MBA統(tǒng)計學(xué)非參數(shù)檢驗

1、統(tǒng)計學(xué)從數(shù)據(jù)到結(jié)論第十六章 非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗 16.1 關(guān)于非參數(shù)的一些常識關(guān)于非參數(shù)的一些常識l經(jīng)典統(tǒng)計的多數(shù)檢驗都假定了總經(jīng)典統(tǒng)計的多數(shù)檢驗都假定了總體的背景分布。體的背景分布。l但在總體未知時，如果假定的總但在總體未知時，如果假定的總體和真實總體不符，那么就不適體和真實總體不符，那么就不適宜用通常的檢驗宜用通常的檢驗l這時如果利用傳統(tǒng)的假定分布已這時如果利用傳統(tǒng)的假定分布已知的檢驗，就會產(chǎn)生錯誤甚至災(zāi)知的檢驗，就會產(chǎn)生錯誤甚至災(zāi)難。難。l無需假定總體分布的具體形式，無需假定總體分布的具體形式，僅僅依賴于數(shù)據(jù)觀測值的相對大僅僅依賴于數(shù)據(jù)觀測值的相對大小小(秩秩)或零假設(shè)下等可能的概率或

2、零假設(shè)下等可能的概率等和數(shù)據(jù)本身的具體總體分布無等和數(shù)據(jù)本身的具體總體分布無關(guān)的性質(zhì)進行的檢驗都稱為關(guān)的性質(zhì)進行的檢驗都稱為非參非參數(shù)檢驗數(shù)檢驗(nonparametric testing)。16.1 關(guān)于非參數(shù)的一些常識關(guān)于非參數(shù)的一些常識l這些非參數(shù)檢驗在總體分布未知時有很這些非參數(shù)檢驗在總體分布未知時有很大的優(yōu)越性。它總是比傳統(tǒng)檢驗安全。大的優(yōu)越性。它總是比傳統(tǒng)檢驗安全。l在總體分布形式已知時，非參數(shù)檢驗不在總體分布形式已知時，非參數(shù)檢驗不如傳統(tǒng)方法效率高。這是因為非參數(shù)方如傳統(tǒng)方法效率高。這是因為非參數(shù)方法利用的信息要少些。往往在傳統(tǒng)方法法利用的信息要少些。往往在傳統(tǒng)方法可以拒絕零假設(shè)

3、的情況，非參數(shù)檢驗無可以拒絕零假設(shè)的情況，非參數(shù)檢驗無法拒絕。法拒絕。l但非參數(shù)統(tǒng)計在總體未知時效率要比傳但非參數(shù)統(tǒng)計在總體未知時效率要比傳統(tǒng)方法要高，有時要高很多。是否用非統(tǒng)方法要高，有時要高很多。是否用非參數(shù)統(tǒng)計方法，要根據(jù)對總體分布的了參數(shù)統(tǒng)計方法，要根據(jù)對總體分布的了解程度來確定。解程度來確定。 l這里介紹一些非參數(shù)檢驗。這里介紹一些非參數(shù)檢驗。l關(guān)于非參數(shù)方法的確切定義并不關(guān)于非參數(shù)方法的確切定義并不很明確。我們就其最廣泛的意義很明確。我們就其最廣泛的意義來理解。來理解。l在計算中，諸如列聯(lián)表分析中的在計算中，諸如列聯(lián)表分析中的許多問題都有精確方法，許多問題都有精確方法，monte

4、carlo抽樣方法和用于大樣本的抽樣方法和用于大樣本的漸近方法等選擇。精確方法比較漸近方法等選擇。精確方法比較費時間，后兩種要粗糙一些，但費時間，后兩種要粗糙一些，但要快些。要快些。 秩（秩（rank） l非參數(shù)檢驗中秩是最常使用的概非參數(shù)檢驗中秩是最常使用的概念。什么是一個數(shù)據(jù)的秩呢？一念。什么是一個數(shù)據(jù)的秩呢？一般來說，秩就是該數(shù)據(jù)按照升冪般來說，秩就是該數(shù)據(jù)按照升冪排列之后，每個觀測值的位置。排列之后，每個觀測值的位置。例如我們有下面數(shù)據(jù)例如我們有下面數(shù)據(jù)xi159183178513719ri75918426310這下面一行（記為這下面一行（記為ri）就是上面一）就是上面一行數(shù)據(jù)行數(shù)據(jù)x

5、i的秩。的秩。 秩（秩（rank） l利用秩的大小進行推斷就避免利用秩的大小進行推斷就避免了不知道背景分布的困難。這了不知道背景分布的困難。這也是非參數(shù)檢驗的優(yōu)點。也是非參數(shù)檢驗的優(yōu)點。l多數(shù)非參數(shù)檢驗明顯地或隱含多數(shù)非參數(shù)檢驗明顯地或隱含地利用了秩的性質(zhì)；但也有一地利用了秩的性質(zhì)；但也有一些非參數(shù)方法沒有涉及秩的性些非參數(shù)方法沒有涉及秩的性質(zhì)。質(zhì)。 16.2 單樣本檢驗單樣本檢驗16.2.1單樣本中位數(shù)單樣本中位數(shù)(a a-分位數(shù)分位數(shù))符號檢驗符號檢驗l我們知道某點為中位數(shù)我們知道某點為中位數(shù)(a a-分位數(shù)分位數(shù))意味著一個數(shù)小于該點的概率應(yīng)該意味著一個數(shù)小于該點的概率應(yīng)該為為0.5(a

6、 a).l因此，一個觀測值小于該點（或與因此，一個觀測值小于該點（或與該點之差的該點之差的符號符號為負號）的概率為為負號）的概率為0.5(a a)。l這就是符號檢驗名稱的來源，并與這就是符號檢驗名稱的來源，并與二項分布有關(guān)。二項分布有關(guān)。例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)gs.txtl例例16.1 質(zhì)量監(jiān)督部門對商店里面出售的某廠質(zhì)量監(jiān)督部門對商店里面出售的某廠家的西洋參片進行了抽查。對于家的西洋參片進行了抽查。對于25包寫明為包寫明為凈重凈重100g的西洋參片的稱重結(jié)果為（單位：的西洋參片的稱重結(jié)果為（單位：克）：克）：99.05 100.25 102.56 99.15 104.89 101.86 96.37

7、 96.79 99.3796.90 93.94 92.97 108.28 96.86 93.94 98.27 98.36100.81 92.99 103.72 90.66 98.24 97.87 99.21 101.79數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)gs.txtl樣本中位數(shù)為樣本中位數(shù)為m=98.36。因此，。因此，人們懷疑廠家包裝的西洋參片份人們懷疑廠家包裝的西洋參片份量不足。由于對于這些重量的總量不足。由于對于這些重量的總體分布不清楚，決定對其進行符體分布不清楚，決定對其進行符號檢驗。需要檢驗的是：號檢驗。需要檢驗的是：01:100:100hmhm數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)gs.txtl按照零假設(shè)，每個觀測值（每包西按照零假設(shè)，

8、每個觀測值（每包西洋參的凈重）大于中位數(shù)洋參的凈重）大于中位數(shù)m0=100g的機會和小于的機會和小于100g的概率都是的概率都是0.5。這服從二項分布這服從二項分布bin(25,0.5)。l重于重于100g的只有的只有8包。這樣的二項分包。這樣的二項分布變量小于或等于布變量小于或等于8的概率為的概率為0.05388。這就是。這就是p-值。值。l因此因此, 對于水平對于水平a a=0.05, 根據(jù)這個符根據(jù)這個符號檢驗，沒有充分的證據(jù)拒絕零假號檢驗，沒有充分的證據(jù)拒絕零假設(shè)。設(shè)。數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)gs.txtbinomial test 1008.32251.00group 1group 2totalgsw

9、eightcategorynobservedprop.test prop.exact sig.(2-tailed)pointprobabilityspss輸出的結(jié)果在下面表格中。從輸出的結(jié)果在下面表格中。從該表格可以看出精確的雙邊檢驗的該表格可以看出精確的雙邊檢驗的p-值值=0.108（精確地為（精確地為0.1078）；也）；也就是說，我們的單尾檢驗的就是說，我們的單尾檢驗的p-值為值為其一半。其一半。數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)gs.txt另一種輸出來自于另一種輸出來自于spss的另一種選的另一種選項：項：test statisticsb.108a.054.032exact sig. (2-tailed)exa

10、ct sig. (1-tailed)point probabilitym - gsweightbinomial distribution used.a. sign testb. spss軟件使用軟件使用 l這里有兩種選項方式：1.以數(shù)據(jù)gs.sav為例。直接使用spss選項analyzenonparametric testsbinomial，再把變量gsweight選入test variable list，然后在下面define dichotomy的cut point輸入100（克），在下面test proportion輸入p0=0.50（零假設(shè)大于100小時的比例）；還可以點擊exact來選

11、擇精確檢驗，漸近檢驗和monte carlo方法等，然后ok即可得到前面顯示的結(jié)果。spss軟件使用軟件使用 2. 數(shù)據(jù)gs.sav有一列（變量名為m），這是重復(fù)零假設(shè)的100g使得m的長度和gsweight一樣。然后利用選項analyzenonparametric testsrelated samples，再把變量gsweight和m同時選入test pair(s) list之中，再在下面選sign及在exact中選exact；然后回到主對話框，ok即可。得出前面的第二個輸出。16.2 單樣本檢驗單樣本檢驗16.2.2單樣本位置參數(shù)的單樣本位置參數(shù)的wilcoxon符號秩檢驗符號秩檢驗 l符

12、號檢驗只用了差的符號，但沒符號檢驗只用了差的符號，但沒有利用差值的大小。有利用差值的大小。lw i l c o x o n 符 號 秩 檢 驗符 號 秩 檢 驗(wilcoxon signed-rank test) 把差的絕對值的秩分別按照不同把差的絕對值的秩分別按照不同的符號相加作為其檢驗統(tǒng)計量。的符號相加作為其檢驗統(tǒng)計量。l它利用了更多的信息。它利用了更多的信息。 16.2 單樣本檢驗單樣本檢驗16.2.2單樣本位置參數(shù)的單樣本位置參數(shù)的wilcoxon符號秩檢驗符號秩檢驗 lwilcoxon符號秩檢驗需要一點總體符號秩檢驗需要一點總體分布的性質(zhì)；它要求假定樣本點來分布的性質(zhì)；它要求假定樣

13、本點來自連續(xù)對稱總體分布；而符號檢驗自連續(xù)對稱總體分布；而符號檢驗不需要知道任何總體分布的性質(zhì)。不需要知道任何總體分布的性質(zhì)。l在對稱分布中，總體中位數(shù)和總體在對稱分布中，總體中位數(shù)和總體均值是相等的；因此，對于總體中均值是相等的；因此，對于總體中位數(shù)的檢驗，等價于對于總體均值位數(shù)的檢驗，等價于對于總體均值的檢驗。的檢驗。 l假定假定x1,x2, xn為來自連續(xù)對稱總體。為來自連續(xù)對稱總體。如果零檢驗為中位數(shù)（均值）如果零檢驗為中位數(shù)（均值）m = m0。l把滿足把滿足xi-m00的的|xi-m0|的秩求和，并用的秩求和，并用w+表示。如果表示。如果m0的確的確是中位數(shù)，那么，是中位數(shù)，那么，

14、w-和和w-應(yīng)大體差不多。應(yīng)大體差不多。l如果如果w-或者或者w+過大或過小，則應(yīng)該懷過大或過小，則應(yīng)該懷疑中位數(shù)疑中位數(shù)m = m0的零假設(shè)。的零假設(shè)。l令令w=min(w-，w+)，則當，則當w太小時，應(yīng)太小時，應(yīng)該拒絕零假設(shè)。這個該拒絕零假設(shè)。這個w就是就是wilcoxon符符號秩檢驗統(tǒng)計量。號秩檢驗統(tǒng)計量。例：數(shù)據(jù)例：數(shù)據(jù)gs.txtl例例16.1 質(zhì)量監(jiān)督部門對商店里面出售的某廠質(zhì)量監(jiān)督部門對商店里面出售的某廠家的西洋參片進行了抽查。對于家的西洋參片進行了抽查。對于25包寫明為包寫明為凈重凈重100g的西洋參片的稱重結(jié)果為（單位：的西洋參片的稱重結(jié)果為（單位：克）：克）：99.05

15、100.25 102.56 99.15 104.89 101.86 96.37 96.79 99.3796.90 93.94 92.97 108.28 96.86 93.94 98.27 98.36100.81 92.99 103.72 90.66 98.24 97.87 99.21 101.7901:100:100hmhm例例16.1：數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)gs.txt（繼續(xù)）（繼續(xù)）l利用利用spss，很容易得到該數(shù)據(jù)的，很容易得到該數(shù)據(jù)的wilcoxon符號秩檢驗結(jié)果符號秩檢驗結(jié)果 (wilcoxon符號秩檢驗精確符號秩檢驗精確（單尾）的（單尾）的p-值為值為0.047 )：test statist

16、icsb-1.682a.093.095.047.002zasymp. sig. (2-tailed)exact sig. (2-tailed)exact sig. (1-tailed)point probabilitym - gsweightbased on negative ranks.a. wilcoxon signed ranks testb. 軟件使用說明軟件使用說明 l利用例16.1數(shù)據(jù)（gs.txt或gs.sav）。該數(shù)據(jù)有一列（變量名為m），這是重復(fù)零假設(shè)的100g使得m的長度和gsweight一樣。然后利用選項analyzenonparametric testsrelated

17、samples，再把變量gsweight和m同時選入test pair(s) list之中，再在下面選wilcoxon及在exact中選exact；再回到主對話框，ok即可。 16.2.3 16.2.3 單樣本單樣本kolmogorov-smirnov檢驗檢驗 l單樣本的單樣本的kolmogorov-smirnov檢驗（檢驗（k-s檢驗）是用來檢驗一個數(shù)據(jù)的觀測累積分布檢驗）是用來檢驗一個數(shù)據(jù)的觀測累積分布是否是已知的理論分布。是否是已知的理論分布。l這些作為零假設(shè)的理論分布在這些作為零假設(shè)的理論分布在spss的選項中的選項中有正態(tài)分布，有正態(tài)分布，poisson分布，均勻分布和指數(shù)分布，均勻

18、分布和指數(shù)分布。在分布。在spss軟件中對于是否是正態(tài)分布或軟件中對于是否是正態(tài)分布或均勻分布的檢驗統(tǒng)計量為均勻分布的檢驗統(tǒng)計量為100max()() ,()()iiiiizns xf xs xf x數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)ksdata.sav的的k-s檢驗檢驗 l我們檢驗它是否是我們檢驗它是否是正態(tài)分布、均勻分布和指正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布數(shù)分布。輸出結(jié)果分別顯示在下面三個表中：。輸出結(jié)果分別顯示在下面三個表中：one-sample kolmogorov-smirnov test501.00211.07647.182.173-.1821.284.074nmeanstd. deviationnormal

19、parametersa,babsolutepositivenegativemost extremedifferenceskolmogorov-smirnov zasymp. sig. (2-tailed)xtest distribution is normal.a. calculated from data.b. 單邊檢驗的單邊檢驗的p-值等于值等于0.074/2=0.037（漸（漸近檢驗）和近檢驗）和0.069/2=0.0345（精確檢（精確檢驗）。如果按照顯著性水平為驗）。如果按照顯著性水平為0.05的標的標準，可以拒絕產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體為正態(tài)分準，可以拒絕產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體為正態(tài)分布的零假設(shè)。布

20、的零假設(shè)。 one-sample kolmogorov-smirnov test 250.024.12.450.450-.0203.182.000nminimummaximumuniform parametersa,babsolutepositivenegativemost extremedifferenceskolmogorov-smirnov zasymp. sig. (2-tailed)xtest distribution is uniform.a. calculated from data.b. p-值等于值等于0.000（漸近檢驗）和（漸近檢驗）和0.000（精確檢驗）。如果按照顯著

21、性水（精確檢驗）。如果按照顯著性水平為平為0.05的標準，可以拒絕產(chǎn)生數(shù)的標準，可以拒絕產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體為均勻分布的零假設(shè)。據(jù)的總體為均勻分布的零假設(shè)。 one-sample kolmogorov-smirnov test 3501.0021.103.103-.052.728.664nmeanexponential parameter.a,babsolutepositivenegativemost extremedifferenceskolmogorov-smirnov zasymp. sig. (2-tailed)xtest distribution is exponential.a. cal

22、culated from data.b. p-值等于值等于0.664/2=0.332（漸近檢驗）（漸近檢驗）和和0.662/2=0.331（精確檢驗）。如（精確檢驗）。如果按照顯著性水平為果按照顯著性水平為0.05的標準，的標準，不能拒絕產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體為指數(shù)分不能拒絕產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體為指數(shù)分布的零假設(shè)。布的零假設(shè)。 警告警告l經(jīng)常有人在經(jīng)常有人在kolmogorov-smirnov檢驗中，當檢驗不能拒絕總體分布檢驗中，當檢驗不能拒絕總體分布為某分布時，來為某分布時，來“接受接受”或或“證明證明”該樣本來自該分布。這是錯誤的。該樣本來自該分布。這是錯誤的。l比如我們有由比如我們有由1、2、3、4、

23、5五個五個數(shù)目組成的數(shù)據(jù)，我們分別檢驗該數(shù)目組成的數(shù)據(jù)，我們分別檢驗該數(shù)據(jù)是否是正態(tài)分布、均勻分布、數(shù)據(jù)是否是正態(tài)分布、均勻分布、poisson分布或指數(shù)分布。結(jié)果歸分布或指數(shù)分布。結(jié)果歸納為下表（讀者可以自己練習(xí)去算）納為下表（讀者可以自己練習(xí)去算）kolmogorov-smirnov單樣本分布檢驗單樣本分布檢驗零假設(shè)的分布零假設(shè)的分布 （漸近雙邊檢驗的）（漸近雙邊檢驗的）p-值值正態(tài)分布正態(tài)分布1.000均勻分布均勻分布0.988poisson分布分布1.000指數(shù)分布指數(shù)分布0.806根據(jù)此表，沒有足夠證據(jù)來拒絕任何根據(jù)此表，沒有足夠證據(jù)來拒絕任何一個零假設(shè)。難道我們可以隨意一個零假設(shè)。

24、難道我們可以隨意“接接受受”該總體為其中任一個分布嗎？該總體為其中任一個分布嗎？ spssspss軟件使用說明軟件使用說明 l使用我們的使用我們的ksdata.sav數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。l選項為選項為analyzenonparametric tests1 sample k-s。l然后把變量（這里是然后把變量（這里是x）選入）選入variable list。再在下面再在下面test distribution選中零假設(shè)的分布選中零假設(shè)的分布（ n o r m a l 、 p o i s s o n 、 u n i f o r m 和和exponential）作為零假設(shè)。）作為零假設(shè)。l在點在點exact時

25、打開的對話框中可以選擇精確方時打開的對話框中可以選擇精確方法（法（exact），），monte carlo抽樣方法抽樣方法（monte carlo）或用于大樣本的漸近方法）或用于大樣本的漸近方法（asymptotic only）。最后）。最后ok即可。即可。 16.2.4 16.2.4 關(guān)于隨機性的游程檢驗關(guān)于隨機性的游程檢驗(run test)l游程檢驗方法是檢驗一個取兩個值的變量游程檢驗方法是檢驗一個取兩個值的變量的這兩個值的出現(xiàn)是否是隨機的。假定下的這兩個值的出現(xiàn)是否是隨機的。假定下面是由面是由0和和1組成的一個這種變量的樣本組成的一個這種變量的樣本（數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)run1.sav）：）：l

26、0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0l其中相同的其中相同的0（或相同的（或相同的1）在一起稱為一）在一起稱為一個游程（單獨的個游程（單獨的0或或1也算）。也算）。l這個數(shù)據(jù)中有這個數(shù)據(jù)中有4個個0組成的游程和組成的游程和3個個1組成組成的游程。一共是的游程。一共是r=7個游程。其中個游程。其中0的個數(shù)的個數(shù)為為m=15，而，而1的個數(shù)為的個數(shù)為n=10。 關(guān)于隨機性的游程檢驗（關(guān)于隨機性的游程檢驗（run testrun test） l出現(xiàn)出現(xiàn)0和和1的的這樣一個過程可以看成是參的的這樣一個過程可以看成是參數(shù)為某未知數(shù)為某未知p的的

27、bernoulli試驗。但在給定試驗。但在給定了了m和和n之后，在之后，在0和和1的出現(xiàn)是隨機的零假的出現(xiàn)是隨機的零假設(shè)之下，設(shè)之下，r的條件分布就和這個參數(shù)無關(guān)了。的條件分布就和這個參數(shù)無關(guān)了。根據(jù)初等概率論，根據(jù)初等概率論，r的分布可以寫成（令的分布可以寫成（令n=m+n）11211(2 ),11112211(21)mnkkp rknnmnmnkkkkp rknn關(guān)于隨機性的游程檢驗（關(guān)于隨機性的游程檢驗（run testrun test） l于是就可以算出在零假設(shè)下有關(guān)于是就可以算出在零假設(shè)下有關(guān)r的概率，的概率，以及進行有關(guān)的檢驗了。利用上面公式可以及進行有關(guān)的檢驗了。利用上面公式可進

28、行精確檢驗；也可以利用大樣本的漸近進行精確檢驗；也可以利用大樣本的漸近分布和利用分布和利用monte carlo方法進行檢驗。利方法進行檢驗。利用上面數(shù)據(jù)的結(jié)果是用上面數(shù)據(jù)的結(jié)果是 runs test.5000257-2.345.019.017.006test valueatotal casesnumber of runszasymp. sig. (2-tailed)exact sig. (2-tailed)point probabilityxuser-specified.a. 關(guān)于隨機性的游程檢驗（關(guān)于隨機性的游程檢驗（run testrun test） l當然，游程檢驗并不僅僅用于只取兩個

29、值的變當然，游程檢驗并不僅僅用于只取兩個值的變量，它還可以用于某個連續(xù)變量的取值小于某量，它還可以用于某個連續(xù)變量的取值小于某個值及大于該值的個數(shù)（類似于個值及大于該值的個數(shù)（類似于0和和1的個數(shù)）的個數(shù)）是否隨機的問題?？聪旅胬?。是否隨機的問題?？聪旅胬?。l例例 (run2.sav): 從某裝瓶機出來的從某裝瓶機出來的30盒化妝品盒化妝品的重量如下（單位克）的重量如下（單位克） l71.6 71.0 71.8 70.3 70.5 72.9 71.0 71.0 70.1 71.8 71.9 70.3 70.9 69.3 71.2 67.3 67.6 67.7 67.6 68.1 68.0

30、67.5 69.8 67.5 69.7 70.0 69.1 70.4 71.0 69.9l為了看該裝瓶機是否工作正常，首先需要驗證為了看該裝瓶機是否工作正常，首先需要驗證是否大于和小于中位數(shù)的個數(shù)是否是隨機的是否大于和小于中位數(shù)的個數(shù)是否是隨機的（零假設(shè)為這種個數(shù)的出現(xiàn)是隨機的）。（零假設(shè)為這種個數(shù)的出現(xiàn)是隨機的）。 關(guān)于隨機性的游程檢驗（關(guān)于隨機性的游程檢驗（run testrun test） l如果把小于中位數(shù)的記為如果把小于中位數(shù)的記為0 0，否則記，否則記為為1 1，上面數(shù)據(jù)變成下面的，上面數(shù)據(jù)變成下面的0 01 1序列序列l(wèi)1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1

31、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 l這就歸為上面的問題。當然這里進行這就歸為上面的問題。當然這里進行這種變換只是為了易于理解。實際計這種變換只是為了易于理解。實際計算時，用不著這種變換，計算機會自算時，用不著這種變換，計算機會自動處理這個問題的。動處理這個問題的。l直接利用這個數(shù)據(jù)，通過直接利用這個數(shù)據(jù)，通過spssspss，得到，得到下面游程檢驗結(jié)果的輸出。下面游程檢驗結(jié)果的輸出。 runs test70.201515308-2.787.005.005.002test valueacases = test valuetotal casesnumber of runs

32、zasymp. sig. (2-tailed)exact sig. (2-tailed)point probabilitylengthmediana. spssspss軟件使用說明軟件使用說明 l用用run2.sav數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。l選項為選項為analyzenonparametric testsruns。l然后把變量（這里是然后把變量（這里是length）選入）選入variable list。再在下面再在下面cut point選中位數(shù)（選中位數(shù)（median）。當然，）。當然，也可以選其他值，如均值（也可以選其他值，如均值（mean），眾數(shù)），眾數(shù)（mode）或任何你愿意的數(shù)目（放在）或任何你愿

33、意的數(shù)目（放在custom）。）。注意在對前面的由注意在對前面的由0和和1組成的序列（組成的序列（run1.sav進進行隨機性檢驗時，行隨機性檢驗時，要選均值要選均值(為什么？）為什么？）。l在點在點exact時打開的對話框中可以選擇精確方法時打開的對話框中可以選擇精確方法（exact），），monte carlo抽樣方法（抽樣方法（monte carlo）或用于大樣本的漸近方法（）或用于大樣本的漸近方法（asymptotic only）。最后）。最后ok即可。即可。16.3 兩獨立樣本檢驗兩獨立樣本檢驗16.3.1 比較兩總體中位數(shù)的非參數(shù)檢驗比較兩總體中位數(shù)的非參數(shù)檢驗: wilcoxon

34、 (mann-whitney)秩和檢驗秩和檢驗l為檢驗兩總體的中位數(shù)是否相等，常用為檢驗兩總體的中位數(shù)是否相等，常用wilcoxon (或稱或稱mann-whitney)秩和檢秩和檢驗，其原理很簡單驗，其原理很簡單l假定兩個個樣本分別有假定兩個個樣本分別有m個和個和n個觀測值。個觀測值。把兩個樣本混合后把這把兩個樣本混合后把這m+n個觀測值升個觀測值升冪排序，冪排序，l記下每個觀測值在混合排序下面的秩。記下每個觀測值在混合排序下面的秩。之后分別把兩個樣本所得到的秩相加。之后分別把兩個樣本所得到的秩相加。記第一個樣本觀測值的秩的和為記第一個樣本觀測值的秩的和為wx而第而第二個樣本秩的和為二個樣本

35、秩的和為wy。這兩個值可以互。這兩個值可以互相推算，稱為相推算，稱為wilcoxon統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。l該統(tǒng)計量的分布和兩個總體分布該統(tǒng)計量的分布和兩個總體分布無關(guān)。由此分布可以得到無關(guān)。由此分布可以得到p-值。值。l直觀上看，如果直觀上看，如果wx與與wy之中有之中有一個顯著地大，則可以選擇拒絕一個顯著地大，則可以選擇拒絕零假設(shè)。零假設(shè)。l該檢驗需要的唯一假定就是兩個該檢驗需要的唯一假定就是兩個總體的分布有類似的形狀（不一總體的分布有類似的形狀（不一定對稱）。定對稱）。例子例子l下面數(shù)據(jù)（下面數(shù)據(jù)（gdp.txt）是地區(qū)）是地區(qū)1的十個城市和地的十個城市和地區(qū)區(qū)2的的15個城市的人均個城市的人

36、均gdp（元）?，F(xiàn)在要想（元）?，F(xiàn)在要想以此作為兩個樣本來檢驗兩個地區(qū)的人均以此作為兩個樣本來檢驗兩個地區(qū)的人均gdp的中位數(shù)的中位數(shù)m1和和m2是否一樣，即雙尾檢驗是否一樣，即雙尾檢驗h0: m1=m2對對ha: m1m2。由于地區(qū)。由于地區(qū)2的人均的人均gdp的中位數(shù)大于地區(qū)的中位數(shù)大于地區(qū)1的中位數(shù)，因此也可以做的中位數(shù)，因此也可以做單尾檢驗單尾檢驗h0: m1=m2對對ha: m1m2。l地區(qū)地區(qū)1：3223452638362781598232164710562823034618l地區(qū)地區(qū)2：53913983407659414748460063254534552656997008540

37、3667855375257test statisticsb32.00087.000-2.385.017.016a.016.008.001mann-whitney uwilcoxon wzasymp. sig. (2-tailed)exact sig.2*(1-tailed sig.)exact sig. (2-tailed)exact sig. (1-tailed)point probability人均gdpnot corrected for ties.a. grouping variable: 地區(qū)b. spss的輸出的輸出l該結(jié)果頭兩行該結(jié)果頭兩行顯示了顯示了mann-whitney和和w

38、ilcoxon統(tǒng)計量的值。另外和我們需要結(jié)果統(tǒng)計量的值。另外和我們需要結(jié)果的相關(guān)部分為：對于雙尾檢驗的相關(guān)部分為：對于雙尾檢驗h0: m1=m2對對ha: m1m2，p-值為值為0.016（見（見“exact sig. (2-tailed)”）；而對于單尾檢驗；而對于單尾檢驗h0: m1=m2對對ha: m1 median= medianprice1.002.003.00grouphouse.txt數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)這里這里test statisticsc7522.10005.561a2.062.058b.052.064nmedianchi-squaredfasymp. sig.sig.lower bo

39、undupper bound99% confidenceintervalmonte carlosig.price0 cells (.0%) have expected frequencies less than 5.the minimum expected cell frequency is 9.9.a. based on 10000 sampled tables with starting seed299883525.b. grouping variable: groupc. spssspss軟件使用說明軟件使用說明 l使用使用house.sav數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。l選項為選項為analyzenon

40、parametric testsk independent samples。l把變量（這里是把變量（這里是price）選入）選入test variable list；再把數(shù)據(jù)中用；再把數(shù)據(jù)中用1、2、3來分類的變量來分類的變量group輸入輸入grouping variable，在，在define groups輸入輸入1、2、3。l在下面在下面test type選中選中median。l在點在點exact時打開的對話框中可以選擇精確時打開的對話框中可以選擇精確方法（方法（exact），），monte carlo抽樣方法抽樣方法（monte carlo）或用于大樣本的漸近方法）或用于大樣本的漸近方

41、法（asymptotic only）。最后）。最后ok即可即可 16.5 多個相關(guān)樣本的檢驗多個相關(guān)樣本的檢驗 16.5.1 friedman秩和檢驗秩和檢驗 l前面討論了兩因子試驗設(shè)計數(shù)據(jù)前面討論了兩因子試驗設(shè)計數(shù)據(jù)的方差分析，那里所用的的方差分析，那里所用的f f檢驗需檢驗需要假定總體的分布為正態(tài)分布。要假定總體的分布為正態(tài)分布。l有一種非參數(shù)方差分析方法，稱有一種非參數(shù)方差分析方法，稱為為friedman friedman （兩因子）秩和檢驗，（兩因子）秩和檢驗，或或friedmanfriedman方差分析。它適用于方差分析。它適用于兩個因子的各種水平的組合都兩個因子的各種水平的組合都僅

42、僅有一個觀測值有一個觀測值的情況。的情況。friedman秩和檢驗秩和檢驗 l假定第一個因子有假定第一個因子有k k個水平（稱為處個水平（稱為處理，理，treatmenttreatment），第二個因子有），第二個因子有b b個個水平（稱為區(qū)組）；因此一共有水平（稱為區(qū)組）；因此一共有k kb bkbkb個觀測值。個觀測值。l這里之所以稱一個因子為處理，是因這里之所以稱一個因子為處理，是因為這是我們想要看該因子各水平是否為這是我們想要看該因子各水平是否對試驗結(jié)果有顯著的不同（它的各個對試驗結(jié)果有顯著的不同（它的各個水平的觀測值也就是本小節(jié)的多個相水平的觀測值也就是本小節(jié)的多個相關(guān)樣本）。而另一

43、個因子稱為區(qū)組，關(guān)樣本）。而另一個因子稱為區(qū)組，不同的區(qū)組也可能對結(jié)果有影響。下不同的區(qū)組也可能對結(jié)果有影響。下面是一個例子。面是一個例子。數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)fert.txtl這里有三種肥料作為第一個因子（肥料因子）的這里有三種肥料作為第一個因子（肥料因子）的三個水平；而四種土壤為第二個因子（土壤因子）三個水平；而四種土壤為第二個因子（土壤因子）的四個水平。感興趣于是否這三種肥料對于某作的四個水平。感興趣于是否這三種肥料對于某作物的產(chǎn)量有區(qū)別。稱肥料因子為處理，而土壤因物的產(chǎn)量有區(qū)別。稱肥料因子為處理，而土壤因子為區(qū)組。數(shù)據(jù)在下表中（表中數(shù)字為相應(yīng)組合子為區(qū)組。數(shù)據(jù)在下表中（表中數(shù)字為相應(yīng)組合的產(chǎn)量，單

44、位公斤）。的產(chǎn)量，單位公斤）。 肥料種類肥料種類肥料肥料a肥料肥料b肥料肥料c土土壤壤類類型型土壤土壤1224668土壤土壤2253648土壤土壤3182120土壤土壤4111319friedman秩和檢驗秩和檢驗 lfriedman秩和檢驗是關(guān)于位置的，和秩和檢驗是關(guān)于位置的，和kruskal-wallis檢驗類似，形式上，假定這些樣本有連續(xù)檢驗類似，形式上，假定這些樣本有連續(xù)分布分布f1,fk，零假設(shè)為，零假設(shè)為h0：f1=fk，備選假，備選假設(shè)為設(shè)為ha：fi(x)=f(x+q qi)，i=1,k，這里，這里f為某連為某連續(xù)分布函數(shù)，而且這些參數(shù)續(xù)分布函數(shù)，而且這些參數(shù)q qi并不相等。

45、并不相等。l雖然這和以前的雖然這和以前的kruskal-wallis檢驗一樣，但是檢驗一樣，但是由于區(qū)組的影響由于區(qū)組的影響, 要首先在每一個區(qū)組中計算各要首先在每一個區(qū)組中計算各個處理的秩；再把每一個處理在各區(qū)組中的秩相個處理的秩；再把每一個處理在各區(qū)組中的秩相加加.如果如果rij表示在表示在j個區(qū)組中第個區(qū)組中第i個處理的秩。則秩個處理的秩。則秩按照處理而求得的和為按照處理而求得的和為 1,1,.,biijjrrikfriedman秩和檢驗秩和檢驗 l這樣做的目的是在每個區(qū)組內(nèi)比較這樣做的目的是在每個區(qū)組內(nèi)比較處理。例如處理。例如, 同個年齡段中比較藥同個年齡段中比較藥品的療效比不分年齡來

46、比較療效要品的療效比不分年齡來比較療效要合理；在同一個部位比較不同的材合理；在同一個部位比較不同的材料要比混合起來比較要合理等等。料要比混合起來比較要合理等等。這里要引進的這里要引進的friedman統(tǒng)計量定統(tǒng)計量定義為義為221112(1)123 (1)(1)2(1)kkiiiib kqrrb kbk kbk kfriedman秩和檢驗秩和檢驗 221112(1)123 (1)(1)2(1)kkiiiib kqrrb kbk kbk k第一個式子表明，如果各個處理很第一個式子表明，如果各個處理很不一樣，和的平方就會很大，結(jié)果不一樣，和的平方就會很大，結(jié)果就顯著。第二個公式是為了計算方就顯著。

47、第二個公式是為了計算方便而導(dǎo)出的。它有近似的（有便而導(dǎo)出的。它有近似的（有k-1個自由度的）個自由度的）c c2分布。分布。 fert.txt數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)test statisticsa46.5002.039.042.037nchi-squaredfasymp. sig.exact sig.point probabilityfriedman testa. ranks1.002.252.75abcmean rankspssspss軟件使用說明軟件使用說明 l使用使用fert.sav數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。l選項為選項為analyzenonparametric testsk related samples。l然后

48、把變量（這里是然后把變量（這里是a、b、c）選入）選入test variable list。l在下面在下面test type選中選中friedman。l在點在點exact時打開的對話框中可以選擇精確時打開的對話框中可以選擇精確方法（方法（exact），），monte carlo抽樣方法抽樣方法（monte carlo）或用于大樣本的漸近方法）或用于大樣本的漸近方法（asymptotic only）。最后）。最后ok即可即可16.5.2 kendall協(xié)同系數(shù)檢驗協(xié)同系數(shù)檢驗l實踐中常需要按照某些特別的性質(zhì)來多次實踐中常需要按照某些特別的性質(zhì)來多次對一些個體進行評估或排序；對一些個體進行評估或排

49、序；比如幾個比如幾個（m個）評估機構(gòu)對一些（個）評估機構(gòu)對一些（n個）學(xué)校進行個）學(xué)校進行排序。排序。人們想要知道，這些機構(gòu)的不同結(jié)人們想要知道，這些機構(gòu)的不同結(jié)果是否一致。如果很不一致，則該評估多果是否一致。如果很不一致，則該評估多少有些隨機，意義不大。少有些隨機，意義不大。l換句話說，這里想要檢驗的換句話說，這里想要檢驗的零假設(shè)零假設(shè)是：這是：這些對于不同學(xué)校的排序是不相關(guān)的或者是些對于不同學(xué)校的排序是不相關(guān)的或者是隨機的；而隨機的；而備選假設(shè)備選假設(shè)為：這些對不同學(xué)校為：這些對不同學(xué)校的排序是正相關(guān)的或者是多少一致的。的排序是正相關(guān)的或者是多少一致的。kendall協(xié)同系數(shù)檢驗協(xié)同系數(shù)檢

50、驗l一個機構(gòu)對諸個體（學(xué)校）的秩（次序）的和為一個機構(gòu)對諸個體（學(xué)校）的秩（次序）的和為1+2+n=n(n+1)/2；所有；所有m個機構(gòu)對所有個體個機構(gòu)對所有個體評估的總秩為評估的總秩為mn(n+1)/2；這樣對每個個體的平；這樣對每個個體的平均秩為均秩為m(n+1)/2。如果記每一個個體的。如果記每一個個體的m個秩個秩（次序）的和為（次序）的和為ri（i=1,n），），l如果評估是隨機的，這些如果評估是隨機的，這些ri與平均秩的差別不會與平均秩的差別不會很大，反之差別會很大，也就是說下面的很大，反之差別會很大，也就是說下面的個體的個體的總秩與平均秩的偏差的平方和總秩與平均秩的偏差的平方和s很

51、大。很大。s定義為定義為 21(1)2niim nsrkendall協(xié)同系數(shù)檢驗協(xié)同系數(shù)檢驗l這個和這個和kendall協(xié)同系數(shù)（協(xié)同系數(shù)（kendalls coefficient of concordance）是成比例）是成比例的，的，kendall協(xié)同系數(shù)協(xié)同系數(shù)w（kendalls w）定義為定義為 2312()swm nn數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)school.txt l下面是下面是4個獨立的環(huán)境研究單位對個獨立的環(huán)境研究單位對15個學(xué)校排序的結(jié)果每一行為一個個學(xué)校排序的結(jié)果每一行為一個評估機構(gòu)對這些學(xué)校的排序?？瓷显u估機構(gòu)對這些學(xué)校的排序?？瓷先ゲ荒敲匆恢拢ㄒ灿型耆恢碌娜ゲ荒敲匆恢拢ㄒ灿型耆恢碌模?/p>

52、：）： 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)school.sav l spss的的kendall協(xié)同系數(shù)檢驗的輸出協(xié)同系數(shù)檢驗的輸出 test statisticsb4.49127.50014.017nkendalls wachi-squaredfasymp. sig.kendalls coefficient of concordancea. some or all exact significances cannot becomputed because there is insufficient memory.b. spssspss軟件使用說明軟件使用說明 l使用使用school.sav數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。l選項為選項為an

53、alyzenonparametric testsk related samples。l然后把變量（這里是然后把變量（這里是s1、s2、s15 ）選）選入入test variable list。l在下面在下面test type選中選中kendalls w 。l在點在點exact時打開的對話框中可以選擇精確時打開的對話框中可以選擇精確方法（方法（exact），），monte carlo抽樣方法抽樣方法（monte carlo）或用于大樣本的漸近方法）或用于大樣本的漸近方法（asymptotic only）。最后）。最后ok即可即可16.5.3 關(guān)于兩值響應(yīng)的關(guān)于兩值響應(yīng)的cochran檢驗檢驗 l

54、前面討論了兩因子方差分析問題的前面討論了兩因子方差分析問題的friedman秩和檢驗。秩和檢驗。l但是當觀測值只取諸如但是當觀測值只取諸如0或或1兩個可兩個可能值時，由于有太多同樣的數(shù)目（只能值時，由于有太多同樣的數(shù)目（只有有0和和1），排序的意義就很成問題），排序的意義就很成問題了。了。l這里要引進的這里要引進的cochran檢驗就是用檢驗就是用來解決這個問題的一個非參數(shù)檢驗。來解決這個問題的一個非參數(shù)檢驗。這里的零假設(shè)也是各個處理是相同的。這里的零假設(shè)也是各個處理是相同的。先看一個例子先看一個例子 16.5.3 關(guān)于兩值響應(yīng)的關(guān)于兩值響應(yīng)的cochran檢驗檢驗 l關(guān)于瓶裝飲用水的調(diào)查關(guān)于

55、瓶裝飲用水的調(diào)查(數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)在water.txt)。20名顧客對名顧客對4種瓶裝種瓶裝飲用水進行了認可（記為飲用水進行了認可（記為1）和不）和不認可（記為認可（記為0）的表態(tài)。）的表態(tài)。l我們感興趣的是這幾種瓶裝水在我們感興趣的是這幾種瓶裝水在顧客眼中是否有區(qū)別。這里零假顧客眼中是否有區(qū)別。這里零假設(shè)是這些瓶裝水設(shè)是這些瓶裝水(作為處理作為處理)在在(作作為區(qū)組的為區(qū)組的)顧客眼中沒有區(qū)別。顧客眼中沒有區(qū)別。 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)water.txt l 下表是數(shù)據(jù)，每一行為下表是數(shù)據(jù)，每一行為20個顧客對某一飲料的個顧客對某一飲料的20個個觀點（觀點（0或或1）。最后一列）。最后一列1為認可總數(shù)為認可總數(shù)

56、ni而最后一行而最后一行為每個顧客給出的為每個顧客給出的4個觀點中認可數(shù)的總和個觀點中認可數(shù)的總和li。最后。最后一行的最后的元素為總認可數(shù)一行的最后的元素為總認可數(shù)n。 顯然，如果顯然，如果ni和這些和這些ni的均值的差距很大，那么這些處理就很的均值的差距很大，那么這些處理就很不一樣了。不一樣了。cochran檢驗就是基于這個思想的。用檢驗就是基于這個思想的。用ni 表示第表示第i個個處理所得到的處理所得到的“1”的個數(shù)，而的個數(shù)，而lj為第為第j個區(qū)組（例子中的顧客）個區(qū)組（例子中的顧客）所給的所給的“1”的個數(shù)，的個數(shù)，“1”的總數(shù)記為的總數(shù)記為n。 關(guān)于兩值響應(yīng)的關(guān)于兩值響應(yīng)的coch

57、ran檢驗檢驗lcochran檢驗統(tǒng)計量（檢驗統(tǒng)計量（cochrans q）為）為（假定有（假定有k個處理和個處理和b個區(qū)組）個區(qū)組）2221122111(1)()(1)(1)1kkiiiibbjjjjkiik knnk knknqknlknlnnk這里當當k固定時，固定時，q在在b很大時有近似的自由度很大時有近似的自由度為為k-1的的c c2分布。分布。 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)water.sav l cochran檢驗的檢驗的spss輸出：輸出： test statistics2012.344a3.006.006.002ncochrans qdfasymp. sig.exact sig.point pro

58、bability0 is treated as a success.a. spssspss軟件使用說明軟件使用說明 l使用使用water.sav數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)。l選項為選項為analyzenonparametric testsk related samples。l然后把變量（這里是然后把變量（這里是c1、c2、c3、c4 ）選）選入入test variable list。l在下面在下面test type選中選中cochrans q。 l在點在點exact時打開的對話框中可以選擇精確時打開的對話框中可以選擇精確方法（方法（exact），），monte carlo抽樣方法抽樣方法（monte carl

59、o）或用于大樣本的漸近方法）或用于大樣本的漸近方法（asymptotic only）。最后）。最后ok即可即可16.5.4 成對樣本的中位數(shù)檢驗成對樣本的中位數(shù)檢驗 l我們介紹了在正態(tài)分布總體的假我們介紹了在正態(tài)分布總體的假定下，關(guān)于成對樣本均值的定下，關(guān)于成對樣本均值的t檢驗。檢驗。l我們還提到，當總體參數(shù)未知時，我們還提到，當總體參數(shù)未知時，應(yīng)該使用非參數(shù)方法。應(yīng)該使用非參數(shù)方法。l這里再次利用例這里再次利用例6.4數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)(diet.txt)介 紹 成 對 數(shù) 據(jù) 的 符 號 檢 驗 和介 紹 成 對 數(shù) 據(jù) 的 符 號 檢 驗 和wilcoxon符號秩檢驗符號秩檢驗 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)(diet

60、.txt)l該數(shù)據(jù)為該數(shù)據(jù)為50個人減肥前后的重量。個人減肥前后的重量。l把兩個樣本中配對的觀測值逐個相把兩個樣本中配對的觀測值逐個相減，就變成單樣本的中位數(shù)檢驗。減，就變成單樣本的中位數(shù)檢驗。l如果不知道總體的任何信息，則可如果不知道總體的任何信息，則可利第利第16.1介紹的符號檢驗。介紹的符號檢驗。l如果總體分布是對稱的，則可利用如果總體分布是對稱的，則可利用16.2節(jié)的節(jié)的wilcoxon符號秩檢驗。符號秩檢驗。l自然，我們不必自己去進行減法。自然，我們不必自己去進行減法。適當?shù)挠嬎銠C選項可以自動產(chǎn)生結(jié)果。適當?shù)挠嬎銠C選項可以自動產(chǎn)生結(jié)果。數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)(diet.txt)l形式上，令形式上，