反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 第二節(jié)第二節(jié) 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的求導(dǎo)法則一、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yI 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、連續(xù)內(nèi)單調(diào)、連續(xù), 則其反函則其反函( )xy內(nèi)單調(diào)內(nèi)單調(diào), 連續(xù)連續(xù): 若設(shè)若設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且 ( )xyyI 今來討論今來討論 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.( )0,y yf x 給給 以增量以增量 由由 的的( )

2、yf xx0,xxxxI ( )yf x yIx xyyI數(shù)數(shù) 在對(duì)應(yīng)的區(qū)間在對(duì)應(yīng)的區(qū)間單調(diào)性單調(diào)性, 知知上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3()( )0,yf xxf x 變形得到變形得到1,yxxy又由函數(shù)的連續(xù)性又由函數(shù)的連續(xù)性, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)必有時(shí)必有 從而有從而有0 x 0,y 0011limlim.( )xyyxxyy 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4由此說明了函數(shù)由此說明了函數(shù) 在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且有且有( )yf xx1( ).( )fxy簡(jiǎn)單地說簡(jiǎn)單地說, 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁5例例1 求反正弦函數(shù)求反正弦函數(shù)arcs

3、inyx解解 是是 的反函數(shù)的反函數(shù).arcsin11yxx sinxysincos0,yy1arcsin,cosyxy 注意到在區(qū)間注意到在區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)， 從而有從而有,2 2yI 2cos1,yx所以所以. 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo), 且有且有arcsinyx1,1sinxy,2 2yI 而而 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 并且并且 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).21arcsin.1xx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁6例例2 求反正切函數(shù)求反正切函數(shù)arctanyx解解 函數(shù)函數(shù) 是是 在在arctanyxx tanxy,2 2yI 區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)

4、單調(diào)、可導(dǎo), 且且2tansec0,yy所以所以 在在 內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo), 且有且有:arctan (,)yx 211arctan.sectanyxyy有有的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁7注意到：注意到： 從而有從而有222sec1tan1,yyx 21arctan.1xx同理可得其它幾個(gè)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式同理可得其它幾個(gè)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:2211arccos, arccot.11xxxx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁8例例3 求對(duì)數(shù)函數(shù)求對(duì)數(shù)函數(shù)log0,1ayx aa解解 是是 的反的反log0ayxx yx ay ln0,yyaaa注意到注意到, ,yax1log,lnax

5、xa特別地特別地, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有ea 1ln.xx函數(shù)函數(shù), 且直接函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且直接函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且且的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).從而有從而有上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁9二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在眾多的函數(shù)中在眾多的函數(shù)中, 我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù)我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù). 例例sin22 sin cosxxx2 cos cossin sin2cos2 .xxxxxsin2yx如函數(shù)如函數(shù) , 這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的函數(shù)這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的函數(shù), 但我們但我們要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡(jiǎn)單要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡(jiǎn)單. 事實(shí)上事實(shí)上, 由導(dǎo)數(shù)的乘積公由導(dǎo)數(shù)的乘積公式式, 得得上頁下頁鈴結(jié)束返

6、回首頁10 對(duì)一個(gè)如此簡(jiǎn)單的函數(shù)對(duì)一個(gè)如此簡(jiǎn)單的函數(shù), 求其導(dǎo)數(shù)都那么困難求其導(dǎo)數(shù)都那么困難, 這就這就提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 利用相應(yīng)的利用相應(yīng)的法則來簡(jiǎn)化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則來簡(jiǎn)化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁11復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo),( )ux0 x證證 設(shè)自變量設(shè)自變量 在在 處有增量處有增量 , 則函數(shù)則函數(shù)x0 xx( )ux00()ux( )yf u而函數(shù)而函數(shù) 在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) ( )yfx0 x在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 并且有關(guān)系并

7、且有關(guān)系00(),uxxx 有增量有增量 相應(yīng)地相應(yīng)地, 函數(shù)函數(shù)( )yf x有增量有增量 000d().dx xyfuxx（1）上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1200,yf uuf u 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有0u 由函數(shù)由函數(shù) 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性, 得函數(shù)在得函數(shù)在 是連續(xù)的是連續(xù)的, 因因( )ux0 x000limlim(),xuyyf uuu 又又00lim(),xuxx 0,u 0 x 此當(dāng)此當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有 由此得由此得,yyuxux（2）上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁13由此得到由此得到:00000dlimlim().dxxx xyyyufuxxxux 復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式常常表示為求導(dǎo)公式

8、常常表示為dd d.dddyyuxux（3）公式公式（3）稱為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則稱為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁14此公式可以作進(jìn)一步的推廣此公式可以作進(jìn)一步的推廣: 若若( ),( ),( ),yf u uv vx均為可導(dǎo)函數(shù)均為可導(dǎo)函數(shù), 則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù) yfx dddd.ddddyyuvxuvx的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁15例例4 求函數(shù)求函數(shù)lncosyx解解lncosyxln ,cosyu uxddddddyyuxux而成而成, 故此由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式故此由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式, 得得的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).可以看成由可以看成由復(fù)合復(fù)合 1sintan

9、 .xxu 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁16例例5 求函數(shù)求函數(shù)2arcsin1yx解解 因因dd d dddd dyyu vxuvx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).2arcsin1yx可視為可視為 2arcsin ,1yu uv vx復(fù)合而成復(fù)合而成, 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（2.6）得）得:211221xvu22.21xxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁17例例6 求函數(shù)求函數(shù)21cos2xy解解 2211coscos221112cosln2sin 22ln2.xxyxxx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁18三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)的概念隱函數(shù)的概念 所謂函數(shù)所謂函數(shù) 表示的是兩個(gè)變量表示的是兩個(gè)變

10、量 和和 之間的之間的( )yf x xy確的關(guān)系式來表示確的關(guān)系式來表示. 例如例如 都反映了都反映了,sinnyxyx這種對(duì)應(yīng)關(guān)系這種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 這類關(guān)系的特點(diǎn)是這類關(guān)系的特點(diǎn)是: 對(duì)自變量對(duì)自變量 的每一的每一x關(guān)系關(guān)系. 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在某種情況下這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在某種情況下, 可以用一個(gè)較為明可以用一個(gè)較為明y個(gè)取值個(gè)取值, 都可以通過表達(dá)式確定一個(gè)惟一的因變量都可以通過表達(dá)式確定一個(gè)惟一的因變量 的的的取值的取值. 用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為顯函數(shù)顯函數(shù). 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁19 但某種情況下但某種情況下, 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是通過一個(gè)方程這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是通過一個(gè)方程3

11、1 0 xy 就在區(qū)間就在區(qū)間 上確定了一個(gè)函數(shù)上確定了一個(gè)函數(shù) 又如又如, ( );yy x221xy當(dāng)限定當(dāng)限定 , 則在區(qū)間則在區(qū)間 內(nèi)確定了一個(gè)函數(shù)內(nèi)確定了一個(gè)函數(shù).0y 1,1yx( , )0F x y 來確定的來確定的. 通過方程可以確定通過方程可以確定 和和 的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系關(guān)系, 但這個(gè)關(guān)系不一定能象顯函數(shù)那樣用一個(gè)顯式方但這個(gè)關(guān)系不一定能象顯函數(shù)那樣用一個(gè)顯式方程來表示程來表示. 例如方程例如方程方程方程（2.7） 我們把這一類函數(shù)稱為我們把這一類函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁20 在某些情況下在某些情況下, 隱函數(shù)能轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)（稱為隱函數(shù)能轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)（稱為

12、隱函數(shù)隱函數(shù)31.yx 但在某些情況下但在某些情況下, 并不能把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)并不能把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù). 例例52243512,yx yx所確定的隱函數(shù)就很難把它表達(dá)成一個(gè)顯函數(shù)的形式所確定的隱函數(shù)就很難把它表達(dá)成一個(gè)顯函數(shù)的形式.的顯化的顯化）, 例如在第一種情況下例如在第一種情況下, 相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)如由如由化成化成上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁21 對(duì)給定的方程對(duì)給定的方程 , 在什么條件可以確定隱在什么條件可以確定隱( , )0F x y xy( )yy x函數(shù)函數(shù) , 并且并且 關(guān)于關(guān)于 可導(dǎo)可導(dǎo), 這個(gè)問題在下冊(cè)這個(gè)問題在下冊(cè)中將會(huì)討論中將會(huì)討論. 在這里通過具體

13、的例子來說明如何求出隱在這里通過具體的例子來說明如何求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁22例例7 求由方程求由方程3233527yxyx所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)d,dyx和和0d.dxyx解解 將方程中的將方程中的 視為由方程確定的隱函數(shù)視為由方程確定的隱函數(shù)y ,yy x代入方程得恒等式代入方程得恒等式: 3233527,y xx y xx方程兩端求導(dǎo)方程兩端求導(dǎo), 得到得到:222dd336150,ddyyyyxyxxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁23整理后得整理后得:2222d5 20 .d2yxyyxyxyxy 3233527,yxyx對(duì)方程對(duì)方程令令03,

14、xy代入上式得代入上式得:0d1.dxyx 注注 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中一般同時(shí)含有變量隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中一般同時(shí)含有變量, ,x y這是與顯函數(shù)求導(dǎo)不同的地方這是與顯函數(shù)求導(dǎo)不同的地方.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁24例例8 求由方程求由方程ee0yxy yf x解解 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 并注意到并注意到 是是 的函數(shù)的函數(shù), 利用利用xyx ddee0 ,ddyxyxx即有即有:e0,yxxyyxy從而得從而得: e0 .eyxyyyxx .y的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則, 有有所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁25例例9 求由方程求由方程s

15、in01yxy解解 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x1cos.yy y 因因 , 所以所以 即有即有11cos0,y1.1cosyy -2xyo2424-2-4-4sinyxy所表示的曲線所表示的曲線 在在 點(diǎn)的切線方程點(diǎn)的切線方程.0,0代入代入0,0 xy 10.1y所以切線方程為所以切線方程為.1xy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁26確定的曲線在確定的曲線在例例10 求由方程求由方程2sincosxyyx解解 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x2cos1sin2cos ,xyyyxy yx0,0將將 代入上式代入上式, 解出解出 得得0,0 xy,y1,y 故切線方程為故切線方程為

16、0.xy點(diǎn)的切線方程點(diǎn)的切線方程.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁27例例11 求函數(shù)求函數(shù)xyx解解 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù), 得得 lnln ,yxx1ln1yxy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得即即1ln.xyxx 1ln.yyx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁28 上例中的方法可以普遍應(yīng)用于求形如上例中的方法可以普遍應(yīng)用于求形如 ( )v xyu x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 基本方法是基本方法是: 兩邊先取對(duì)數(shù)兩邊先取對(duì)數(shù), 得得 lnln,yv xu x求導(dǎo)后得求導(dǎo)后得: 1ln,uxyvxu xv xyu x即有即有:( )( )( )( )ln ( )( ).( )v xu xyu xv xu xv x

17、u x該方法稱為該方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁29例例12 求函數(shù)求函數(shù)lnxyx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解 兩邊取對(duì)數(shù)后得兩邊取對(duì)數(shù)后得lnln ln,yxx求導(dǎo)后有求導(dǎo)后有111 1ln lnln2yxxyx xx11lnln2,ln2xxx即即11lnlnln2.ln2xyxxxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁30例例13 求函數(shù)求函數(shù)232112xxyx解解 對(duì)這一類函數(shù)盡管也可以用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算來求得對(duì)這一類函數(shù)盡管也可以用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算來求得,但是相當(dāng)煩瑣但是相當(dāng)煩瑣. 用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法可大大簡(jiǎn)化計(jì)算用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法可大大簡(jiǎn)化計(jì)算.的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 兩邊取對(duì)數(shù)后得兩邊取對(duì)數(shù)后得:21ln2ln1ln 13ln3 ,2yxxx 求導(dǎo)得求導(dǎo)得:212123,1 212xyyxxx即即 232211216.12(1)22xxxyxxxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首