1995考研數(shù)三真題及解析

1、Born to win1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)1f(x)-x,那么 f(n)(x).1x設(shè)z xyf (紡,f (u)可導(dǎo)，那么 xzx yzvx設(shè)f (In x)1x,那么 f(x).100設(shè)A 220 , A是A的伴隨矩陣，那么(A )3452 2 設(shè)Xi,X2丄，Xn是來自正態(tài)總體 N(,)的簡單隨機樣本,其中參數(shù) 和 未知,nnI22記X Xi Q2(Xi X)2,那么假設(shè)H。：0的t檢驗使用統(tǒng)計量t niii 1二、選擇題 合題目要求(此題共5小題，每題3分,總分值15分.每題給出的

2、四個選項中，只有一項符 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)f(1)f(1 x)(1)設(shè)f (x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件limx2x1,那么曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線斜率為(A) 2(B)(C)(D)(2) 以下廣義積分發(fā)散的是(A)1 丄 dx1 sin x(B)廠lx(C)"dx(D)設(shè)矩陣Amn的秩為r(A)Em為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的選項是()(A) A的任意m個行向量必線性無關(guān)(B) A的任意一個m階子式不等于零(C) 假設(shè)矩陣B滿足BA 0,那么B 0(D) A通過初等行變換,必可以化為(Em,0)的形式 設(shè)隨機變量 X和Y獨立同分布，記U X

3、 Y,V X Y,那么隨機變量U與V必然(A)不獨立 (B)獨立(C)相關(guān)系數(shù)不為零(D)Born to win相關(guān)系數(shù)為零(5)設(shè)隨即變量X服從正態(tài)分布N (,2),那么隨的增大，概率P(A)單調(diào)增大(B)單調(diào)減少(C)保持不變(D)增減不定三、(此題總分值4(1XCOSX),設(shè) f (X)1,0,試討論f (x)在x 0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.四、(此題總分值o cost2dt,連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f (X)3xtf dt03e2x,求 f(x).五、(此題總分值6分)將函數(shù)yln(1 x六、(此題總分值5分)計算min x七、(此題總分值6分),ye2x2)展成x的幕級數(shù)，并指出其收斂區(qū)

4、間.)dxdy.設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q Q(p),收益函數(shù)為R pQ ,其中p為產(chǎn)品價格，Q為需求量(產(chǎn)品的產(chǎn)量),Q(p)為單調(diào)減函數(shù)如果當(dāng)價格為P0 ,對應(yīng)產(chǎn)量為Qq時,邊際收益dR0 ,收益對價格的邊際效應(yīng)dpc 0,需求對價格的彈性E p b 1 .P P0求Po和Qq .八、(此題總分值設(shè) f(X)、g(x)在區(qū)間a, a ( a 0)上連續(xù),g(X)為偶函數(shù)，且f(x)滿足條件f(x) f( x)A( A為常數(shù)).(1)證明aa f(x)g(x)dx Aa0 g(x)dx ；Born to win(2)利用 的結(jié)論計算定積分2 |sinxarctanexdx.25,如果各向量組的

5、秩九、(此題總分值9分)向里組(I )1,2 ,3 ；( D )1 ,2,3,4 ；(川)1 ,2,3分別為 r(I) r(ll) 3, r(III) 4.證明：向量組1,2,3,54的秩為4.十、(此題總分值10分)二次型 f (x-i, x2,x3)4x； 3x；4x-ix24X3 8x2x3.(1) 寫出二次型f的矩陣表達式;(2) 用正交變換把二次型 f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣0.30需進一步調(diào)試 .現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了-一、(此題總分值8分)假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.70可以直接出廠；以概率 經(jīng)調(diào)試后以概率 0.80可以出廠；以概率 0.20定為不合格品不能出廠n(n 2

6、)臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立).求:(1) 全部能出廠的概率 ；(2)其中恰好有兩臺不能出廠的概率；(3) 其中至少有兩臺不能出廠的概率 十二、(此題總分值8分)隨機變量 X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)4xy, 0 x 1,0 y 1,0,其他，求X和Y聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).Born to win1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析、填空題(此題共5小題，每題3分,總分值15分.)(1)【答案】2( 1)n n!(1x)所以【解析】f(x)1 x2 12(1 x) 1 x1 xf (x)2 (21)(1 x)f (x)2 (1)( 2)(1x) ,L ,f(n

7、)(x)2 (1)n n!(1x)(n1)2(由于1,1)nn!n 1n 1 x)【答案】2xyf yx【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么2Zxyfyxxyfyx_y_2 xyfyxIfxy5xZyxfyxyfy1xf1yfyxxxxx所以XZxyzyxyf上y1【答案】2 2 010fyxyfyy2f2xyf -xxxxx【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么：y (f (x)的導(dǎo)數(shù)為y (f (x) f (x).【答案】x ex C【解析】在f (In x)1 x中令lnx t,那么f (t)1£,從而f(t)1 et dt t etCf (x) x ex C.【解析】由AAAAE,有 A

8、 AE,故AA'Born to win跨考敎肓KUAKAO EDUCATION1 0 0A 22 010,3 4 51 0 0所以12 2 0103 45X 【答案】Q ;n(n 1)【解析】假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的另一個根本問題 ，它是根據(jù)具體情況和問題的要求，首先 提出原假設(shè)H。,再由樣本提供的信息，通過適當(dāng)?shù)姆椒▉砼袛鄬傮w所作的假設(shè) H。是否成 立.首先分析該題是屬于一個正態(tài)總體方差未知的關(guān)于期望值 的假設(shè)檢驗問題據(jù)此類 型應(yīng)該選取t檢驗的統(tǒng)計量是1(Xi X)2n(n 1)i 1 ')經(jīng)過化簡得X t Q n(n 1).【相關(guān)知識點】假設(shè)檢驗的一般步驟：(1) 確定所要檢

9、驗的根本假設(shè)H。；(2) 選擇檢驗的統(tǒng)計量，并要求知道其在一定條件下的分布；(3) 對確定的顯著性水平，查相應(yīng)的概率分布，得臨界值，從而確定否認(rèn)域；(4) 由樣本計算統(tǒng)計量，并判斷其是否落入否認(rèn)域，從而對假設(shè)H。作出拒絕還是接受的判斷、選擇題(此題共5小題，每題3分，總分值15分.)(1)【答案】(D)【解析】因f (1)limXLVx 0VxXm0f(1 x) f(1)Xlim f(1)f(1 X)x 0 x2lxm0f(1)f(1 x)2x所以應(yīng)選(D).(2)【答案】(A)Born to win1 i .dx11 sin x0 11 sin xdx而且1 1 sin xdx收斂的充要條件

10、是兩個反常積分1 10 sin x1 dx與dx ,1 sin x11丄dx都收斂0 sin x由于廣義積分1 1dx In0 sin xtan21 1即dx發(fā)散,故0 sin x在此不可誤以為1 1dx發(fā)散.1 sin x1是奇sin x函數(shù)，于是1 sin xdx 0 ,從而得出它是收斂的錯誤結(jié)論【解析】由計算知1 11dx arcsinx 1，1 11dx2 xln2xIn x 2In 2且泊松積分X2 , e dx廠02故應(yīng)選(A).注：對于此題選項(A)，由于當(dāng)x0 時 sin x0,故在積分區(qū)間1,1中x 0是瑕點，反常瞎考教肓KUAKAO EDUCATION1 1積分 dx應(yīng)分解

11、為兩個反常積分之和1 sin x(3)【答案】(C)【解析】r( A) m表示A中有m個列向量線性無關(guān)，有m階子式不等于零，并不是任意的，因此(A)、(B)均不正確.經(jīng)初等變換可把 A化成標(biāo)準(zhǔn)形，一般應(yīng)當(dāng)既有初等行變換也有初等列變換，只用一種不0 1 0一定能化為標(biāo)準(zhǔn)形例如，只用初等行變換就不能化成(E2,0)的形式，故(D)不正0 0 1確關(guān)于(C)，由BA 0知r(B) r(A) m，又r(A) m，從而r( B) 0，按定義又有r(B) 0,于是 r(B) 0,即 B 0.故應(yīng)選(C).【答案】(D)【解析】Cov(U,V) Cov(X Y，X Y).Cov(X,X Y) Cov(Y，X

12、 Y)因跨考教肓嚴(yán)二J KUAKAO EDUCATIONBorn to winDXCov(X,X) Cov(X,Y) Cov(Y,X) Cov(Y,Y)DY.由于X和Y同分布，因此DX DY,于是有Cov(U,V) 0.由相關(guān)系數(shù)的計算公式Cov(X,Y)DX . DY '所以U與V的相關(guān)系數(shù)也為零【相關(guān)知識點】協(xié)方差的性質(zhì)：,應(yīng)選(D).Cov(aX,bY)abCov(X,Y)；Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y).【答案】(C)2X【解析】由于X : N( , 2),將此正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化，故:N 0,1計算看出概率P X的值與大小無關(guān)所以此題應(yīng)選(C).三

13、、(此題總分值6分)【解析】這是一道討論分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性的問題一般要用連續(xù)性與可導(dǎo)性的定義并借助函數(shù)在分界點處的左極限與右極限以及左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)lim f(x) lim 2(1 c°sx)x 0x 0 x2 -x2lim 2-x 0x21,cost2dtlim f (x)x 0limx 02cosx d lim1,x 01故 f (00) f (0 0)f (0),即f(x)在x 0處連續(xù).f (0)limx 0f(x) f(0)x 0limx 01 x 2cost dt 1 x 0limx 02 彳cosx 1 limx 0 2xlimx 0-x2x0,Born

14、to winf(x) f (0) 彳(1 cosx) 1 f (0) lim 也巴 lim x 0 x 0 x 0x2lim 2(1 cosx) x2sinx 2xx 0limx 03x2lim 2(cosx 1 0.x 06x即f (0) f (0)0,故f (x)在x 0處可導(dǎo)，且f(0) 0.四、(此題總分值6分)【解析】首先，在變上限定積分中引入新變量tS 3,3xtf dt03x3 0 f (s)ds.代入題設(shè)函數(shù)f(x)所滿足的關(guān)系式,得f (x)3 0 f (s)ds e2x.在上式中令x 0得f (0)1,將上式兩端對x求導(dǎo)數(shù)得【解析】由12x 2x (1 2x)(1 x)知l

15、n(12x2) ln(1 2x)ln(1x).因為ln(1x)x23xL3(1) 7 L ,其收斂區(qū)間為(1,1)；ln(12x)2x)(2x)22(2x)3亍L (1)nf (x) 3f (x) 2e2x.由此可見f (x)是一階線性方程f (x) 3f (x) 2e2x滿足初始條件f (0)1的特解用e3x冋乘方程兩端，得f(x)e 3x2e x,積分即得 f(x) Ce3x2e2x.由 f (0)1可確定常數(shù)C 3,于是，所求的函數(shù)是f (x)3e3x 2e2x.五、(此題總分值6分)其收斂區(qū)間為于是有l(wèi)n(1 x 2x2)n(1)n1xn 1(1) nn 1 ( 2x)nn其收斂區(qū)間為

16、1 12,2【相關(guān)知識點】收斂區(qū)間：假設(shè)幕na“xn 0的收斂半徑是正數(shù)(R,R)；假設(shè)其收斂半徑是,那么收斂區(qū)間是).Born to win(1)n1 2lnR,那么其收斂區(qū)間是開區(qū)間六、(此題總分值5分)【解析】 方法一：此題中二重積分的積分區(qū)域0,那么當(dāng)a注意當(dāng)由于DaDa(x, y) | a x a,時,有Da D .從而min x, ye (xy 時，min x, y x ；當(dāng)min x, ye("UxdyUxdylim min x, ye "aDax y 時，min x, yy.于是")dxdy.aadyy xe (" y2)dx aadxa

17、ye(x2 y2)dy,adxa21e2adxaa2e "dxX ,從而可得e(x2x2dxy2)d(x2y2)2x2dx.(x2a2) e 2x2 dxlimadxaxye (x2a/)dy2x2dx、2x22 alim22同理可得limaadya Jy xe (x2ayb-22Born to win方法二：設(shè)R0,那么圓域 Dr(x, y) |x2 y2R2當(dāng)R時也趨于全平面,從而min x, ye("")dxdylimRmin x, yeDR")dxdy.引入極坐標(biāo)系x r cos , y r sin ,貝U由此可得2 時,min x, y-與-4

18、 45時,min x, y x r cos4min x, yeDR4 sin0r sin ；(x2/)dxdy"dr2 血Rim2 Rim七、(此題總分值6分)【解析】此題的關(guān)鍵在于Rr2e2r dr44 sin0re rr2dr544 cos42r dr25 sin2r dr54 cos d4r dr25 sin4Rrd (e ')02、2Rr2er dr.° e'drp和Q之間存在函數(shù)關(guān)系，因此pQ既可看作p的函數(shù)，也可看作Q的函數(shù)，由此分別求出 塑及更，并將它們與彈性 dQdpEpp dQ聯(lián)系起來，進而求得Q dp問題的解.由Q Q(p)是單調(diào)減函數(shù)知

19、dQdp0,從而需求對價格的彈性Ep0,這說明題設(shè)E pb 1應(yīng)理解為 EpEpb 1.又由Q Q(p)是單調(diào)減函數(shù)知存在反函數(shù)Born to winp p(Q)且也 丄.由收益R pQ對Q求導(dǎo),有 dQ dQdp從而dR dQpdp QpdQp1p(1 )E pp dQ Q dpdR一 1、abP0(1 )a,得 p°dQQ Q°bb 1由收益R pQ對p求導(dǎo),有從而八、(此題總分值6分)dR 一dQQ(1dpQp ,dpdRdpQ(1b) cp Pop dQ、Q(1 Ep),)Q dp于是Qc于是Q01 b .【解析】(1)由要證的結(jié)論可知，應(yīng)將左端積分化成0,a上的積

20、分，即a0aaf(x)g(x)dx af(x)g(x)dx 0 f(x)g(x)dx,0再將f(x)g(x)dx作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為在0,a上的定積分a方法由于a0af (x)g(x)dx f (x)g(x)dx f (x)g(x)dx ,aa00在 f (x)g(x)dx 中令at,那么由x: a0,得 t: a 0,且0f (x)g(x)dxa0f( t)g( t)d(aat) 0f(t)g(t)dt 0af( x)g(x)dx,所以aa f(x)g(x)dxaa0 f(x) f( x)ag(x)dx A 0 g(x)dx.a方法二：在a f (x)g(x)dx 中令 x t ,那么由 x

21、: a a ,得 t: aa,且af ( x)g(x)dx.aaaf(x)g(x)dxf( t)g( t)d( t) f( t)g(t)dtaaa所以a 1a f (x)g(x)dx 2丄aaa f (x)g(x)dxaf ( x)g(x)dxaaaA aa f(x) f( x) g(x)dx ag(x)dxaaaA 0 g(x)dx.Born to win令f(x) arctanex, g(x) sinx ,可以驗證f(x)和g(x)符合(1)中條件，從而可以用 (1)中結(jié)果計算題目中的定積分 方法一：取 f (x) arctanex, g(x) sinx , a .2由于 f(x) f(

22、x) arctanex arctanex滿足arcta nexarcta n e2x2x0,arctanex arctanex A .令 x 0,得2arctan1 AA ,即 f(x)f( x) 2.于是有-|sin x arctanexdx2sinx dx2 sin xdx方法二：取 f (x) arctaneX, g(x)sin x于是f (x) f ( x) arctanex arctan 二ex2、 1(這里利用了對任何 x 0,有arctanx arctan)x 2以下同方法一.【解析斤】因為r(I)r(II)3,所以1, 2,3線性無關(guān)，而1, 2, 3,因此4可由1 , 2,3

23、線性生表出，設(shè)為 4l11l22l33 .假設(shè)k1 1k2 2k33k4(54)0,即(k1IK)1 (k2l2k4)2(k3l3k4 )30 ,由于r(III)4,所以1,2 ,3 ,5線性無關(guān).故必有k1l1k40,k2l2k40,k3也0,k40.九、(此題總分值9分)解出4線性相關(guān),k40, k30,k2 0, k10.是1, 2 , 3 , 54線性無關(guān)，即其秩為4.十、(此題總分值10分)【解析】 因為f (X!, x2,x3)對應(yīng)的矩陣為Born to win(2)由A的特征方程2 43022X1xTAx(NX*)244X2243X32222224424024324144故f (x“ x2,x3)的矩陣表示為f (Xi,X2,X3)1004E AA 21)( 236)0,得到A的特征值為1 1, 26, 3由(E A)x0得根底解系X1(2,0,1)T,即屬于1的特征向量由(6E A)x0得根底解系X2(1,5,2)T,即屬于6的特征向量.由(6E A)x0得根底解系X3(1, 1,2)T ,即屬于6的特征向量.對于實對稱矩陣,特征值不同特征向量已正交，故只須單位化，有X11X1X2_1_區(qū)|后X3|IX3|V6yiBorn to win經(jīng)正交變換x2X3y32115.30051,30、61225J30.6那么令 Q (12 3)Q y2 ,二次型化為標(biāo)準(zhǔn)