連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解0_和 0+時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的含義，并掌握沖激函數(shù)匹配法2. 理解沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)的意義，掌握其求解方法3. 掌握系統(tǒng)全響應(yīng)的兩種求解方法：自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)4. 熟練掌握零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的定義和求法；5. 會(huì)分辨全響應(yīng)中的瞬態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量；教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)掌握卷積積分的定義、代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和主要性質(zhì)，并會(huì)用 卷積積分法求解線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。教學(xué)內(nèi)容本章共8學(xué)時(shí)， 其中，講授6學(xué) 時(shí)，習(xí)題課1學(xué) 時(shí)，討論課1學(xué) 時(shí)。§ 2.1 弓|言線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析，就是一個(gè)建立和求解線性微分方程的過(guò)程。一、建立數(shù)學(xué)模型

2、建立數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)力學(xué)、電學(xué)等物理學(xué)規(guī)律，得到輸入和輸出之間 滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。例如，對(duì)于經(jīng)典力學(xué)理論，主要是依賴于牛頓定律； 對(duì)于微波和電磁場(chǎng)而言， 組要依賴于麥克斯韋方程；本課程主要研究的是由電阻、電容、電感等器件構(gòu)成的集總參數(shù)電系統(tǒng)， 它的數(shù)學(xué)模型的建立主要有依賴于KCL和KVL方程。在物理課程和 電路分析課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，通常用微分方程描述，若輸入輸出只 用一個(gè)高階的微分方程相連系，而且不研究系統(tǒng)內(nèi)部其他信號(hào)的變化，這種 描述系統(tǒng)的方法稱為輸入輸出或端口描述法。et r t系統(tǒng)分析的任務(wù)就是對(duì)給定系

3、統(tǒng)模型求系統(tǒng)的輸出。系統(tǒng)時(shí)域分析包含 兩方面內(nèi)容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)， 將沖激響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行卷積，求出系統(tǒng)的響應(yīng)；同時(shí)引入近代系統(tǒng)時(shí)域 分析方法，將建立零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩個(gè)重要的基本概念。本章還將說(shuō)明微分方程的算子符號(hào)表示法，它使微分方程的表示及運(yùn)算 簡(jiǎn)化。最后，簡(jiǎn)單介紹“分配函數(shù)”的概念。§ 2.2微分方程的建立與求解為建立線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，需列出描述系統(tǒng)特性的微分方程表達(dá)式, 現(xiàn)舉例說(shuō)明微分方程的建立方法。上課前應(yīng)復(fù)習(xí)“電路分析”知 識(shí)。一、復(fù)習(xí)R,L,C,的電壓電流關(guān)系。UrIrUrUrCUc tic t小 duc tdtti d

4、cLZWXtUlIl tdi L tdttu L d例2-1 :如下圖所示為RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓t與激勵(lì)源is t間的關(guān)系。©RcL丄ILTil<«.u tiR t，Il tR由KCL得：d , ic tCdUtdtiR t iL t ic tis t(1)將以上三式代入上方程1)得:2 d u t 1 du tC 2dt2 R dt1UtdistLdt若組成系統(tǒng)的文件都是參數(shù)恒定的線性元件（且無(wú)儲(chǔ)能） 是線性時(shí)不變系統(tǒng)。，則構(gòu)成的系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，設(shè)激勵(lì)信號(hào)為e t ,響應(yīng)為r t ,則可用一高階的微分方程表示d； tC0 dtn dme dtmEo若

5、方程Ci(2)d；C0 dtnCidrn 1 tdtn1 dm1et dtm 1C；r t(2)復(fù)習(xí)“高等數(shù) 學(xué)”微分方程的 解法相關(guān)知識(shí)。EiEmetet及其各階導(dǎo)數(shù)都為零，則方程稱為齊次方程drn 1 tdtn 1dr tCn 1C nr t 0(3)dt由經(jīng)典法可知，方程（2） 齊次解是齊次方程的解。的解由齊次方程和特解兩部分組成。齊次方程解的形式為 Ae t函數(shù)的線性組合，將r t Ae t代入方程（3 ）得Con C1 n 1Cn1 Cn 0(4)方程（4）稱為方程（2）的特征方程，對(duì)應(yīng)的n個(gè)根1,2,n稱為微分方程的特征根。若特征根無(wú)重根，則rh tAi e iti 1-H-若1是

6、K階重根，則nnAtK i e1ti 1jkBje jt1例1求r t 3r t2r t0的齊次解例3求r t 7r16rt r t e t的齊次解解其特征方程為7 22216 12 030At e 2t 民e 3t102727特解rp t的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)“自求解方法是將激勵(lì)et代入方程（2）右端，化簡(jiǎn)右端函數(shù)式稱為由項(xiàng)”，根據(jù)自由項(xiàng)選特解函數(shù)式，代入方程后，求得特解的待定系數(shù)，即 可求出特解rp t激勵(lì)函數(shù)et與特解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，見P46表2-2。例：2-4 給定方程 r t 2r t 3r t e t e t若（1） e t t2， （ 2） e tet分別求兩種情況下此方程的特

7、解解：（1）將et t2代入方程得：自由項(xiàng)為t2 2t故設(shè)特解yp tB1t2B2tB3代入方程得23B1t 4B12B,2B2 3B3t2 2tBi對(duì)比系數(shù)得:rP t3t(2)當(dāng)3B14B12B13B22B23B3B2B32t10e，可選rpt Bet，329代入方程后得e131 te3nAe " rp ti 1et，在給出一組求解區(qū)間內(nèi)的邊界條件,講解本部分知 識(shí)不應(yīng)快，應(yīng)先 易后難，循序漸 進(jìn)。在系統(tǒng)分析中，把響應(yīng)區(qū)間確定為激勵(lì)信號(hào)et加入后，系統(tǒng)變化區(qū)間,Be 2Be 3Be eB于是特解rp t于是完全解r t若給定微分方程和激勵(lì)信號(hào) 便可確定待定系數(shù) A。若e t是在t

8、=0時(shí)刻加入，則把求解區(qū)間定為 o t，通常取t 0這樣對(duì)應(yīng)的一組條件稱為初始條件。微分方程的齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，特征方程i i 1,2,3, n稱為系統(tǒng)的“固有頻率”（自由頻率，自然頻率）；特解稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)， 強(qiáng)迫響應(yīng)只與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)，完全響應(yīng)由系統(tǒng)的自身特性決定的自由響應(yīng)rh t和與外加激勵(lì)信號(hào) et有關(guān)的強(qiáng)迫響應(yīng)rp t組成的。§ 2.3起始點(diǎn)的跳變從0到0的轉(zhuǎn)換一般et在t=0時(shí)刻加入，這樣系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間為0 t，若系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入之前瞬間有一組狀態(tài)，dd n 1r k 0 r 0 , -r 0 , n <r 0這組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀dtdt態(tài)（0

9、狀態(tài)），它包含了為計(jì)算未來(lái)響應(yīng)的全部“過(guò)去”信息。在et加入之后，這組狀態(tài)從t 0到0時(shí)刻可能發(fā)生變化。完全響應(yīng)表達(dá)式nr t Aie it rp t 中常數(shù) A i 1,2, ni 1是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)t 0時(shí)刻的一組狀態(tài)確定的。dd n 1r k 00 , J0 ,0dtdt這組狀態(tài)稱為初始條件（簡(jiǎn)稱 0狀態(tài)）。由此可見，用時(shí)域經(jīng)典法求解系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，為確定自由響應(yīng)部分常數(shù)Ai i 1,2, n，還必須根據(jù)系統(tǒng)的0狀態(tài)和激勵(lì)情況求出0狀態(tài)。對(duì)于具體電路，0狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況，一般情況下，先求出電容上的起始電壓和電感中的起始電流，Vc 0，iL 0 。當(dāng)電路中沒有沖激電流（或階躍電

10、壓）強(qiáng)迫作用于電容及沒有沖激電 壓（或階躍電流）作用于電感，則換路期間電容兩端電壓和流過(guò)電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變，即Vc 0Vc 0 ，iL 0 iL 0 ，然后根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束求得 0時(shí)刻的其他電流或電壓值，下面以具體例子，說(shuō)明這種情況下電路響應(yīng)的求解方法。例：如圖所示+Uc t+Us tduc tUctUc1 Uct1 *RCRCUs tUc tUc t Us tU cn tAe t令UcpB則代入方程得Ucp tuc t Ae I t 4而 uc 0 2Vuc t的電壓不能突變，故Uc 0 2V將uc 02V代入uc t Ae tu t 4，得A=-2Uc t2e t 4

11、t 02-5例如圖所示電路，t 0開關(guān)S處1位置且已達(dá)到穩(wěn)定，當(dāng)t=0時(shí)，由1轉(zhuǎn)向2，建立電流i t的微分方程并求解it在t 0時(shí)的變化。C1R-i1 011HIluF31蚪Ri1 5 OhmT解：e2 tR1itct（1）di L tc tLdtIl tR2（2）dc ti tic tIIt cIlt（ 3）dt消去c t，iLt得d2dd2心de ti t7 i t 10i te2 t 64e2 t（ 4）dt2dtdt2dt求齊次方程i t 7i t 10i t 0特征方程：2 710 012, 25ih tAe 2tA2e 5tt 0a）求特解：當(dāng)t 0時(shí),e t4v代入（4）式得故方

12、程i t7i t10i t 16( 5)令 ipt B代入（5）式得10B16B故系統(tǒng)的完全解為it A1e 2tA2e 5tc.確定待定系數(shù) a , a2由于無(wú)沖激電壓,故電容電壓不能突變Vc 0R26而Vc 02VR11R252V4i 0AR(R251、1614i 0一 e20Vc(0),4R1155di 01d小d小e 0Vc 0dtR1dtdt1 d1 .1門1e 0i0iL 00R1 dtC112A_Vc 0，d.求it在t 0時(shí)的完全響應(yīng)A14 45 514將 i 0,i 02 代入（6）式得5814A,4i 0AA2 _3559i 02A, 5A22A2215.x4 2t25t8

13、 Ai teeA,t 03155當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有無(wú)跳變，取決定于微分方程在右端自由項(xiàng)中是否包含 及其各階導(dǎo)數(shù)若包含有 及其各階導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明相應(yīng)的變量從0-到0+狀態(tài)發(fā)生了跳變，即r(0 ) r(0 )或r (0 ) r (0 )等等此時(shí)為確定r 0 ,r 0 等，可以用沖激函數(shù)匹配法。其原理根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。下面舉一例子說(shuō)明：已知 r t 3r t 3 t 若 0-2V,求 r 0？解：由分析可知：方程右邊含t ,可以斷定r t含3 t ,由此可推斷r t包含3 t ,而方程右端無(wú) t嘰故r t中還應(yīng)包含 9 t，由于

14、r t中含 9 t，得出r(t)在t=0時(shí)刻有 9 u t存在，若 u t表示0到0相對(duì)單位跳變函數(shù)，即r 0 r 097上述方程可用數(shù)學(xué)方法描述設(shè) r t a t b t c u t積分一次有：r t a t b u t將r t ,r t代入原方程r t 3r t 3 t得at btcu t3 a t b u t3 ta3a3解得:b3a0b9c3b0c27u t表示從0-到0+相對(duì)單位發(fā)生跳變函數(shù)r 0a0bu 0br 0 r 0 b 即 r 0例2-6用沖激函數(shù)匹配法求解例2-5的完全響應(yīng)r(t)已知:7i t10i t 212 t4 d代一i 05 dt0AS用沖激函數(shù)匹配法求i4e2

15、 t2t解：考慮方程右端沖激函數(shù)項(xiàng)最高次是0，dti0t因而設(shè)將其代入原方程得解得1210a u t7a127b10ad .i I dt d2 . i dt2d .門 dtd2 .2 idt214 A5d .一idtdi要對(duì)比“電路分 析”的相關(guān)講 解，可采用對(duì)比 的方法。dt至此可將求解微分方程流程圖見p52圖2-5§ 2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)由于時(shí)域經(jīng)典法求解系統(tǒng)完全響應(yīng)是把響應(yīng)分成自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，為確定完全響應(yīng)中的常數(shù)，往往利用沖激函數(shù)匹配法，把給定的0狀態(tài)轉(zhuǎn)換成0狀態(tài)以便求解。另一種分解方法是將總響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和 零狀態(tài)響應(yīng)。我們先考察一個(gè)實(shí)例 例2-7,如圖2-

16、6所示RC電路，電容兩端起始電壓 vc 0 ，激勵(lì)源為e(t).求t>0時(shí)電容兩端電壓 vc t。e t ic t R c tdt將上式兩端同乘以teRC得d te RC cldteRCRCc1RCteCetddtRC1 eRCRC兩邊求積分RCe RCRCe1 t eRC c t c 0eRC e dRC 0丄 t丄七得：ct c 0 e RC - - e RC e dtRC 0vc t的第一項(xiàng)只和電容兩端的起始儲(chǔ)能vc 0 有關(guān)，與輸入無(wú)關(guān)。被稱為零輸入響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)。把輸出響應(yīng)分成由激勵(lì)信號(hào)e(t)第二項(xiàng)與起始儲(chǔ)能無(wú)關(guān)，只與輸入有關(guān)，稱為 一般情況下，設(shè)系統(tǒng)是線性時(shí)不變的，引起的

17、響應(yīng)He(t)，和由系統(tǒng)起始狀態(tài)x 0引起的響應(yīng) H x0 兩者疊加，由此可分別定義零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。e(t)H?r(t)=He(t)+H X。-) X0-)零輸入響應(yīng)：沒有激勵(lì)作用，只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。記為rzi t，它滿足方程d nd n 1C0dtnrzi(t) &卅宀dCn1dtrzi(t) Cnrzi(t)0及起始狀態(tài) r (k)(0 )(k0,1,., n1)的解。可見它是齊次解的一部分。nrz (t)Azikek 1kt由于沒有外界激勵(lì)作用，因而r(k)(0 ) r(k)(0 )即 Azik可以由 r(k)(0 )確定。零狀態(tài)響應(yīng)：起始狀態(tài)等于零時(shí)，由系統(tǒng)的外

18、加激勵(lì)信號(hào)所 產(chǎn)生的響應(yīng)，記為rzs(t)。它滿足方程dndn 1C。一n rzs(t)C1 n 1 rzs(t)dtdtd m宀 m 1E。亠me(t)E1e(t)dtdtEmdCn 1 rzs(t) Cnrzs(t) dt1 e(t) Eme(t) dt及起始狀態(tài)r(k)(0 )0(k0,1,., n1)其形式為nrzs(t)Azske ktB(t)k 1nr(t)A<ek 1nAzikek 1ktB(t)ntAzskek 1齊次解kt B(t)特解下題講授時(shí)為便于學(xué)生接受，可先將e t去掉使問題簡(jiǎn)化例 給定方程 r (t) 3r (t)2r(t) e (t)3e(t)當(dāng) e(t)

19、u(t)， r(0 )1,r (0 )2 求厲 t , t = ？解：1先求彷因?yàn)榱爿斎腠憫?yīng)，故e(t)=O，原方程兌變?yōu)閞zi (t) 3rzi (t)2rzi (t)0其特征方程為 2 32 0,i=-1 , 2=-2rzi(t)AietA2e2t, *(0 )(0*(0 )匚(0一)代入起始狀態(tài)得rzi 0 AA21a 4rzi 0A,2人 2A23rzi(t) 4et 3e 2tt 0(或t 0 )2 再求 rzs t ?將e(t)u(t)代入原方程得rzs(t)3rzs(t)2rzs(t)(t)3u(t)設(shè) rzs(t) a (t) b u(t)rzs(t) a u(t)0 t 0r

20、zs(t) at u(t)代入上方程得：a (t) b u(t) 3a u(t)2at u(t)(t)3 u(t)當(dāng)t 0時(shí)，此項(xiàng)為0得：a 1a 1b 3a 3b 0rzs 0rzs 0a* 03rzs 0rzs 01當(dāng)t 0時(shí)，rzs t滿足方程rzs(t)3rzs(t)2rzs(t)3u(t)3設(shè)特解rzsPtB代入上方程得B -2B2e 2t32t 0B125B225 2t3et 022rzs(t)與求初始條件注意：為使計(jì)算思路清晰，可將求解),rzs(0 )的rzs(t)Bie代入 rzs(0 ), rzs(0 )得B1B2 312B12B23rzs(t)2e t順序?qū)φ{(diào)一下。r(t

21、)rzi (t) rzs(t)4e3e2t零輸入響應(yīng)t 5 2t2e e2零狀態(tài)響應(yīng)6e11 e22t自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)對(duì)響應(yīng)的另一種區(qū)分是瞬間響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)的另一種求法：求 rzs(t) 3rzs(t) 2rzs(t)2 (t)6u(t)1的零狀態(tài)響應(yīng)。解：由于零狀態(tài)，故r(0 ) r (0 )0又由于解的區(qū)間為0 t，故當(dāng)t 0時(shí)，上方程蛻變?yōu)閞zs(t)3rzs(t)2rzs(t)6u(t)2rh(t)2A2e2t設(shè)rp(t) B代入方程(2)得rp(t)3r(t)rh(t) rp(t)Ae 七A2e2t 33求 r(0 ), r 0分析：r t含有 t ， r t含有u t

22、， r t含有tu t對(duì)方程(1)從0到0積分得r (0 ) r 03r(0 ) r 0r (0 ) r (0 )22, r(0 )r(0將初始條件代入(3)式：r(t)4e注：直接用r(t)Ae tA2e 2tu t)t020r t dte 2t 306 u t dt0Bu t代入方程此方法是不正確的。時(shí)，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量,瞬態(tài)響應(yīng)：當(dāng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：保留下來(lái)的那部分響應(yīng)分量。在建立了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念后，進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)的線性和時(shí)不變問題。由下圖可知，對(duì)外加激勵(lì)信號(hào)e(t)和它對(duì)應(yīng)的響應(yīng)zsrzs tH et的關(guān)系而言，若 Xj 00,則用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)是線性和時(shí)

23、不變的，若起始狀態(tài)Xj 00，由于響應(yīng)中零輸入分量的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)外激勵(lì)e(t)不滿足疊加性和均勻性，也不滿足時(shí)不變性，因而是非線性時(shí)變系統(tǒng)，同時(shí)由于零輸入分量的存在，使響應(yīng)的變 化不可能發(fā)生在激勵(lì)之后，因而系統(tǒng)又是非因果的。e(t)r(t)=He(t)+Hx(0-)x(0-)然而，若把起始狀態(tài)等效成系統(tǒng)的激勵(lì)，則對(duì)零輸入響應(yīng)rzi t而言，也滿足疊加性和均勻性。(1) 響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響要強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的 線性。應(yīng)。(2) 零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rzs t對(duì)于外加激勵(lì)信號(hào)et呈線性，稱為零狀態(tài)線性。例1某LTI系統(tǒng)，其初始狀態(tài)一定，

24、當(dāng)激勵(lì)為e(t)時(shí)，其全響應(yīng)為r! tet cos tt 0 ；若初始狀態(tài)不變，激勵(lì)為2e(t),其全響應(yīng)r2 t 2 cos tt 0，求初始化狀態(tài)不變，激勵(lì)為3et時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng)。e(t)> LTI > rzi trzs tx(0-)rzi t rzs tetcos t解：rzi t2rzs t 2cos trzs tcos tetrzi t2et根據(jù)線性不變的性質(zhì)r trzi t 3rzs t例2.某LTI系統(tǒng)，初始狀態(tài)為xi 0, X2 0 。已知當(dāng)Xi 01,x2 00時(shí)，其零輸入響應(yīng)為rzi t et e-2t, t 0當(dāng)x1 00， x2 01時(shí)，其零輸入響應(yīng)為rzi

25、t-t-2te e ,t 0當(dāng)x101， x2 01時(shí)，而輸入為e(t)時(shí)，其全響應(yīng)r t2 e-t,t0求當(dāng)x1 03， x2 02時(shí)，輸入為2e(t)時(shí)的全響應(yīng)解：e(t) LTI k r tr2xi tr2x2 t rzs tXi(O-), X2(0-)當(dāng) x1 01， x2 01時(shí)，而輸入為e(t)時(shí)，其全響應(yīng)tr t 2 e , t 0rx11rx2 t % t 2 erzs t2 e 七rxi tq ttt2tt2t2 eee e e作業(yè)2-4、2-5、2-6t2t2 ee根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)當(dāng)為0 3,X2。2,輸入為2et時(shí)全響應(yīng)r tr t 3rxi t2rx2 t2%

26、t(3) 零輸入線性：當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rzi t ,對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。§ 2.5沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，沖激響應(yīng)h(t)的性質(zhì)，可以表征系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，h(t)的變換域表示更是分析時(shí)不變系統(tǒng)的重要手段，因而沖激 響應(yīng)h(t)的分析是系統(tǒng)分析中極為重要的問題。1.沖激響應(yīng)h(t)定義：系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)t的作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)定義：系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)u( t)作用下，產(chǎn)生的零n 1 ,由于 (t)及其各階躍導(dǎo)數(shù)狀態(tài)響應(yīng)。e tetd，若將e(t)作用下沖激響應(yīng)為h(t)的線性時(shí)不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)。r

27、 tHetdetde htd卷積積分r te t h t即:零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)e(t)與沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分考慮到 t與Ut的關(guān)系，因而對(duì)于LTI系統(tǒng)，h t和g t也一樣存在微積分關(guān)系dhtgttLTIdttg th d對(duì)于LTI系統(tǒng)，它的h(t)滿足下微分方程C°hn tGhn-1 tCn-1h1t Cnh tE。m tE1m-1-tEmt1及起始狀態(tài)h k 00 k 0,1在t 0時(shí)都等于零，因而在t 0時(shí)方程(1)的自由項(xiàng)恒等于零， 因此沖 激響應(yīng)h(t)與齊次解的形式相同，且在n>m 時(shí)，h(t)可以表示為nh tAke kt u tk 1若n m ,則表達(dá)式還將

28、含有t及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)t等，其中，常數(shù) Ak K 1,2n ，可以通過(guò)沖激函1數(shù)匹配法，求出h k 0 值，從而求得 Ak各值。例：由例2-5求得微分方程表示為i t 7i t 10i t e t 6e t 4e t，求 h(t)=?當(dāng) et t 時(shí),i t h t故 h t 7h i t 10h t e t 6 t 4 t2th t AeA5tA2et0利用沖激函數(shù)匹配法求h0 ，d和h dt0 ，由于方程右端自由項(xiàng)最高階導(dǎo)數(shù)為t，所以設(shè)h t a tbtc td uth t a tbtc u th t a tb uta1a 1代入方程后得：b7a6b1c7b10a4c 1當(dāng)t0時(shí)，方程自由

29、項(xiàng)為0, 上方程蛻化為齊次方程h' 0h' 0 ch' 0c h' 0代入h(t)得A1 A21-2A1 5A21A1A2由分析可知,h含有t,a2t5t方法2:根據(jù)方程h t 7h t10h t可設(shè)h t Bt A1e2tA 2e5t u代入上方程當(dāng)然為易于學(xué)生接受，可讓上 方程自由項(xiàng)為e(t)i t 7i t 10i t e t=e(t)可得B 1,A13,A2具體解法A12A12t e5t ,5A 2eu tA14A©A22e2人洱2t5A2t ,h7ht , h t代入t 10h t4A1eA12t-2t14AeBA 2 t25A 2e 5t-

30、5t35A 2eA1tA24 t4 2t_e325A2e5t7B2Aie7B2t5t5A 2e5t t7 A1A2 t5A1 2A210B t用此方法必須注意, 方法3:利用齊次解后必須帶LTI系統(tǒng)的線性微分性,u(t),否則結(jié)果不正確。 先求h1 t7h110h1 tt的解hi(t)再利用h1 t 6h1 t 4h1 t求出h(t)解：由h1 t7h1 t 10h1 t當(dāng)t>0時(shí)，上方程為h1 t7h1 t10h1 t 0h1 tA1eA2eu t將hi(t)代入方程(2)得h t A1e2t A2e5t t2A 1e 2t 5A 2e 5t u t2t5tA1A2t2A1e5A2eu

31、 th tA1A2 t2A1 5A2 t 4A1e2t 25A2e5tut將h t ,h t ,h t代入方程(2得：A1 A 2 t2A1 5A 2t4A1e 2t 25A?e 5t u t7 A1 A2 t14A1e2t 35A2e u t10Ae2t 10A2e-5t u ttA1 A2 0A1 y3由對(duì)比系數(shù)法得：1215A1 2A 2 1A 2 -31 2t 1 5th1 t-e-e u t33h t mt 6h1 t 4h1 t.1 2t 152 2t 5 5t4 -e-eu t 6 e-eu t33334 2t 25 5tt-ee u t33.4 2t 1 5t.te-eu t3

32、3方法 4： h1 t7h1 t 10h1 tt分析：由于方程等號(hào)右端含t，故h1 t含有 t , h t含有t u(t)對(duì)上方程兩端同時(shí)由 0 ,0進(jìn)行積分得0 0 0 00 h1(t)dt 70 h (t)dt 0 10h1(t)dt 0 (t)dth1 0h1 07 h1 0h1 01把我發(fā)表的相 關(guān)學(xué)術(shù)論文介 紹給學(xué)生，開闊 學(xué)生的視野。h1 0h1 01h1 0h1 01 1由于h1 01 ,h1 0h1 01 1由于h1 01 ,h1 0h1 00將初始化條件代入hi t Ai2t eA2e 5tu t中1h1 0 得：1A1 A20A13h1 02A1 5A21A1312t1 5

33、tt e_e33系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)微分方程C0gn tGgn-1 tCn-1g1 tCng tE°ytEm-1,1y tEmy t及起始狀態(tài)g k00 k0,1n1 ,可以看出方程右端的自由項(xiàng)含有 t及其各階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)還包含階躍函數(shù)u(t)，因而階躍響應(yīng)中，除含齊次解形式之外，還應(yīng)增加特解項(xiàng)。例：求系統(tǒng)it 7i t 10i t e t 6e t 4e t的階躍響應(yīng) g(t)=?解：當(dāng)e(t)=u(t)時(shí)，貝U i t i(t)=g(t), g(t)滿足的方程為g t7g t10g tt 6 t 4u t ,及g0g 00。當(dāng)t 0 ，上方程蛻化成g t7g t10g t4其解的

34、形式為g tA1e 2tA2e 5tB (t 0 )設(shè)特解為gp(t)=B,對(duì)t 0代入方程10B4 B 25利用沖激函數(shù)匹配法求常數(shù)Ai, A2g t a t b t cutg t a t b u tg t a u t代入原方程得a 1b 7a 6c 7b 10a42代入方程得A1 A2 5-2A1 5A 2152e2t 1 e5t 2 u t3155t當(dāng)然g(t)也可由g t h d求得。§ 2.6 卷積卷積的定義：任意兩個(gè)信號(hào)篤和f2(t)的卷積定義為f(t)f1( )f2(t )df1(t) f2(t)設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為e(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為r t

35、 e(t) h t e( )h(t )d卷積的幾何解釋： 卷積的運(yùn)算有5個(gè)步驟。(1) 換自變量：將兩信號(hào)的時(shí)間變量 t換為(2) 反折：把其中的一信號(hào)反折 移位：將反折后的信號(hào)做位移，移位量是t,t>0時(shí)，圖形右移；t<0時(shí)圖形左移(4) 相乘：兩信號(hào)重疊部分相乘(5) 積分：完成相乘后圖形的積分 計(jì)算積分的方法有1公式法2圖形法 例1用公式法求以下兩個(gè)函數(shù)的卷積f1 t u t u t 1 ,f2 e atu t ,求 ft f1 tf2 t作業(yè)2-9、2-12、2-132-19、2-20 .講解本部分內(nèi) 容時(shí)，要結(jié)合 CAI課件，使同 學(xué)真正掌握卷 積的實(shí)質(zhì)。u(t)du(

36、)e(t)u(t)du(1)e (t )u(t)d(t)d(t )dai)tu(t)e例2:用圖形法求以下兩個(gè)函數(shù)的卷積t2山12t無(wú)交疊，故0t當(dāng)(2)f2tt當(dāng)(3)r26 2t1 11 12<t<3 時(shí),20<t<1 時(shí),t01<t<2 時(shí),tt-1與f2u(t-1)2 t1 t(1)當(dāng)t<0時(shí)，匚t1 2d1 2df t(5)1 2dt-1當(dāng)t>3時(shí)，tf t 02L f tt7廠、ft123當(dāng)建議學(xué)生研究 本章的"精品題 庫(kù)”。§ 2.7 卷積的性質(zhì)卷積運(yùn)算具有某些特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)分析中有重要作 用，利

37、用這些性質(zhì)可以使卷積運(yùn)算簡(jiǎn)化。一、卷積代數(shù)1、交換律：f1 tf2 t f2 t f1 tyzs t e t h t h t e tet h(t)h t e(t)2、分配律：fl tf2tf3tfitf2tfit f3 tr t e th1 t h2 t3、結(jié)合律：f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的總的沖激響應(yīng)，系統(tǒng)組成串聯(lián) 系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。e t h1（t）h2（t）r t e t h1 t h2 t4、卷積的微分與積分ddf2 tdf1 t一 f1 t f2 tf1 t f2 tdtdt dt即兩函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)，等于其中一函數(shù)之導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積dd證明：f1 t f2 t f1f2 t- ddtdt5、與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積。函數(shù)f t與單位沖激函數(shù)t卷積結(jié)果仍是ft本身。f ttftdftdf tf tt tof t to注意與1t ?t f o t的區(qū)別t to信號(hào)相卷積的結(jié)果，相當(dāng)于把函數(shù)本身延遲to(2)利