高考數學大一輪復習 7.3二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題課件 理 蘇教版

1、7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題第七章不等式數學數學 蘇（理）蘇（理） 基礎知識基礎知識自主學習自主學習 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 練出高分練出高分1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式axbyc0在平面直角坐標系中表示直線axbyc0某一側所有點組成的 .我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域 邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式axbyc0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應 邊界直線，則把邊界直線畫成 .平面區(qū)域不包括包括實線(2)由于對直線axbyc0同一側的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入axbyc，所得的符號都 ，

2、所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由ax0by0c的 即可判斷axbyc0表示的直線是axbyc0哪一側的平面區(qū)域.相同符號2.線性規(guī)劃相關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的 不等式(或方程)組成的不等式組目標函數欲求 或 的函數線性目標函數關于x，y的 解析式一次最大值最小值一次可行解滿足 的解可行域所有 組成的集合最優(yōu)解使目標函數取得 或 的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的 或 問題線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值3.應用利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是(1)在平面直角坐標系內作出可行

3、域.(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形.(3)確定最優(yōu)解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而確定最優(yōu)解.(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數即可求出最大值或最小值.u 思考辨析判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)不等式axbyc0表示的平面區(qū)域一定在直線axbyc0的上方.()(2)不等式x2y212解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z2xy，則y2xz.易知當直線y2xz過點a(k，k)時，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.題型一題型一 二元一次不等式二元一次不等式( (組組) )表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域思 維 升 華解 析解

4、析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.因此只有直線過ab中點時，思 維 升 華解 析思 維 升 華解 析二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域.注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點.思 維 升 華解 析解析答案思維升華例1(2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_.兩直線方程分別為x2y20與xy10.由(0,0)點在直線x2y20右下方可知x2y20，又(0,0)點在直線xy10左下方可知xy10，解析答案思維升華例1(2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元

5、一次不等式組表示為_.為所表示的可行域.解析答案思維升華例1(2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_.為所表示的可行域.解析答案思維升華例1(2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域.注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點.解析答案思維升華例1(2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_.解析直線axy10過點(0,1)，作出可行域如圖知可行域由點a(1,0)，b(1，a1)，c(0,1)

6、組成的三角形的內部(包括邊界)，解得a7.答案 7(2)如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)滿足不等式_.解析 邊界對應直線方程為xy10，且為虛線，區(qū)域中不含(0,0)，由以上可知平面區(qū)域(陰影部分)滿足xy10.xy10解析答案思維升華題型二題型二 求線性目標函數的最值求線性目標函數的最值例2 (1)(2014廣東改編)若變量x，y且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn_.滿足約束條件題型二題型二 求線性目標函數的最值求線性目標函數的最值例2 (1)(2014廣東改編)若變量x，y且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn_.滿足約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示.由z2xy，得y

7、2xz.解析答案思維升華題型二題型二 求線性目標函數的最值求線性目標函數的最值例2 (1)(2014廣東改編)若變量x，y且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn_.滿足約束條件a(1，1).解析答案思維升華題型二題型二 求線性目標函數的最值求線性目標函數的最值例2 (1)(2014廣東改編)若變量x，y且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn_.滿足約束條件b(2，1).當直線y2xz經過點a時，zmin2(1)13n.當直線y2xz經過點b時，zmax2213m，故mn6.解析答案思維升華題型二題型二 求線性目標函數的最值求線性目標函數的最值例2 (1)(2014廣東改編)若變

8、量x，y且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn_.滿足約束條件b(2，1).當直線y2xz經過點a時，zmin2(1)13n.當直線y2xz經過點b時，zmax2213m，故mn6.6解析答案思維升華線性規(guī)劃問題的解題步驟：(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移將直線平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置；題型二題型二 求線性目標函數的最值求線性目標函數的最值例2 (1)(2014廣東改編)若變量x，y且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn_.滿足約束條件6解析答案思維升華(3)求值解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代

9、入目標函數，即可求出最值.題型二題型二 求線性目標函數的最值求線性目標函數的最值例2 (1)(2014廣東改編)若變量x，y且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn_.滿足約束條件6解析答案思維升華解析答案思維升華例2 (2)(2013課標全國)已知a0，x，y滿足約束條件最小值為1，則a_.若z2xy的例2 (2)(2013課標全國)已知a0，x，y滿足約束條件最小值為1，則a_.若z2xy的作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線z2xy過交點a時，z取最小值，解析答案思維升華例2 (2)(2013課標全國)已知a0，x，y滿足約束條件最小值為1，則a_.若z2xy的zm

10、in22a1，解析答案思維升華例2 (2)(2013課標全國)已知a0，x，y滿足約束條件最小值為1，則a_.若z2xy的zmin22a1，解析答案思維升華例2 (2)(2013課標全國)已知a0，x，y滿足約束條件最小值為1，則a_.若z2xy的線性規(guī)劃問題的解題步驟：(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移將直線平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置；解析答案思維升華例2 (2)(2013課標全國)已知a0，x，y滿足約束條件最小值為1，則a_.若z2xy的(3)求值解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代入目標函數，即可求出最值.解析

11、答案思維升華畫出可行域如圖陰影部分所示，答案4解析 作出可行域，如圖中陰影部分所示，例3某客運公司用a、b兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務，每車每天往返一次.a、b兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求b型車不多于a型車7輛.若每天運送人數不少于900，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備a型車、b型車各多少輛？題型三題型三 線性規(guī)劃的實際應用線性規(guī)劃的實際應用解 析思 維 升 華解設a型、b型車輛分別為x、y輛，相應營運成本為z元，則z1 600 x2 400y

12、.作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標分別為p(5，12)，q(7,14)，r(15,6).解 析思 維 升 華由圖可知，當直線z1 600 x2 400y經過可行域的點p時，直線z1 600 x2 400y在y軸上的截距 最小，即z取得最小值.故應配備a型車5輛、b型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運成本最小.解 析思 維 升 華解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟：(1)分析題意，設出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數；(3)作出可行域并利用數形結合求解；(4)作答.解 析思 維 升 華跟蹤訓練3 某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用a原料3噸、b原料2噸；生產每噸乙產品

13、要用a原料1噸、b原料3噸.銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元、每噸乙產品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產周期內消耗a原料不超過13噸、b原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是_萬元.解析設生產甲產品x噸、乙產品y噸，則獲得的利潤為z5x3y.可行域如圖陰影所示.由圖可知當x、y在a點取值時，z取得最大值，此時x3，y4，z533427(萬元).答案27解析答案思維升華題型四題型四 求非線性目標函數求非線性目標函數的最值的最值題型四題型四 求非線性目標函數求非線性目標函數的最值的最值 表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，解析答案思維升華題型四題型四 求非線性目標函數求非線性目標函

14、數的最值的最值 表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，解析答案思維升華常見代數式的幾何意義有題型四題型四 求非線性目標函數求非線性目標函數的最值的最值解析答案思維升華題型四題型四 求非線性目標函數求非線性目標函數的最值的最值解析答案思維升華解析答案思維升華在坐標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，解析答案思維升華結合圖形可知，在該平面區(qū)域內的點中，解析答案思維升華由點(1,0)向直線xy2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內，且與點(1,0)的距離最小，解析答案思維升華由點(1,0)向直線xy2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內，且與點(1,0)的距離最小，解析答案思維升華常見代數式的幾何意義有解

15、析答案思維升華解析答案思維升華區(qū)域是1，平面區(qū)域2是與1關于直線3x4y90對稱的區(qū)域，對于1中的任意一點a與2中的任意一點b，ab的最小值為_.解析 由題意知，所求的ab的最小值，即為區(qū)域1中的點到直線3x4y90的距離的最小值的兩倍，(1)設不等式組跟蹤訓練4 所表示的平面畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(1,1)到直線3x4y90的距離最小，答案 4若直線kxy20經過該可行域，則k的最大值為_.(2)設變量x，y滿足解析 畫出可行域如圖，k為直線ykx2的斜率，直線過定點(0,2)，并且直線過可行域，若直線kxy20經過該可行域，則k的最大值為_.(2)設變量x，y滿足

16、要使k最大，此直線需過b(2,4)點，1典例：(14分)變量x、y滿足思 維 點 撥規(guī) 范 解 答思想與方法系列思想與方法系列10 10 利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標函數利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標函數的最值的最值思 維 點 撥規(guī) 范 解 答作出(x，y)的可行域如圖所示.思 維 點 撥規(guī) 范 解 答4分分 思 維 點 撥規(guī) 范 解 答7分分 z的值即是可行域中的點與原點o連線的斜率.思 維 點 撥規(guī) 范 解 答(2)設zx2y2，求z的取值范圍；思 維 點 撥規(guī) 范 解 答(2)設zx2y2，求z的取值范圍；思 維 點 撥規(guī) 范 解 答(2)設zx2y2，求z的取值范圍；解 zx2y2的

17、幾何意義是可行域上的點到原點o的距離的平方.結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，2z29.11分分 思 維 點 撥規(guī) 范 解 答(3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍.思 維 點 撥規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒(3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍.思 維 點 撥規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒解 zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的幾何意義是可行域上的點到點(3,2)的距離的平方.結合圖形可知，可行域上的點到點(3,2)的距離中，dmin1(3)4，14分分 (3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍.16z64.思 維 點 撥規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒(1)

18、本題是線性規(guī)劃的綜合應用，考查的是非線性目標函數的最值的求法.(2)解決這類問題的關鍵是利用數形結合的思想方法，給目標函數賦于一定的幾何意義.(3)本題錯誤率較高.出錯原因是，很多學生無從入手，缺乏數形結合的應用意識，不知道從其幾何意義入手解題.(3)設zx2y26x4y13，求z的取值范圍.思 維 點 撥規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒方 法 與 技 巧1.平面區(qū)域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線).3.解線性規(guī)劃應用題，可先找出各變量之間的關系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數，轉化成線性規(guī)劃問題.方 法 與 技 巧4.利用線性規(guī)劃的思想結合代數式的幾何意

19、義可以解決一些非線性規(guī)劃問題.失 誤 與 防 范1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化.234567810192345678101所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.在yx1中，令x0得y1，即直線yx1與y軸的交點為c(0,1)，解得t1或t3(不合題意，舍去).答案19345678110293456781102解析|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含y軸的兩個區(qū)域；|x|0時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當a0時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.答案2或192346781105解析畫出可行域如圖所示.由z2xy，得y2xz

20、，欲求z的最大值，可將直線y2x向下平移，92346781105當經過區(qū)域內的點，且滿足在y軸上的截距z最小時，即得z的最大值，如圖，可知當過點a時z最大，即a(5,2)，則zmax2528.答案892345781106解析作出可行域為abc(如圖)，則sabc4.92345681107解析在坐標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線2xyz，92345681107結合圖形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直線yk必過直線2xy6與xy0的交點，即必過點(2,2)，于是有k2；平移直線2xy6，當平移到經過該平面區(qū)域內的點(2,2)時，相應直線在y軸上的截距達到最小，此時z2xy取得最

21、小值，最小值是z2(2)22.答案2298.鐵礦石a和b的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的co2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如表：2345671108ab(萬噸)c(百萬元)a50%13b70%0.5692345671108某冶煉廠至少要生產1.9(萬噸)鐵，若要求co2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為_(百萬元).解析設購買鐵礦石a、b分別為x萬噸，y萬噸，購買鐵礦石的費用為z(百萬元)，92345671108目標函數z3x6y，記p(1,2)，畫出可行域可知，當目標函數z3x6y過點p(1,2)時，z取到最小值15. 答案1599.若直線xmym0與以p(1，1)、q(2

22、,3)為端點的線段不相交，求m的取值范圍.解直線xmym0將坐標平面劃分成兩塊區(qū)域，線段pq與直線xmym0不相交，則點p、q在同一區(qū)域內，2345678110910.某玩具生產公司每天計劃生產衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產一個騎兵需7分鐘，生產一個傘兵需4分鐘，已知總生產時間不超過10小時.若生產一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產一個騎兵可獲利潤6元，生產一個傘兵可獲利潤3元.(1)試用每天生產的衛(wèi)兵個數x與騎兵個數y表示每天的利潤(元)；234567811092345678110解 依題意每天生產的傘兵個數為100 xy，所以利潤5x6y3(100 xy)2x3y300.92345678110(2)怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？92345678110目標函數為2x3y300，作出可行域，如圖所示，作初始直線l0：2x3y0，平移l0，當l0經過點a時，有最大值，92345678110最優(yōu)解為a(50,50)，此時max550元.故每天生產衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元.9解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，234516顯然a8，否則可行域無意