2020-2021學(xué)年寧夏長慶高級中學(xué)第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版

1、寧夏長慶高級中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)（理科）期中試卷第i卷一、選擇題（本大題共12個小題；每小題5分，共60分在每小題給出的4個選項中，只有一項符合題目要求） 1.命題“若，則”的逆否命題是()a若，則 b若，則 c若，則 d若，則2.“”是“”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件3.命題“”的否定是()a b c d4.方程所表示的曲線形狀是()a b c d5.已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()a相交 b相切 c相離 d相切或相交6.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則()a b c d與斜交7.焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到

2、短軸端點(diǎn)的距離為，到左頂點(diǎn)的距離為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()a b c d8.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是()a b c d9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為()a b c d10.如圖所示，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是，在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形是矩形，則的離心率是()a b c d11.在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則下列向量中與相等的向量是()a b c d12.已知，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為()a b c d第卷二、填空題（本大題共4個小題；每小題5分，共20分） 13.過橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長是_1

3、4.直線被拋物線截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_15.如圖，在三棱柱中，所有棱長均為，且底面，則點(diǎn)到平面的距離為_16.已知點(diǎn)是平行四邊形所在的平面外一點(diǎn)，如果，對于結(jié)論：；是平面的法向量；.其中正確的是_三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.) 17.如圖，斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)求線段的長18.已知，(1)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍19.如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)選用合適的方法證明以下問題：(1)證明平面平面；(2)證明面.20

4、.設(shè)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是在軸上的投影，為上一點(diǎn)，且.(1)當(dāng)在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被截得的線段的長度21.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，且，平面，分別是線段，的中點(diǎn)，(1)證明：；(2)判斷并說明上是否存在點(diǎn)，使得平面.22.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個端點(diǎn)分別為、.(1)若為等邊三角形，求橢圓的方程；(2)若橢圓的短軸長為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程答案1.【答案】b2.【答案】b3.【答案】c4.【答案】c5.【答案】c6.【答案】b7.【答案】a8.【答案】b9.【答案】b10.【答案】d11.【答案】a12.【答案】d

5、13.【答案】【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可知，過橢圓焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長最短，弦長為.14.【答案】(3,2)【解析】設(shè)線段的端點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，將yx1代入y24x，整理得x26x10.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x26，3，2，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)15.【答案】217【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a32,12,0，b(0,1,0)，b1(0,1,1)，c1(0,0,1)，則c1a32,12,-1，c1b1(0,1,0)，c1b(0,1，1)，設(shè)平面abc1的一個法向量為n(x，y,1)，則有c1a·n=32x+12y-1=0,c1b·n=y-

6、1=0.解得n33,1,1，則所求距離為c1b1·nn113+1+1217.16.【答案】【解析】由于ap·ab1×2(1)×2(4)×(1)0，ap·ad4×(1)2×20×(1)0，所以正確17.【答案】解(1)由焦點(diǎn)f(1,0)，得1，解得p2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)直線l的方程為y(x1)，與拋物線方程聯(lián)立，得消去y，整理得4x217x40，由拋物線的定義可知，|ab|x1x2p2，所以線段ab的長為.18.【答案】解(1)由(

7、x1)(x5)0得1x5，p是q的充分條件，解得m4.(2)當(dāng)m5時，q：4x6，根據(jù)已知，p，q一真一假，當(dāng)p真q假時，無解；當(dāng)p假q真時，解得4x1或5x6.綜上，實數(shù)x的取值范圍是4，1)(5,6.19. 【答案】給出用向量方法的證明，此題用空間幾何的證明法則證明也可(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則d(0,0,0)，a1(2,0,2)，b(2,2,0)，b1(2,2,2)，c(0,2,0)，d1(0,0,2)，設(shè)平面a1bd的法向量為m(x，y，z)，da1(2,0,2)，db(2,2,0)，2x+2z=02x+2y=0，取m(1,1,1)，同理平面b1cd1的法向量為

8、n(1,1,1)，mn，平面a1bd平面b1cd1；(2)m、n分別為ab、b1c的中點(diǎn)，mn(1,1,1)，mnm，mn面a1bd.20.【答案】(1)設(shè)m的坐標(biāo)為(x，y)，p的坐標(biāo)為(xp，yp)，由已知，得xp=x,yp=54y,因為p在圓上，所以x2(54y)225，即c的方程為x225y2161.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為45的直線方程為y45(x3)，設(shè)直線與c的交點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，將直線方程y45(x3)代入c的方程，得x225x-32251，即x23x80.則(3)23241>0，x1x23，x1x28，所以線段ab的長為|ab|x1-x22+y

9、1-y221+1625x1-x224125x1+x22-4x1x24125×41415.21.【答案】pa平面abcd，bad90°，ab1，ad2，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則a(0,0,0)，b(1,0,0)，f(1,1,0)，d(0,2,0)(1)不妨令p(0,0，t)，pf(1,1，t)，df(1，1,0)，pf·df1×11×(1)(t)×00，pfdf，即pffd；(2)設(shè)平面pfd的法向量為n(x，y，z)，由n·pf=0,n·df=0,得x+y-tz=0,x-y=0,令z1，解得xyt2，n

10、t2,t2,1，設(shè)點(diǎn)g的坐標(biāo)為(0,0，m)，又e12,0,0，則eg-12,0,m，要使eg平面pfd，只需eg·n0，即-12×t20×t2m×10，即mt40，解得m14t，從而滿足ag14ap的點(diǎn)g即為所求22.【答案】(1)設(shè)橢圓c的方程為x2a2y2b21(a>b>0)根據(jù)題意知，a2b，a2b21，解得a243，b213，故橢圓c的方程為x243y2131.(2)易求得橢圓c的方程為x22y21.當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x1，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)由y=kx-1,x22+y2=1,得(2k21)x24k2x2(k21)0.設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1x24k22k2+1，x1x22k2-12k2+1，f1p