930函數(shù)極值和最值教學(xué)重點(diǎn)

1、教學(xué)目的：教學(xué)目的：函數(shù)函數(shù)極值極值和和最值最值教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：最值的應(yīng)用與不等式證明最值的應(yīng)用與不等式證明第三講第三講 函數(shù)極值與最值函數(shù)極值與最值第三講第三講 函數(shù)極值與最值函數(shù)極值與最值主視圖主視圖極值與最值極值與最值函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值函數(shù)極值函數(shù)最值函數(shù)最值必要條件必要條件充分條件充分條件函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理，有有 212112()( )( ) () ()f xf xfxxxx例題例題01111)(222xxxxf解解 ) 1)(1(3332xxxy解解 11111111遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：(,

2、1) , (1,)遞減區(qū)間：遞減區(qū)間： 1,111例題例題2tan2 sin3 ,(0,)xxxx例例4 證明證明只要證只要證 2( )tan2 sin30,(0,)fxxxxx2( )sec2 cos3fxxx2tan2 cos2xx2( )2 tansec2 sinfxxxx232 tansec(1cos)0 xxx( )0,( )(0)0fxfxf( )0,( )(0)0fxfxf函數(shù)的極值函數(shù)的極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)極值，取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)極值點(diǎn)必須指出，函數(shù)的極值概念是局部性的 1x2x3x4x5xxy( )yf xabo回主視圖回主視圖極值必要條件極值必要條件0)(

3、xfyx0 xo 0fx yf x0)( xf0)( xf)(xfy xy0 xo極值充分條件極值充分條件() 定理定理3第一充分條件第一充分條件設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf0 x的某鄰域的某鄰域),(00ddxx內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo))(0 xf可以不存在可以不存在在點(diǎn)在點(diǎn) () ，則，則(1) 若當(dāng)若當(dāng)),(00 xxxd時(shí)，時(shí)，0)(xf，而當(dāng)，而當(dāng)),(00dxxx時(shí)，時(shí)，0)(xf)(xf在在0 x處取極大值；處取極大值； ，(2) 若當(dāng)若當(dāng)),(00 xxxd時(shí)，時(shí)，0)(xf，而當(dāng)，而當(dāng)),(00dxxx時(shí)，時(shí)，0)(xf則則)(xf在在0 x取極小值；取極小值； ，則，則(3) 若當(dāng)

4、若當(dāng)),(00ddxxx)(0 xx 時(shí)，時(shí)，0)(xf(0)(xf)(xf在在0 x處不取極值處不取極值 例題例題01不存在0極大極小x)0 ,() 1 , 0(), 1 ( )(xf _)(xf例題例題x+不存在+0不存在+y單增無(wú)極值單增極大值單減極小值單增a( ,)a 2(, )a2a2(,)2 3aa23a2(, )3a ay32)()2()32(2xaaxxay例題例題x+0+0y單增極大值單減單增極大值單減41xxxxx)(841221212),(2121), 0 (21) 0 ,(2121),(21y極大值為極大值為-1-2ln2回主視圖回主視圖第三講第三講 函數(shù)極值函數(shù)極值第

5、二充分條件在使用時(shí)不涉及函數(shù)單調(diào)性的討論，第二充分條件在使用時(shí)不涉及函數(shù)單調(diào)性的討論，因而有時(shí)它比第一充分條件方便因而有時(shí)它比第一充分條件方便例題例題解解 xxxf2cos2cos2)(xxxf2sin4sin2)( 0) 1)(cos1cos2(2xx23330333 ff為極大值； 2333503335 ff為極小值； 例題例題回主視圖回主視圖我們將求函數(shù)極值的方法歸納如下：我們將求函數(shù)極值的方法歸納如下： (1) 確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域； (2) 求求)(xf和和)(xf ； (3) 令令0)(xf，求駐點(diǎn)，并求不可導(dǎo)點(diǎn)；，求駐點(diǎn)，并求不可導(dǎo)點(diǎn)； (4) 在在0)( xf的駐

6、點(diǎn)上用第二充分條件判定；的駐點(diǎn)上用第二充分條件判定； (5) 在在)(xf不存在的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)和0)( xf的駐點(diǎn)用第一充分條件的駐點(diǎn)用第一充分條件判定判定 函數(shù)最值函數(shù)最值在生產(chǎn)活動(dòng)中，常常遇到這樣一類問(wèn)題：即在一定條件下，在生產(chǎn)活動(dòng)中，常常遇到這樣一類問(wèn)題：即在一定條件下，怎樣使怎樣使“產(chǎn)品最多產(chǎn)品最多”、“成本最低成本最低”、“收益最大收益最大”等等等這類問(wèn)題有時(shí)歸結(jié)為求某一函數(shù)等這類問(wèn)題有時(shí)歸結(jié)為求某一函數(shù)(稱為目標(biāo)函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù))的最的最大值或最小值問(wèn)題大值或最小值問(wèn)題 例題例題解解 0,1112121)(xxxxfxob0( )f xy0 xa( )yf x例題例題例題例題例例10 在一塊邊長(zhǎng)為在一塊邊長(zhǎng)為a的正方形紙板上截去四角相等的小方塊，的正方形紙板上截去四角相等的小方塊， 然后折疊成一個(gè)無(wú)蓋紙盒，問(wèn)截去的小方塊的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，然后折疊成一個(gè)無(wú)蓋紙盒，問(wèn)截去的小方塊的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，紙盒的容積最大？紙盒的容積最大？2)2(xaxv2, 0ax)6)(2()2(4)2(2xaxaxaxxav)3(8axv 046 aa