2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第四章4.6正弦定理和余弦定理學(xué)案文含解析新人教版

1、高考復(fù)習(xí)資料第六節(jié)正弦定理和余弦定理【回顧知識(shí)點(diǎn)】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1正弦定理_，其中r是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abc_；(2)a2rsin a，b2rsin b，_；(3)sin a，sin b，sin c_等形式，以解決不同的三角形問題2余弦定理a2_，b2_，c2_.余弦定理可以變形為：cos a_，cos b_，cos c_.3三角形面積公式sabcabsin cbcsin aacsin b(abc)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算r、r.二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽視解的判斷2在判斷

2、三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解【小題熱身鍛煉】一、判斷正誤1判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)在abc中，a>b必有sin a>sin b()(2)在abc中，若b2c2>a2，則abc為銳角三角形()(3)在abc中，若a60°，a4，b4，則b45°或b135°.()(4)若滿足條件c60°，ab，bca的abc有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2)()(5)在abc中，若acos bbcos a，則abc是等腰三角形()(6)在abc中，若tan aa2，tan b

3、b2，則abc是等腰三角形()二、教材改編2必修5·p10t4改編在abc中，ab5，ac3，bc7，則bac()a.b.c.d.3在abc中，已知b40，c20，c60°，則此三角形的解的情況是()a有一解 b有兩解c無解 d有解但解的個(gè)數(shù)不確定三、易錯(cuò)易混4在abc中，若a，b，bc3，則ac()a. b. c2 d45在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos 2asin a，bc2，則abc的面積為()a. b. c1 d2四、走進(jìn)高考62020·全國卷在abc中，cos c，ac4，bc3，則cos b()a. b. c. d.利用正、余弦

4、定理解三角形自主練透型考向一：用正弦定理解三角形12021·北京朝陽區(qū)模擬在abc中，b，c4，cos c，則b()a3b3c.d.22021·丹東模擬在abc中，c60°，ac，ab，則a()a15° b45° c75° d105°考向二：用余弦定理解三角形3在abc中，若ab，bc3，c120°，則ac()a1 b2 c3 d442018·全國卷在abc中，cos，bc1，ac5，則ab()a4 b. c. d252021·貴陽模擬平行四邊形abcd中，ab2，ad3，ac4，則bd()a4

5、 b. c. d.考向三：綜合利用正、余弦定理解三角形62020·天津卷在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a2，b5，c.(1)求角c的大??；(2)求sin a的值；(3)求sin的值悟·技法(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.考點(diǎn)二利用正弦、余弦

6、定理邊角互化互動(dòng)講練型例1(1)2021·長沙市四校高三年級(jí)模擬考試設(shè)abc的內(nèi)角，a，b，c的對(duì)邊分別是a，b，c.已知2bacos c0，sin a3sin(ac)，則()a. b. c. d.(2)2019·全國卷abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sin bsin c)2sin2asin bsin c.求a；若ab2c，求sin c.悟·技法1.應(yīng)用正、余弦定理轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系的技巧技巧解讀邊化角將表達(dá)式中的邊利用公式a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c化為角的關(guān)系角化邊將表達(dá)式中的角利用公式轉(zhuǎn)化為邊，出現(xiàn)角的正弦值用正弦定理轉(zhuǎn)化

7、和積互化a2b2c22bccos a(bc)22bc(1cos a)可聯(lián)系已知條件，利用方程思想進(jìn)行求解三角形的邊2.利用正、余弦定理判斷三角形形狀的基本方法(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用abc這個(gè)結(jié)論.變式練(著眼于舉一反三)12021·湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三起點(diǎn)考試在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，若b2c2a2b

8、c，則tan b的值為()a b. c3 d322021·福州市高三畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷已知abc的內(nèi)角，a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.若cos a(sin ccos c)cos b，a2，c，則角c的大小為_考點(diǎn)三與三角形面積有關(guān)的問題分層深化型例2在abc中，ab11，再從條件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)a的值；(2)sin c和abc的面積條件：c7，cos a；條件：cos a，cos b.注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分悟·技法三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一

9、個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式(2)已知三角形的面積解三角形與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化.同類練(著眼于觸類旁通)32021·江西省名校高三教學(xué)質(zhì)量檢測在abc中，已知a，b，c分別是角a，b，c的對(duì)邊，(abc)(sin asin bsin c)3asin b.(1)求角c的大??；(2)若bcos cccos b4，b，求abc的面積 變式練(著眼于舉一反三)42021·長沙市四校高三年級(jí)模擬考試abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin acsin c(bc)sin b.(1)求sin a；(2)若a2，求abc面積的最大值拓

10、展練(著眼于遷移應(yīng)用)52019·全國卷abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asinbsin a.(1)求b；(2)若abc為銳角三角形，且c1，求abc面積的取值范圍第六節(jié)正弦定理和余弦定理【回顧知識(shí)點(diǎn)】2rsin asin bsin cc2rsin cb2c22bccos aa2c22accos ba2b22abcos c【小題熱身鍛煉】1參考答案：(1)(2)×(3)×(4)(5)(6)×2題目解析：在abc中，設(shè)abc5，acb3，bca7，由余弦定理得cos bac，由a(0，)，得a，即bac.參考答案：c3題目解析：由正弦定理

11、得，所以sin b>1，所以角b不存在，既滿足條件的三角形不存在故選c項(xiàng)參考答案：c4題目解析：由正弦定理得：，即有ac2.參考答案：c5題目解析：由cos 2asin a，得12sin2asin a，解得sin a(負(fù)值舍去)，由bc2，可得abc的面積sbcsin a×2×.故選a.參考答案：a6題目解析：由cos c得，ab3，cos b，故選a.參考答案：a課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1題目解析：因?yàn)閏os c，c(0，)，所以sin c .又因?yàn)閎，c4，所以由正弦定理得b3.參考答案：b2題目解析：在abc中，c60°，ac，ab，由正弦定理得sinb.因

12、為ab>ac，所以c>b，所以b，所以b45°，又c60°，所以a180°bc180°45°60°75°.參考答案：c3題目解析：設(shè)acx，由余弦定理得，cos 120°，x243x，即x23x40.x1或4(舍去)ac1，選a.參考答案：a4題目解析： cos， cos c2cos212×21.在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22ac·bc·cos c52122×5×1×32， ab4.故選a.參考答案：a5題目解析：如圖所示，在a

13、bc中，ab2，bcad3，ac4，由余弦定理得cosabc，所以cosdabcosabc，在abd中，由余弦定理得bd2ad2ab22ad·ab·cosdab32222×3×2×10.所以bd.參考答案：b6題目解析：(1)在abc中，由余弦定理及a2，b5，c，有cos c.又因?yàn)閏(0，)，所以c.(2)在abc中，由正弦定理及c，a2，c，可得sin a.(3)由a<c及sin a，可得cos a，進(jìn)而sin 2a2sin acos a，cos 2a2cos2a1.所以，sinsin 2acoscos 2asin×

14、15;.考點(diǎn)二例1題目解析：(1)因?yàn)?bacos c0，所以由余弦定理得2ba×0，整理得3b2c2a2.因?yàn)閟in a3sin(ac)3sin b，所以由正弦定理可得a3b，由可得cb，則.故選d.(2)由已知得sin2bsin2csin2asin bsin c，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos a.因?yàn)?°<a<180°，所以a60°.由(1)知b120°c，由題設(shè)及正弦定理得sin asin(120°c)2sin c，即cos csin c2sin c，可得cos(c60°).由于0&#

15、176;<c<120°，所以sin(c60°)，故sin csin(c60°60°)sin(c60°)cos 60°cos(c60°)sin 60°.參考答案：(1)d(2)見題目解析變式練1題目解析：因?yàn)?，所?，即1，又b2c2a2bc，所以由余弦定理a2b2c22bccos a，可得cos a，則sin a，tan a，解得tan b3，故選c.參考答案：c2題目解析：因?yàn)閏os a(sin ccos c)cos b，所以cos a(sin ccos c)cos (ac)，所以cos asin c

16、sin asin c，所以sin c(cos asin a)0，因?yàn)閏(0，)，所以sin c0，cos asin a，則tan a1，又a(0，)，所以a，又，即，所以sin c，因?yàn)閏<a，所以0<c<，故c.參考答案：考點(diǎn)三例2題目解析：選(1)由余弦定理a2b2c22bccos a，b11a，c7，得a2(11a)2492×(11a)×7×，a8.(2)cos a，a(0，)，sin a.由正弦定理，得sin c，由(1)知b11a3，sabcabsin c×8×3×6.選(1)cos a，a，sin a.c

17、os b，b，sin b.由正弦定理，得，a6.(2)sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b.ab11，a6，b5.sabcabsin c×6×5×.同類練3題目解析：(1)因?yàn)?abc)(sin asin bsin c)3asin b，所以由正弦定理得，(abc)(abc)3ab，即(ab)2c23ab，整理得a2b2c2ab，所以由余弦定理得cos c.又0<c<，所以c.(2)因?yàn)閎，abc，所以abc.又bcos cccos b4，所以由余弦定理得b·c·4，得a4.由正弦定理，得b4(1)，故abc的面積sabsin c×4×4(1)×sin4(3)變式練4題目解析：(1)由asin acsin c(bc)sin b得asin acsin bbsin bcsin c，由正弦定理得a2bcb2c2，即b2c2a2bc，所以cos a.因?yàn)閍(0，)，所以sin a .(2)由(1)得，a2b2c2bc2bcbcbc.因?yàn)閍2，所以4bc，即bc3.所以sabcbcsin a×3×，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立所以abc面積的最大值為.拓展練5題目解析：(1)由題設(shè)及正弦定理得sin asinsin b