxdx ), 3 , 2 , 1( nnxaanncos210 )(xf 如果如果為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)02( )cos,0nnaf xnxdx b 稱(chēng)為稱(chēng)為余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù). .(0,1,2,)n 解解 所給函數(shù)滿(mǎn)足所給函數(shù)滿(mǎn)足(21) (0, 1, 2,),xkk 在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù)(0)(0)2ff 2)( ,0 (21) )( ),x xkf x 在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處處收收斂斂于于收收斂斂于于例例4成傅氏級(jí)數(shù)成傅氏級(jí)數(shù). .)(xf 2是

16、周期為是周期為的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,它在它在設(shè)設(shè)), ( ),f xx )(xf上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為將將展開(kāi)展開(kāi) 2 2 3xy0 3狄利克雷充分條件狄利克雷充分條件. .(21)( )2,xkf x 時(shí)時(shí)是是以以為為周周期期的的奇奇函函數(shù)數(shù)), 2 , 1 , 0(, 0 nan 2 2 3xy0 3和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx)5sin514sin4

17、13sin312sin21(sin2xxxxxy xy 觀觀察察兩兩函函數(shù)數(shù)圖圖形形解解 所給函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷充分條件, , 在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù). .( ),u t為為偶偶函函數(shù)數(shù), 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E), 2 , 1( ntEtusin)( E例例5展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù), ,其中其中是正常數(shù)是正常數(shù). .將周期函數(shù)將周期函數(shù) 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)), 2

18、 , 1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1( n 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu)( t.142cos21212 nnnxE014,0,Eaa 24,2(2 )10,21nEnkkank 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)0,1,2,nbn 01( )cos2nnau tant 對(duì)于非周期函數(shù)對(duì)于非周期函數(shù)，實(shí)施奇（偶）延拓后，實(shí)施奇（偶）延拓后就可以展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)就可以展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù). .( )0, ,2( ).f xF x 設(shè)設(shè)定定義義在在上上 延延拓拓成成以以為為周周期期

19、的的函函數(shù)數(shù)( )0( ),( )0f xxF xg xx 令令(2 )( ),F xF x 且且則有如下兩種情況則有如下兩種情況. 奇奇延延拓拓偶偶延延拓拓奇延拓奇延拓:)()(xfxg ( )0( )00()0f xxF xxfxx 則則xy0 ( )f x 的的傅傅氏氏正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1sin)(nnnxbxf)0( x偶延拓偶延拓:)()(xfxg ( )0( )()0f xxF xfxx 則則( )f x 的的傅傅氏氏余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 解解 (1)(1)求正弦級(jí)數(shù)求正弦級(jí)數(shù). .( ),f x對(duì)對(duì)進(jìn)進(jìn)行行奇奇延延拓拓 0sin)(2

20、nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)將函數(shù)將函數(shù))0(1)( xxxf分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù). .例例63sin) 2(312sin2sin) 2(21 xxxx)0( x2(2)sinsin22yxx 1 xy11(2)sin3sin4(2)sin5 345xxx (2)求余弦級(jí)數(shù)求余弦級(jí)數(shù).( ),f x對(duì)對(duì)進(jìn)進(jìn)行行偶偶延延拓拓 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn20,2,4,6,41,3,5,nnn 當(dāng)當(dāng),

21、 ,當(dāng)當(dāng)5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 1.傅里葉級(jí)數(shù)；傅里葉級(jí)數(shù)；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分條件；狄利克雷充分條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開(kāi)式；傅氏展開(kāi)式；傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小小 結(jié)結(jié)5.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù); 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù);小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小結(jié)小結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近小小 結(jié)結(jié)傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近思考題思考題思考