可降階的高階微分方程(17)課件

1、 本節(jié)介紹本節(jié)介紹幾種特殊的高階方程，它們的共，它們的共同特點(diǎn)是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將其化成較低階同特點(diǎn)是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將其化成較低階的方程來求解。的方程來求解?？山惦A的高階微分方程可降階的高階微分方程 前面介紹了五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程及其前面介紹了五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程為數(shù)求解方法，但是能用初等解法求解的方程為數(shù)相相當(dāng)有限，特別是高階方程，除去一些特殊情況可當(dāng)有限，特別是高階方程，除去一些特殊情況可用降階法求解，一般都沒有初等解法，用降階法求解，一般都沒有初等解法，以二階方程以二階方程 0),( yyyxF為例展開討論為例展開討論重點(diǎn)討論能將二階

2、導(dǎo)數(shù)解出的情況重點(diǎn)討論能將二階導(dǎo)數(shù)解出的情況),(yyxfy 如果我們?cè)O(shè)法作變量代換把它從二階降如果我們?cè)O(shè)法作變量代換把它從二階降至一階，就有可能應(yīng)用前節(jié)中所介紹的方法至一階，就有可能應(yīng)用前節(jié)中所介紹的方法來求解來求解一、一、 型型)(xfy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：右端不含右端不含 yy ,僅是僅是 x 的函數(shù)的函數(shù) 解法：解法： 將將y 作為新的未知函數(shù)作為新的未知函數(shù)降階降階 令令yz zy 有有)(xfz 變量可分離的一階方程變量可分離的一階方程 積分積分 1)(cdxxfz即即 1)(cdxxfy再積分再積分 21)(cxcdxdxxfy對(duì)對(duì) n 階方程階方程同理同理)()(xfyn 令令) 1

3、( nyz)(xfz 積分得積分得 1)1()(cdxxfyn如此連續(xù)積分如此連續(xù)積分n 次即得原方程的次即得原方程的含有含有n個(gè)任意常數(shù)的通解個(gè)任意常數(shù)的通解一般情況一般情況),()1()()( nknyyxfy特點(diǎn)：特點(diǎn)：.,)1( kyyy及及不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)解法：解法：zyk )(令.,)()()1(knnkzyzy 則則).,()1()( knknzzxfzz 的的(n-k)階方程階方程, z求求得得,)(次次連連續(xù)續(xù)積積分分將將kzyk 可得通解可得通解.例例1 xysin)4( 解解1coscxy 21sincxcxy 322121coscxcxcxy 4322312

4、161sincxcxcxcxy 例例 2.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 設(shè)設(shè))()5(xPy 代入原方程代入原方程, 0 PPx）（0 P解線性方程解線性方程, 得得xCP1 ,1)4(xCy 即即兩端積分兩端積分,得得,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 原方程通解為原方程通解為54233251dxdxdxdxdy 二、二、 型型),(yxfy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：右端不含右端不含 y 解法：解法：降階降階令令 py py 代入原方程得代入原方程得),(pxfdxdp 若已求得其通解為若已求得其通解為),(1cxp 回代回代

5、py 得得),(1cxdxdy 變量可分離的一階方程變量可分離的一階方程積分得積分得 21),(cdxcxy 例例3 解方程解方程3, 1,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1 (2 分離變量得分離變量得212xxpdp 12ln)1ln(lncxp 即即)1 (21xcp )1 (21xcy 由由得得30 xy31 c)1(32xy 233cxxy 由由1120 cyx故故133 xxy解方程解方程2)(1yy 解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 例例4 三、三、

6、 型型),(yyfy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：右端不含右端不含 x降階降階解法：解法：令令pdxdyy dxdpy 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得dxdydydpdxdpy dydpp 代入原方程得代入原方程得 ),(pyfdydpp 這是一個(gè)關(guān)于這是一個(gè)關(guān)于 y ，p 的一階方程的一階方程若已求得它的通解為若已求得它的通解為),(1cypy 變量可分離的一階方程變量可分離的一階方程積分得積分得21),(1cxdycy 即得原方程的通解即得原方程的通解一般情況一般情況),()1()()( nknyyyfy特點(diǎn)：特點(diǎn)：.x右右端端不不顯顯含含自自變變量量解法：解法：)(ypy 設(shè)設(shè),dydPpdx

7、dydydpy 則則,)(2222dydPPdyPdPy ,階方程，階方程，的的代入原方程得到新函數(shù)代入原方程得到新函數(shù))1()( nyP求得其解為求得其解為),()(11 nCCyyPdxdy原方程通解為原方程通解為,),(11nnCxCCydy 例例5 解方程解方程3)(yyy 解解令令py dydppy )1 (2ppdydpp 若若0 p21pdydp 1arctancyp 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1積分得積分得21)sin(lncxcy 即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 若若0 p則則cy 包含在通解中包含在通解中如一方程既屬于

8、不含如一方程既屬于不含 x 型型 又屬于不含又屬于不含 y 型型則一般而言則一般而言若兩邊可消去若兩邊可消去 p 作為不含作為不含 x 型（類型三）型（類型三）來解較簡(jiǎn)單來解較簡(jiǎn)單 若兩邊不可消去若兩邊不可消去 p 作為不含作為不含 y 型（類型二）型（類型二）來解較簡(jiǎn)單來解較簡(jiǎn)單注注 例例6 解方程解方程 2 yy解解 令令 yz 2 dxdzz42 dxdz)( 412cxz 12cxy 2231)(34ccxy 32251)(158cxccxy 12cxz 例例 7.02的的通通解解求求方方程程 yyy解一解一),(ypy 設(shè)設(shè),dydPpy 則則代入原方程得代入原方程得 , 02 Pd

9、ydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可可得得,1yCdxdy 原方程通解為原方程通解為.12xceCy 解二解二,12y兩端同乘不為零因子兩端同乘不為零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故從而通解為從而通解為.12xCeCy 解三解三原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?yyyy 兩邊積分兩邊積分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解為原方程通解為.12xCeCy 四、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程四、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程特點(diǎn)特點(diǎn). 0),(,),()1()1( nnyyyxdxdxyyyx即即的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)左左端端恰恰為為某某一一函函數(shù)數(shù)解法：解法： 類似于

10、全微分方程可降低一階類似于全微分方程可降低一階,),()1(Cyyyxn 再設(shè)法求解這個(gè)方程再設(shè)法求解這個(gè)方程.例例 8.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.五、齊次方程五、齊次方程特點(diǎn)：特點(diǎn)：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)k解法：解法： zdxey可可通通過過變變換換).(,xz得新未知函數(shù)得新未知函數(shù)將其降階將其降階, zdxz

11、ey,)(2 zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy, zdxke代代入入原原方方程程并并消消去去階階方方程程的的得得新新函函數(shù)數(shù))1()( nxz. 0),()1( nzzzxf例例 9.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解為解其通解為原方程通解為原方程通解為.1212)1(xCdxxCxxeCey 補(bǔ)充題補(bǔ)充題:解解, zdxey設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程,得得，zxz ,xCz 解其通解為解其通解為原方程通解為原方程通解為.212xCCxdxeCey .2的通解的通解求方程

12、求方程yyyxyxy 例例10 六、小結(jié)六、小結(jié)解法解法 通過代換將其化成較低階的方程來求解通過代換將其化成較低階的方程來求解.思考題思考題 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解.思考題解答思考題解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對(duì)應(yīng)齊次方程的解是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數(shù)常數(shù)所求通解為所求通解為 122231yyCyyCy .221xCeCx 練練 習(xí)習(xí) 題題一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)過點(diǎn))1,0(